四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷（含答案）

高2025届第四期6月半月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一项符号题目要求。
1. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数； ②某元件的测量误差；
③小明在一天中浏览网页的时间； ④高一2班参加运动会的人数；
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
2．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
3.某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出散点图如图，并利用线性回归模型进行拟合.若去掉图中10个点中的点再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A.决定系数变小 B.残差平方和变小
C.相关系数的值变小 D.解释变量与响应变量相关性变弱
4. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.
A. 10 B.13 C. 12 D. 14
5．已知函数f(x)的导函数为f/(x)，且对任意x∈R，f/(x)－f(x)＜0，f (2)＝e2，若
f(t)＜et，则t的取值范围为(　　)
A．(0，2)　　　　 B．(2，＋∞)
C．(0，e2) D．(e2，＋∞)
6.中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
7.在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式： 类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下列说法其中正确的是（ ）
A．对于线性回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3；
C．已知随机变量，若，则的值为；
10.对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则A与B互为对立事件
B. 若，则
C. 若，是B的对立事件，则
D. 若，，则
11. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列选项正确的有（ ）
A. 若函数有两个零点，则a的取值范围是
B. 当时，若，则
C. 当时，若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为_______
（用具体数字表示）
13．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，若几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为
14．若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（13分）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
（1）观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差。
参考公式：.参考数据：.
16.（15分）已知的展开式中前三项的系数排成等差数列.
（1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项.
17.（15分）已知函数有两个极值点为，.
(1)当时，求的值；
(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.
18．（17分）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：
19．（17分）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具-洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有f（）成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
计算：
证明：，
高2025届第四期6月半月考数学试卷参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一项符号题目要求。
1--8题：D,B,B,C,B,D,A,A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.BC 10.BCD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.【答案】1215 13．【答案】 14．【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（13分）【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
16.（15分）【答案】（1）；（2）和.
【解析】（1）由题意，的展开式是，
化简得
则，，
因为，前三项的系数为等差数列，则有，解得或（舍去）
则，则的展开式是
二项式系数，当时，二项式系数最大，则
（2）由（1）得，的展开式是
根据组合数性质，最大，而随着的增大而减小，且，
则计算，
，
，
，
则当或时，系数最大，则系数最大项是和
17.（15分）【答案】(1)(2)
【详解】（1）易知函数的定义域为，
则，
当时可得，，
因此可知当或时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可得和是函数的两个极值点，又，所以；
所以可得，
即当时，；
（2）易知，
又，所以是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，
所以
，
设，由可得，令，
则，所以在上单调递减，
可得，
故可知的最大值为.
18．（17分）【答案】(1)有关 (2)分布列见解析；期望为 (3)
【解析】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19．（17分）【答案】解：设，
由于，
故不是区间上的2阶无穷递降函数;
设，
则，
设，
则，
所以，得
令，则原不等式等价于，
记，，
则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以
所以，