比较图形的面积
1教材分析
《比较图形的面积》一课是北师大小学数学第九册第四单元《多边形的面积》的第一课时，这是一节典型的积累基本活动经验的课，为后面学习平行四边形、三角形、梯形面积割补转化的方法积累必要的活动经验。这节课的内容在第三版的基础上有了一些变化，除了整套教材特有的“情境+问题串”的变化，还有增加了智慧老人介绍“出入相补”的原理，并把原来情境图中的13个图形减少到10个，这样的变化我认为更关注数学思想方法的渗透，让学生的探究更有针对性、层次性，有利于学生集中精力让思考更有价值。
2学情分析
学生在三年级认识了面积与面积单位，掌握了长方形、正方形面积的计算方法，四年级认识了三角形、平行四边形与梯形的特征，五年级了解了平移、轴对称等图形变换方式。本节课是在学生已经掌握了若干平面图形的特点、掌握了面积的含义和利用面积单位度量平面图形的方法、直观认识体会了平移、旋转、轴对称等图形变换方式的特点的基础上，运用转化的思想方法来研究平行四边形、三角形和梯形面积的过度课。就学生的经验而言，在实际生活中，学生经常接触到各种各样的图案，也有拼图的经验，知道两个图形面积比较的方法，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少决定。更为重要的是学生在以往的学习中，多次运用转化，把未知的转化为已知的，运用以往的知识经验去了解、认识新知识，探索解决新问题。
3教学目标
1、借助方格纸，引导学生通过观察、比较、交流、归纳等活动判断图形面积的大小，知道比较图形面积大小方法的多样性；
2、在比较图形面积大小的过程中，学习与他人合作，初步体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，体会转化的思想，积累探索图形面积的活动经验；
3、让学生体验图形形状变化与面积大小变化的关系，发展空间观念。
4教学重难点
重点：帮助学生积累图形研究的经验，体验图形形状变化与面积大小变化的关系。
难点：图形的转化，选择适当的方法进行比较。
5教学过程
活动1【导入】一、游戏激趣，唤醒已有认知
1、师：同学们，我们来玩一个“比眼力”的游戏。看看这幅图像什么(出示图1)？是哪些平面图形拼成的？
（图1）（图2）
生：这幅图像一个人，它的头是用一个正方形、身体是用两个三角形、腿是用一个三角形和一个平行四边形、脚是用两个三角形拼成的。
师：这幅图呢？（出示图2）
生：这幅图像一只狐狸。它的耳朵是用两个三角形、头是用一个正方形、身体是用两个三角形、腿是用一个三角形、尾巴是用一个平行四边形拼成的。
生：这幅图像一只猫。它的耳朵和头是用两个平行四边形、身体是用一个平行四边形、腿是用一个三角形、尾巴是用一个平行四边形拼成的。
……
师：同一幅图，可以有不同的拼法。同学们很善于观察，并能结合我们学过的平面图形进行分析，说的都很好。
2、教师出示一个等腰三角形：
师：“老师这里有个三角形，下面我们来个想象力大比拼，你可以平移它，也可以旋转它，还可以发挥你的想象力来改变它。”
师：仔细观察，什么变了？什么没变？
（同学们通过各种方法改变了图形的位置、方向或形状，但图形的面积始终没变。）
师：“我们在学习时，也要像刚才一样，有的时候把图形变一变，你的思路可能更开阔，这节课，我们就带着这种思想来探讨图形面积的比较。”（板书课题：比较图形的面积）
【设计意图：学生在以往的生活和学习中已经掌握了若干平面图形的特点、掌握了面积的含义，也有过拼图和图形变换的相关活动经验，这些知识和经验将会支撑学生学习本节课的内容。为了能充分唤醒学生已有的活动经验，我设计了两个游戏活动：一个是“考考你的眼力”，通过分层呈现拼图，让学生观察、描述唤醒已有的经验；二是“想象力大比拼”，即发挥想象力改变一个三角形，以往学生关注更多的是图形如何变换，而很少关注图形的面积有没有发生变化，所以我通过让学生观察、思考什么变了，什么没变，让学生意识到这一点，催生等积变形的活动经验。】
活动2【活动】二、自主探究，合作交流
1、观察猜测
观察比较：课件出示教材中的图形
师：“这里有哪些我们学过的图形？
生：①、②、③、④、⑤、⑥是我们学过的三角形。
生：⑦、⑧是平行四边形，⑩是长方形。
师：老师发现还有一个图形大家没有说到，是几号?它是什么图形？
