福建省三明北附实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

福建省三明北附实验学校2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．0.5 B．0.35 C．0.25 D．0.17
3．二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一 高二 高三年级分别有1名 2名 3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．144种
6．某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．121 B．122 C． D．
8．已知随机变量，则（ ）
A．4.8 B．5.8 C．9.6 D．10.6
二、多选题
9．下列运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ）
-2 1 3
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X服从两点分布且，则
B．若随机变量满足，，则
C．若随机变量，则
D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
三、填空题
12．在的展开式中，含项的系数为 ．（用数字作答）
13．设随机变量服从正态分布，若，则 .
14．已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为 ．
四、解答题
15．已知是函数的一个极值点.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值.
16．已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求的值．
17．有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
18．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
男 女
支持方案一
支持方案二
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列；
(2)在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小，（直接写结果）
19．已知函数（，）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．C
6．D
7．C
8．C
9．BC
10．BD
11．BD
12．330
13．4
14．
15．（1），是函数的一个极值点
， ，
，
令，解得或；令，解得.
所以函数的减区间为，增区间为.
（2）由（1），又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
函数在的极大值为，又，
函数在区间上的最大值为.
16．（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴解得．
17．（1）设＝“被挑出的是第i箱”，
＝“第i次取出的零件是一等品”，
则，
因为，，
所以第1次取出的零件是一等品的概率是．
（2）由（1）得，
因为，
所以
，
所以．
故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为．
18．（1）解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，则的可能取值为、、，
所以，，
，所以的分布列为：
（2）解：依题意可得，所以，即.
19．（1）
①当时，恒成立，函数的递增区间为．
②当时，令，解得或．
0
单调递减 单调递增
所以函数的递增区间为，递减区间为．
（2）对任意的，使恒成立，只需对任意的，．
①当时，在上是增函数，所以只需，
而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可,而，从而不满足题意；
综上可知，实数的取值范围为．