贵州省黔东南州榕江县第一中学2024-2025学年高三下学期5月模拟测试数学试题（含答案）

贵州省黔东南州榕江县第一中学2024 2025学年高三下学期5月模拟测试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（ ）
A． B． C． D．
3．某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（ ）
A．79 B．80 C．81 D．82
4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
8．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第21项是 (　　)
A．200 B．210 C．220 D．242
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的值域是 B．
C．在区间上单调递增 D．是奇函数
10．已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰，，，拼成，其中线段，，的中点均为点，且．若将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，直线直线，则（ ）
A．的体积为
B．的表面积为
C．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为
D．的体积为
三、填空题
12．记为等差数列的前n项和，若，，则 .
13．在中，已知，，.则 .
14．若直线是函数的图象的切线，则的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，已知，
（1）求；
（2）的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
①；②；③．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
17．如图，是等边三角形，直线平面，直线平面，且，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点.
（i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上.
19．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）若且，有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
2．D
3．B
4．C
5．B
6．A
7．B
8．C　
9．ABD
10．BD
11．AD
12．95
14．
15．（1）由，
根据正弦定理得，，
则，
又，所以，则，即，
又，所以.
（2）选择条件①：
由，，无解，不符合题意；
选择条件②：
由，，则，，
所以为等边三角形，
因为的周长为9，则，即，
所以的面积为；
选择条件③：
由题意，，，
因为的周长为9，则，即，
由余弦定理得，，
则，即，即，
则，此时为等边三角形，
则的面积为.
16．（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
17.（1）取中点，连接，，
因为是线段的中点，所以且
因为直线平面，直线平面，
∴，
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
又是等边三角形，为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，即，又，，
所以，则，解得，
取的中点，的中点，连接、，则，，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取；
设平面的法向量为，则，取；
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（1）由题意，得，则①，
将点代入双曲线方程，得②，
联立①②，解得故的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在.
设直线的方程为，与联立得.
设，由题意，得解得.
（i）因为为中点，所以.
由，得.
又，解得，所以直线的斜率为.
（ii）证明：设直线的方程为，令，得.
同理可得.
因为为中点，所以，即.
又因为点都在直线上，
所以，
整理得，
代入韦达定理，得，所以.
因为，所以点恒在定直线上.
【方法总结】由特殊到一般法：
由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
19．（1）因为的定义域为，且，
则，即切点坐标为，斜率，
所以所求切线方程为.
（2）由（1）可得：，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当x趋近于0时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，
可得的图象如图所示：
令，则
令，可得，
原题意等价于：与有2个交点，
结合函数图象可得，所以实数的取值范围为.
（3）因为，令，则，即，
由可得，
可知在内单调递增，
则，可得在内恒成立，
构建，则，
构建，则，
且，可知在内单调递增，
构建，可知在内单调递增，
且，
则在内存在唯一零点，
当时，，，可得，即；
当时，，，可得，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
且，则，，
可得，即，
可得，所以实数的取值范围为.