生：⑨是不规则图形。
师：这些图形的面积之间可能有什么关系？
生：①和③的面积是相等的。
师：怎样记录既简洁又可以一眼就看出①和③的面积相等？
生：可以写成①=③。
生：可以写成①2=③2。
生：写成S①=S③。
师：为什么要用字母S？
生：我们以前学过用字母S表示面积，所以这里用S就表示①的面积和③的面积相等。
师：同学们认为哪种记录方式更合适？
生：第三种，这种方法一看就知道是两个图形的面积相等。
生：我也认为第三种更好，第一种不知道是①和③的什么相等，第二种容易与计算弄混。
师：同学们说的很有道理，第三种记录方式既简洁又直观，我们可以采用这种记录方式来表示图形面积相等的关系。
【设计意图：在出示教材的情境图后，我没有急于让学生马上动手操作比较图形的面积，而是先让学生观察，是因为我有以下考虑：1、有序的观察、有条理的思维依赖于数学活动经验的长期积累，这需要教师在教学中长期有意识的引领，一点一滴的理性熏陶。我通过让孩子们观察，说一说有哪些我们已经学过的图形，让孩子们从整体出发、从熟悉简单的情况入手观察；2、明确研究范围才能让学生的探究更有针对性。课题是《比较图形的面积》，既然是比较，就有大有小，而本节课我们只研究其中面积相等的情况，这一点必须开始就让学生明确；3、学生学会用简洁、直观的记录方式会让学生的思考与交流更通畅，有利于学生体会数学的简洁美。】
2、独立探究：
除了1和3的面积相等外，其它图形之间是不是也有面积相等的关系呢？下面我们一起来研究。
首先请同学们将准备的图形、剪刀和记录单拿出来，把图形按顺序摆好。
为了方便大家研究，请看温馨提示。（生读）强调：用数学的方式来记录。
3、合作探究：
每位同学都有自己的发现，接下来我们在小组内讨论一下。
首先看一下小组内大多数同学都有的结论，说说自己是怎样得到这个结论的，看有没有不一样的方法；如果和别人的不一样或者有新的发现，小组合作验证这个结论是否正确，如果正确就补充在记录单上；如果不能验证或还有疑惑的也补充在记录单上。
4、交流内化：
师：通过独立探究和小组合作探究，同学们有了许多发现，哪个小组来展示自己的劳动成果？
生1：我们把①和③重叠在一起发现它们的面积是相等的。
师：这组同学用到了重合的方法来比较，你们还有哪些发现也是用重合法来验证的？
生1：②和⑤的面积相等也可以用重合法来验证。
生2：我们把⑥翻转后与⑤重合，发现它们的面积也是相等的。
师：同学们说到了②和⑤的面积相等，⑥与⑤的面积也相等，怎样记录呢？
生3：可以写成S②=S⑤=S⑥，这三个图形的面积是相等的。
师：说得很好。你们还有用其他方法来验证的发现吗？
生1：⑨和⑩的面积相等，我们把⑨中多余的三角形剪下来拼在左边，它就和⑩一样了。
师：（课件演示）把⑨右边的三角形分割后移补到左边，什么变了？什么没变？
生1：⑨的形状变了，面积没变。
师：像这样分割、移补的方法就是割补法，图形经过割补后面积没有发生变化，这就是数学上所说的“出入相补”原理。
师：你们是怎么想到要用割补法来验证的？
生1：因为⑨是一个不规则的图形，右边多出来的三角形正好可以把左边缺的补上，这样就变成长方形，和⑩就是相同的了。
师：你们很善于观察。利用割补法把不规则图形变成规则图形来比较。
生4：我们发现⑧和⑩的面积相等，也是利用割补法进行验证的。
师：你们是怎么做的？
生4：⑧是一个平行四边形，我们发现把右边的三角形剪下来拼在左边，也能变成和⑩一样的长方形。
师：他们利用割补法把平行四边形变成长方形，这样就更便于比较了。
生5：⑤和⑥的面积加起来等于⑧的面积，因为⑤和⑥可以拼成和⑧一样的平行四边形。
师：你们是利用拼合法来验证的。拼合后，大家发现⑤和⑧的面积有什么关系？
生5：⑤的面积是⑧的面积的二分之一。因为⑤和⑥是两个相同的三角形，拼合成平行四边形后，与⑧的面积相等，所以⑤的面积就是⑧的面积的二分之一。
生6：①和③的面积加起来等于⑦的面积。因为把①和③拼合成一个正方形后，再把⑦割补成正方形，这两个正方形是一样的。
师：他们很善于寻找联系，是用拼合法与割补法这两种方法结合来进行验证的。
师：①和③的面积相等，除了用重合法验证，还能用别的方法验证吗？
生7：还可以用数方格的方法。
师：这两个三角形中出现了半格的情况，怎么数？
生7：我们可以把两个半格看成一格，①和③的面积都是四格半，所以它们的面积相等。
