安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题（含答案）

安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列是等比数列，若，，则（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．有4位同学到书店购买课外书，每人购买一本，根据需求，书店有5种书适合4位同学购买，那么4位同学恰好购买了3种书的购买方法有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．500种
6．设双曲线：的左右焦点分别为、，过点且斜率为的直线在第一象限交于点，若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．已知，其中，若，，，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和，则下列一定正确的是（ ）
A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变
C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变
10．已知实数,满足,,，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，且当时，则下列正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
三、填空题
12．已知向量，，若，则 .
13．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 .
14．已知，若，则的范围为 .
四、解答题
15．在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知面积为，为7，求边上中线长.
16．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
17．某城市推广垃圾分类，设置智能回收箱（方式）和传统垃圾桶（方式）．统计显示，60%的居民选择方式，选择方式，若垃圾被正确分类，则垃圾被回收，不用填埋．智能回收箱的正确分类率为，错误分类后需人工处理，人工处理可将错误分类垃圾的40%重新正确分类，其余直接填埋；传统垃圾桶的正确分类率为75%，错误分类后直接填埋．
（1）求垃圾最终被填埋的概率；
（2）若某吨垃圾被填埋，求其最初通过传统垃圾桶投放的概率；
（3）现有一吨垃圾要整体处理，设为其处理成本（单位：元），正确分类无需成本，人工处理成本为200元，填埋成本为500元.求的分布列及数学期望．
18．已知抛物线：，过抛物线焦点且斜率为的直线与交于，两点（点在第一象限），已知线段中点纵坐标为.
（1）求抛物线方程；
（2）点在抛物线上移动，位于，两点之间且与，两点不重合.若直线交准线于点，直线交准线于点，其中点在点的上方.
（i）是否存在点，使？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（ii）求线段长度最小值.
19．已知函数
（1）证明不等式：；
（2）记，证明：；
（3）已知，证明：.
参考答案
1．A
2．D
3．C
4．B
5．B
6．C
7．D
8．C
9．ACD
10．AD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）因为，
由正弦定理边化角得
利用三角形内角和定理可得
即
因为所以，即
因为，所以.
（2）由得①
由得②
由①②得
由，
得.
16．（1）连接，因为，是中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
且面，，
所以面，又因为面，所以，
由，又，，得；
（2）由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系，
则，，，，
所以，，，
设，分别是面和面的法向量，二面角记为，
由，令，得，
得是面的一个法向量，
由，令，得，
得是面的一个法向量，
所以，所以，
故二面角的正弦值为.
17．（1）记为事件“垃圾按照方式分类”，为事件“垃圾最终被填埋”，
则．
（2）由题意得，．
（3）由题意，的可能取值为0，200，500，700，
且，
，
，
，
故分布列如下：
0 200 500 700
0.81 0.036 0.1 0.054
．
18．（1）解：由题意，可得方程为，设，，
联立方程，整理得，
所以，所以，
抛物线方程为.
（2）解：因为点在第一象限，所以由（1）可得，.
设，因为点在点的上方，所以，
直线,令，可得，
同理.
（i）延长交准线于，可得，则，即，
因为，，可得，
即
解得，故存在点，使得.
（ii）由，
令，则，
所以在上单减，在上单增，，
此时，故.
19．（1）令
则，
在，在
故在上递减，在上递增
所以即.
（2）由（1）知
所以
令得；
（3）要证
只要证
令，则，
在，在
故在上递增，在上递减，
所以，故
所以
令则
即.