甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考数学试题（含答案）

甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，且与的夹角为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．暑假期间，甲 乙 丙 丁四名大学生到某科研单位的第一 二 三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（ ）
A．12 B．8 C．6 D．7
二、多选题
9．已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．增加两个样本点后的平均数为1.2
C．
D．在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2
10．如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ）
A．长半轴长为 B．短半轴长为
C．焦距为4 D．离心率为
11．已知函数，且，则下列结论正确的有（ ）
A．不一定有极值
B．当时，
C．当时，的极小值为0
D．当时，在区间上的最小值为
三、填空题
12．若函数的最小正周期是，则 .
13．已知数列满足，若，则 .
14．已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的体积为 ，球的表面积为 .
四、解答题
15．在如图所示的多面体中，平面，且是的中点.
（1）求证：平面平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16．已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的值.
（2）已知.
（i）求的值；
（ii）求的面积.
17．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
18．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值.
（2）当时，证明：当时，.
（3）当时，若存在，使得成立，证明：.
19．若数列满足，则称数列为项数列.集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，记随机变量.
（1）求集合中元素的个数；
（2）求概率的值；
（3）若的期望，求的最小值.
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．D
5．D
6．B
7．C
8．D
9．ABD
10．AD
11．ACD
12．3
13．
14．
15．（1）是的中点，
.
平面，
平面平面
，
平面平面，
平面
平面
平面平面.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，过点且竖直向上的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则取，解得.
设平面的法向量为，
则取，解得.
记平面与平面夹角为，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
16．（1），
，
，
，
.
.
（2）（i）
∴由正弦定理得，
由（1）知，
∴由余弦定理得，
解得.
（ii）的面积为.
17．（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为.
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.
18.（1）.
曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，
在上恒成立，
在上单调递增，
当时，.
（3）当时，，
当时，存在成立，
，
得.
由（2）可知，当时，单调递增，
，即，
，
设，
则，
当时，，则，
，
，
.
19．（1）根据数列中1的个数可得集合中元素的个数为
集合中共有个元素.
（2）数列为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，
不能取的所有可能取值为.
当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
从项中选择项，和在项中的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反.
问题为组合问题，所有的情况会重复1次，共有种情况，
概率.
（3）随机变量的分布列为
1 2 3 ...
...
，
.
令，则，
数列是递增函数.
，
的最小值为32.