甘肃省白银市会宁县第一中学2025届高三下学期高考冲刺（三模）数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 甘肃省白银市会宁县第一中学2025届高三下学期高考冲刺（三模）数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 704.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-10 17:17:54 | ||
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文档简介
甘肃省会宁县第一中学2025届高三下学期高考冲刺数学试卷（三模）
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，且，则实数（ ）
A．2 B． C．18 D．
3．若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．定义：二阶行列式，三阶行列式，的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称为元素的代数余子式，三阶行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．（ ）
A．0 B． C．6 D．
7．若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．
B．为纯虚数
C．复数在复平面内对应的点位于第四象限
D．
10．已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为减函数
C．函数的图象关于点中心对称
D．的解集为
11．在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．曲线的方程为
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到轴的距离的最大值为
三、填空题
12．若随机变量，且，则 ．
13．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ．
14．已知直线与曲线相切，则 ．
四、解答题
15．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
（1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
（2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
16．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
17．已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式．
（2）设数列的前项和为．
①求；
②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若分别为椭圆的上 下顶点，直线与椭圆相交于两点，且．
①证明：直线过定点．
②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
19．已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，二面角的大小为．
（1）若为的中点．
①求点到平面的距离；
②若，求平面与平面夹角的余弦值．
（2）若，点为线段的中点，将沿折起，使得与四边形在平面的同侧，且平面平面，点为四面体的内切球球面上的一动点，求的最小值．
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．C
5．B
6．A
7．D
8．C
9．AB
10．BC
11．ACD
12．6
13．
14．
15．（1）易知，
因为，，
，
因为
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知，由，
因为，
所以，故所求的经验回归方程为．
当时，，
所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
16．（1），
当时，，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）恒成立等价于，即．
令，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
17．（1）因为，
所以，解得，
设数列的公差为，所以，
解得．因为，所以，
所以的通项公式是．
（2）①由（1）知，所以，
所以，
所以，
故；
②存在；，理由如下：
设，由①知，所以，
假设存在实数，使得数列为等差数列，
当时，
，
只有当时，为常数，其他值均不合要求，
故存在实数时，使得数列是等差数列．
18．（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为，
所以，故，所以，所以．
因为椭圆过点，所以，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
由，得，
设，所以，
易知，因为，所以，
即，
所以，
即，
化简得，
所以．
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，
满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
所以面积的最大值为．
19．（1）①设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以．
因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以．
因为，且，平面，所以平面．
因为，所以．
因为，所以，故点到平面的距离为.
②过点作平面，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由①知，．
因为，
所以,，
所以,，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，所以，令，解得，
所以为平面的一个法向量．
，所以令，解得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立如图所示的坐标系，
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，所以，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，且，则实数（ ）
A．2 B． C．18 D．
3．若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．定义：二阶行列式，三阶行列式，的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称为元素的代数余子式，三阶行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．（ ）
A．0 B． C．6 D．
7．若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．
B．为纯虚数
C．复数在复平面内对应的点位于第四象限
D．
10．已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为减函数
C．函数的图象关于点中心对称
D．的解集为
11．在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．曲线的方程为
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到轴的距离的最大值为
三、填空题
12．若随机变量，且，则 ．
13．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ．
14．已知直线与曲线相切，则 ．
四、解答题
15．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
（1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
（2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
16．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
17．已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式．
（2）设数列的前项和为．
①求；
②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若分别为椭圆的上 下顶点，直线与椭圆相交于两点，且．
①证明：直线过定点．
②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
19．已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，二面角的大小为．
（1）若为的中点．
①求点到平面的距离；
②若，求平面与平面夹角的余弦值．
（2）若，点为线段的中点，将沿折起，使得与四边形在平面的同侧，且平面平面，点为四面体的内切球球面上的一动点，求的最小值．
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．C
5．B
6．A
7．D
8．C
9．AB
10．BC
11．ACD
12．6
13．
14．
15．（1）易知，
因为，，
，
因为
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知，由，
因为，
所以，故所求的经验回归方程为．
当时，，
所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
16．（1），
当时，，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）恒成立等价于，即．
令，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
17．（1）因为，
所以，解得，
设数列的公差为，所以，
解得．因为，所以，
所以的通项公式是．
（2）①由（1）知，所以，
所以，
所以，
故；
②存在；，理由如下：
设，由①知，所以，
假设存在实数，使得数列为等差数列，
当时，
，
只有当时，为常数，其他值均不合要求，
故存在实数时，使得数列是等差数列．
18．（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为，
所以，故，所以，所以．
因为椭圆过点，所以，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
由，得，
设，所以，
易知，因为，所以，
即，
所以，
即，
化简得，
所以．
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，
满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
所以面积的最大值为．
19．（1）①设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以．
因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以．
因为，且，平面，所以平面．
因为，所以．
因为，所以，故点到平面的距离为.
②过点作平面，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由①知，．
因为，
所以,，
所以,，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，所以，令，解得，
所以为平面的一个法向量．
，所以令，解得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立如图所示的坐标系，
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，所以，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
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