甘肃省平凉市第一中学2024?2025学年高三下学期押题数学试卷（二）（含答案）

甘肃省平凉市第一中学2024 2025学年高三下学期押题数学试卷（二）
一、单选题
1．已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
2．一组数据1，7，5，2，，2，且，，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
3．设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（ ）
A．10或4 B．13或1 C．10 D．13
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数（，为虚数单位），则（ ）
A．任意，为实数 B．存在，使得
C．存在，使得为纯虚数 D．在复平面内对应的点的轨迹是一条直线
10．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，，、分别表示与中的较小值与较大值，则（ ）.
A．.
B．当直线与曲线有三个不同交点时，的取值范围为.
C．当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点.
D．函数图象上的点到原点的最短距离为.
三、填空题
12．函数的单调递减区间是 .
13．已知F为椭圆C：的右焦点，为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 .
14．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且为锐角三角形，则面积的取值范围为 .
四、解答题
15．某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级 一等品 二等品 三等品
数量/件 40 30 30
（1）根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率；
（3）该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择，
方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级 一等品 二等品 三等品
售价/（元/件） 24 22 18
从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案 请说明理由.
16．如图，五面体中，平面，，，.
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求A到平面的距离.
17．设数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，.
18．已知曲线C上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等.，直线过点且与C有两个不同的交点，，直线，分别交y轴于点M，N.
（1）求C的方程；
（2）若直线，的斜率分别是，，且，求的值及的斜率；
（3）设为原点，若，判断是否为定值 若是，求出该定值；若不是，说明理由.
19．设与是定义在同一区间I上的两个函数，若函数在上恰有两个零点，则称和是I上的“关联函数”.
（1）判断与是否为区间上的“关联函数”；
（2）若与是上的“关联函数”，求的取值范围；
（3）若，，且对任意，都存在，使得，，成等比数列，且，，成等差数列，证明：，并判断与是否为区间上的“关联函数”.
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．A
5．C
6．C
7．B
8．B
9．ACD
10．ABD
11．AC
12．（写成，，，同样给分）
13．/
14．
15．（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以的可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
（件）
（2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到三等品的数量为，则，
所以.
（3）由题意得，方案二的产品的平均售价为：
（元/件），
因为，
所以从采购商小李的角度考虑，应该选择方案一.
16．（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为，所以A，C，D，E四点共面.
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）知，，两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，.
设为平面的法向量，则得，令，得，
取平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，
所以，解得，即的长为3.
所以，又，
所以到平面的距离.
17．（1）由，当时，，
则，整理得.
因为，所以是以为首项，以公比的等比数列，
所以.
（2），
当时，，
所以，
所
18．（1）解：因为曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，以为准线的抛物线，且，可得
所以的方程为.
（2）解：由题意得，直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
由韦达定理得，所以，同理可得，
，所以，
直线的斜率.
（3）解：根据题意，设且，
联立方程组，整理得，
由，解得，且，，
直线，令，可得，
所以，同理得，
因为，故，
可得，所以，同理得，
所以.
19．（1）设，，
显然，；
当时，，此时函数无零点；
当时，，，则单调递增，
又，，所以，使得；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上没有零点.
综上，有两个零点，故，是区间上的“关联函数”.
（2）因为与是上的“关联函数”，
所以在上有两个不同的零点，
即在上有两个不同的根.
设，其对称轴为，
故需满足，解得，
故的取值范围是.
（3）证明：由题意知，对任意，存在，满足，且，
则，且.
对于给定的，有，
当且仅当，即时等号成立，
因此对任意都成立.
在上式中令，得（*）
令，，则，
当时，；当时，，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且，，，可知满足不等式（*）的.
设，则，
所以在上为单调递减函数，不可能有两个零点，
所以与不是区间上的关联函数.