广东省深圳市高级中学高中园2025届高三下学期适应性考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市高级中学高中园2025届高三下学期适应性考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 697.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-10 18:04:55 | ||
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文档简介
广东省深圳市高级中学高中园2025届高三下学期适应性考试数学试题
一、单选题
1．已知，则复数的实部为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．现从含甲、乙在内的9名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A． B．
C． D．
10．如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点，使得平面
B．点到平面的距离为
C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期
C．在上为增函数 D．
三、填空题
12．在的二项展开式中，常数项是 ．（用数值作答）
13．已知为等差数列的前项和，若当时，，则 .
14．若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，．
（1）求；
（2）若,，求边上的高．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.
18．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数的最小值；
（3）当时，证明：．
19．已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，．
其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为．
(1)若：1，3，2，4，写出数列并求；
(2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列．
（i）当时，求的最小值；
（ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值．
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．B
5．C
6．A
7．D
8．C
9．AC
10．BCD
11．ABD
12．160
13．
14．
15．（1）在中，因为，
由正弦定理及，得，
因为，
所以，
所以．
所以．
（2）因为，
由余弦定理，得，
所以．设边上的高为，
又的面积，
所以，
所以AB边上的高为．
16．（1）证明：如图所示，连接，
因为，且为中点，所以，
在菱形中，，可得为等边三角形 ，所以，
又因为平面，且，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为，平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，，
因为，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
假设存在点满足题意，设，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设与平面所成角为，则
解得或（舍），所以存在点，使得与平面所成角的正弦值为，
此时.
17．（1）设椭圆的半焦距为，则，得，
又离心率为，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，
则，
因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角，
因不共线，所以，
故，即，
因
所以
解得，
因为，则得，
解得或，
故实数的取值范围为.
18．（1）函数的定义域为，，
当时，由得，由，得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由得，由，得或，
此时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，由得或，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）函数的定义域为，，
由，得，由，得，
即在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值．
（3）当时，等价于，
即，即，
即，即，
，只需证明，
当，时，，只需证明，
由（1）知，时，在处取得最小值，
综上所述，原不等式成立．
19．（1）由题意，，即1，2，2，1；
所以；
（2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素，
如，在中至多在和中出现两次（规定，），
且若出现两次，则这两个数处于邻位（和也视为邻位），
所以的所有项中至多有两个1和两个2．所以，
当为1，4，2，5，3时取得等号，所以的最小值为9；
（ii）同（i）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次，
若在中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在中至多出现三次，
①若，则，
当满足时取得等号，
②若，则，
当满足时取得等号，
③若，则，
当满足时取得等号，
综上，
一、单选题
1．已知，则复数的实部为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．现从含甲、乙在内的9名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A． B．
C． D．
10．如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A．棱上存在一点，使得平面
B．点到平面的距离为
C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D．过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期
C．在上为增函数 D．
三、填空题
12．在的二项展开式中，常数项是 ．（用数值作答）
13．已知为等差数列的前项和，若当时，，则 .
14．若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，．
（1）求；
（2）若,，求边上的高．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.
18．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数的最小值；
（3）当时，证明：．
19．已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，．
其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为．
(1)若：1，3，2，4，写出数列并求；
(2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列．
（i）当时，求的最小值；
（ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值．
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．B
5．C
6．A
7．D
8．C
9．AC
10．BCD
11．ABD
12．160
13．
14．
15．（1）在中，因为，
由正弦定理及，得，
因为，
所以，
所以．
所以．
（2）因为，
由余弦定理，得，
所以．设边上的高为，
又的面积，
所以，
所以AB边上的高为．
16．（1）证明：如图所示，连接，
因为，且为中点，所以，
在菱形中，，可得为等边三角形 ，所以，
又因为平面，且，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为，平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，，
因为，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
假设存在点满足题意，设，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设与平面所成角为，则
解得或（舍），所以存在点，使得与平面所成角的正弦值为，
此时.
17．（1）设椭圆的半焦距为，则，得，
又离心率为，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，
则，
因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角，
因不共线，所以，
故，即，
因
所以
解得，
因为，则得，
解得或，
故实数的取值范围为.
18．（1）函数的定义域为，，
当时，由得，由，得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由得，由，得或，
此时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，由得或，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）函数的定义域为，，
由，得，由，得，
即在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值．
（3）当时，等价于，
即，即，
即，即，
，只需证明，
当，时，，只需证明，
由（1）知，时，在处取得最小值，
综上所述，原不等式成立．
19．（1）由题意，，即1，2，2，1；
所以；
（2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素，
如，在中至多在和中出现两次（规定，），
且若出现两次，则这两个数处于邻位（和也视为邻位），
所以的所有项中至多有两个1和两个2．所以，
当为1，4，2，5，3时取得等号，所以的最小值为9；
（ii）同（i）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次，
若在中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在中至多出现三次，
①若，则，
当满足时取得等号，
②若，则，
当满足时取得等号，
③若，则，
当满足时取得等号，
综上，
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