广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试数学试题（含答案）

广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试数学试题
一、单选题
1．复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
3．某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（ ）
A．19种 B．20种 C．126种 D．294种
4．已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ）
A． B． C． D．
5．若为奇函数，则实数的值等于（ ）
A．－1 B． C． D．1
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．在正四棱台中，，棱与平面所成角的正弦值为，则该棱台的体积为（ ）
A．40 B． C．56 D．112
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ）
A．
B．当时，
C．若点的坐标为，则周长的最小值为8
D．当时，
10．某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．与为互斥事件 B．与互为对立事件
C． D．
11．已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A．直线是曲线的一条对称轴
B．曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合
C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2
D．曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．已知函数，则在点处的切线方程为 ．
13．已知曲线，记的一条渐近线与轴的夹角为，则 ．
14．已知正项数列的前项和为，其中，且．
（1）数列的通项公式 ；
（2）记集合，非空集合，满足，若集合中的任意3个元素的和都能被3整除，则集合的元素个数的最大值为 ．
四、解答题
15．已知分别为三个内角的对边，，且满足．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．已知甲、乙进行一场中国象棋比赛，每局棋甲胜的概率为，乙胜的概率为，每局棋胜负结果相互独立，约定先达到净胜2局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）．
（1）求恰2局棋下完时甲获得比赛胜利的概率以及恰4局棋下完时甲获得比赛胜利的概率
（2）若规定比赛总局数达到6局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；
（3）若比赛不限局数，求甲最终获胜的概率．
（定义：若无穷等比数列的公比满足，则所有项之和为．）
17．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求证：对任意的，恒成立；
（3）若的极大值为，求的取值范围．
18．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．

（1）求证：是直角三角形；
（2）若，求三角形面积的最大值；
（3）若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围．
19．已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为．
（1）求曲线的方程；
（2）以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、．
（ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等；
（ⅱ）求点的轨迹方程．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．C
5．C
6．B
7．C
8．A
9．ACD
10．BCD
11．ABC
12．
13．/
14．675
15．（1）由已知和正弦定理得：，
因为，所以，
由辅助角公式得：，即，
因为，所以，所以或，
故或，因为，所以．
（2）的面积，所以，
由余弦定理得：，
所以，
所以的周长为．
16．（1），.
（2）可能的取值为2，4，6．
；
；
；
变量的分布列如下：
2 4 6
（3）方法一：
比赛只进行一局无法分出最终胜负；比赛每进行两局后会有三个不同的结果：
甲连胜两局获胜结束，甲连负两局由乙获胜而结束，甲一胜一负回到初始状态，
根据递推关系得：，所以．
方法二：
将甲2局获胜，4局获胜，6局获胜，……局获胜，……的所有情况进行累加：
即是一个无穷等比数列的所有项之和，其中．
17．（1）当时，，则．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）当时，．
要证，即证．
构建，则．
构建，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
可知函数在上单调递增，
则，即．
（3）因为．
当时，则，
令，得；令，得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
此时只有极小值，不符合题意；
当时，令，得．
因为的极大值为，则，解得，
此时当或时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，符合题意；
综上，的取值范围为．
18．（1）在三棱锥中，由平面，面，得，
又平面，则平面，而平面，
则，又平面，于是平面，
又平面，因此，所以为直角三角形．
（2）由，以及，得为中点，，
由（1）知，则在直角三角形中，有，
因此，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
（3）以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，由，得，
即，且，则，
则，
，设平面的一个法向量为，
则，令，得平面的一个法向量为，
，
整理得，，
设，要存在，使与平面所成角为，
则在上有零点．而函数图象的对称轴，
又，只需满足，即，解得，
所以的取值范围是．
19．（1）由于点在左支，则有，
由，有，又，联立解得（舍负）．
则，，曲线的方程为．
（2）
（ⅰ）首先是表示经过点的直线，
下面证明其恰是以点为切点曲线的切线．
联立与可得，所以有，
这说明是以点为切点曲线的切线．
其次，由于，则有，
同理有，
注意到，且，
则有，
同理有．
所以，这说明与相等或互补（舍去）．
所以有，记．则有，
，因此有．
（ⅱ）延长与交于点，易知，则，
则三角形为等腰三角形．连接，由于分别是的中点，
则有，
所以点的轨迹为以圆心，以为半径的圆，其轨迹方程为，
注意到，
其中，所以有，
设，则有，联立，解得，
所以点的轨迹方程为．