生8：还可以给①添上两条线，变成一个正方形，①是这个正方形面积的一半，就是4.5格，③也是这样的，所以①和③的面积相等。
师：你很会想办法，添上的这两条线，我们也称辅助线，它能帮助我们更好的观察，从而进行验证。
5、反思提升：
师：同学们，回顾今天的学习过程，你们有什么收获？
生1：我知道了可以利用重合法、数方格、割补法、拼合法来比较图形的面积。
生2：我们可以把一些不规则或不熟悉的图形用今天学的方法变成规则的熟悉的图形，这样就更方便了。
生3：我学会了用简洁的方法来表示图形的面积相等。
生4：我知道了通过割补法，图形的形状变了，但是面积是不变的。
生5：像三角形这样的数方格时，可以把两个半格看做一格来数，这样就能知道它的面积了。
生6：有的图形形状虽然不同，但它们的面积是相等的。
师：同学们的收获很多，今天我们学习了直接利用重合法、数方格或利用割补法、拼合法把图形转化成新的图形来比较图形的面积。我们以后也会用到这些方法来探究图形的面积问题。
【设计意图：为了让学生能自主实现经验的提升和内化，最大限度地发挥学生互助、教师点拨的作用，我分三个层次让学生开展探究活动：动手操作自主探究、小组合作、全班交流，这其中既有外显的行为操作活动，也有思维层面的操作活动，学生能获得融直接经验与间接经验为一体的数学活动经验。学生不仅在活动中有体验，在活动前、活动中、活动后都经历着数学思考。】
活动3【活动】反思小结
师：同学们，回顾今天的学习过程，你们有什么收获？
生1：我知道了可以利用重合法、数方格、割补法、拼合法来比较图形的面积。
生2：我们可以把一些不规则或不熟悉的图形用今天学的方法变成规则的熟悉的图形，这样就更方便了。
生3：我学会了用简洁的方法来表示图形的面积相等。
生4：我知道了通过割补法，图形的形状变了，但是面积是不变的。
生5：像三角形这样的数方格时，可以把两个半格看做一格来数，这样就能知道它的面积了。
生6：有的图形形状虽然不同，但它们的面积是相等的。
师：同学们的收获很多，今天我们学习了直接利用重合法、数方格或利用割补法、拼合法把图形转化成新的图形来比较图形的面积。我们以后也会用到这些方法来探究图形的面积问题。
【设计意图：这节课中学生探究图形面积的经验本身就具有很好的指导作用和实用价值，但要使数学活动经验更长效地纳入学生的个体知识体系，还需要经历一个概念化和形式化的过程，这些对学生后续发展起着十分重要的奠基作用。在自主探究、汇报交流后我让学生回顾学习过程，反思自己的收获与想法，并和大家分享，引导学生摆脱具体的图形情境，实现对具体情境的“超越”，主动建构起情境、操作背后隐藏着的数学思想和方法，进而积累相关的数学活动经验。】
课件14张PPT。北师大版小学数学第九册第六单元第一课时比较图形的面积观察并比较下面各图形的面积大小有什么关系？
温馨提示： 1、仔细观察①～⑩图形，你认为哪些图形的面积可能相等，并记录在“观察发现”栏内。 2、利用学具，想办法验证。 3、验证后是正确的，就在“验证”栏画“√”。4、四人小组交流：
你发现了什么？
你是采用什么方法验证的？
你还有什么困惑？
①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩ABDCSL①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ④④①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 像这样的分割、移补后（割补法），图形的面积没有改变。这就是数学上的“出入相补”原理。①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩A 像这样的分割、移补后（割补法），图形的面积没有改变。这就是数学上的“出入相补”原理。①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩①②④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 下列哪些图形与图①一样大？说说你的想法？第一关：②③①④第二关： 请在由边长为1厘米小正方形组成的方格纸上，画出一个面积为12平方厘米的图形。
