贵州省遵义市2025届高三第三次适应性考试数学试卷（含解析）

贵州省遵义市2025届高三第三次适应性考试数学试卷
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，若，则（ ）
A． B．6 C．4 D．2
4．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．,，当时，均有
C．的图象关于点对称
D．至少有2个零点
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1
D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变
10．如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（ ）
A．四面体的体积为
B．直线与直线所成角的大小为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点到平面的距离为3
11．椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
三、填空题
12．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于 .
13．已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示）
14．设为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，每组的4个数都能构成等差数列，且公差与原数列的公差相同，则取法有 种．（用含的代数式作答）
四、解答题
15．已知数列为等比数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
（1）若线段中点的横坐标为1，求的值；
（2）求的取值范围．
17．已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，讨论函数的零点个数；
（3）证明：，．
18．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接．
（1）证明：平面平面；
（2）若点为棱的中点，平面，平面．
（i）与所成的最小角为，求；
（ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值．
19．现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品的不合格率均为．
（1）在抽取的100件产品中，恰有2件不合格品，以频率估计概率，若从该批产品中共抽取件，记不合格品的数量为．
（i）求的期望；
（ii）当概率（其中）取得最大值时，求的值．
（2）极大似然估计是用给定观察数据来估计模型参数的一种统计方法，其基本思想是概率最大化原则：一个随机试验有若干个可能的结果，，，…，若在一次试验中，结果出现，则一般认为试验条件对出现有利，即出现的概率很大，也就是找到参数的最优值，使得在该参数下观测数据出现的概率最大（即似然函数最大）．现对该批产品估计其不合格品率，对其进行次独立观测，每次从中抽取个产品，记录不合格品数分别对应为，，…，，求的极大似然估计值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】复数的虚部是.
故选C
2．【答案】D
【详解】集合，，
则.
故选D
3．【答案】B
【详解】由，，，
可得，解之得.
故选B
4．【答案】B
【详解】由正弦定理，即，所以，
又，所以，所以.
故选B
5．【答案】A
【详解】依题意该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
故选A
6．【答案】D
【详解】因为，所以，又，
即，解得或，
因为为锐角，所以，则，
所以.
故选D
7．【答案】A
【详解】依题意，且，即，
又，所以，当且仅当时取等号，由，解得，
故当，时该同学的得分最高.
故选A
8．【答案】C
【详解】选项A：函数的定义域为，它不关于对称，
所以的图象不关于直线对称，A选项错误.
选项C：，
，
所以，
所以的图象关于点对称，C选项正确.
选项BD：设，
则，故在为减函数，
而，故时，；时，；
故时，即；
故时，即；
而，故仅有一个零点，故D正确，
而，，而，
故B错误，
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】对于A选项：表示正态分布的均值为3，故；
对于B选项：线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高，符合统计学定义，正确；
对于C选项：将代入回归直线方程得到预测值为，残差为，正确；
对于D选项：插入与原平均数相同的数，新的平均数依然为，设原方差为，则新方差为
，不正确，
故选ABC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A：因为，平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又等边的边长为，，，
所以，
所以，故A正确；
对于B：因为平面，平面，所以，
即直线与直线所成角的大小为，故B错误；
对于C：取的中点，连接、，则，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
又，在中，，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于D：因为，，
设点到平面的距离为，则，解得，
即点到平面的距离为，故D正确.
故选ACD
11．【答案】ABD
【详解】对于A：椭圆的左右焦点分别为，，
点在上，所以，故A正确；
对于B：因为，
在中由余弦定理，
即，即，所以，故B正确；
对于C：若是等腰三角形，若或，由对称性可知满足条件的点有个；
若，又，则，此时点在椭圆的短轴的顶点处，即满足条件的点有个；
综上可得，满足条件的点有个，故C错误；
对于D：记双曲线的实半轴长为，在第二象限，
所以，，
设，因为交轴于点，且平分，
所以，
在中，由余弦定理可知，，
设，则，
由角平分线定理可知，，即，解得，
在中，，
所以，因为，解得，
因此，双曲线的离心率，故D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是，
∴球的表面积是4.
13．【答案】
【详解】当时，，
则不等式可化为或，
解之得或，即，
又函数是偶函数，则当时，
由不等式可得，.
综上，不等式的解集为.
14．【答案】
【详解】从项的等差数列中删除2项等价于该等差数列是由其中的项增加2项构成的，
把项按每相邻4项为一组分成组，共有个间隙，
若插入相邻2项，则有种方法；若插入不相邻项，则有种方法，
所以不同取法种数是.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）在等比数列中，由，，得公比，
，解得，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以.
16．【答案】（1）3；
（2）.
【详解】（1）抛物线的焦点，设，
由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得，
所以.
（2）由直线过点，设直线的方程为，
由消去并整理得，
由，得，且，
则，
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）递增区间是，递减区间是；
（2）答案见解析；
（3）证明见解析.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，
当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点；
当时，，函数存在唯一零点；
当时，，函数无零点，即零点个数为0，
所以当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有0个零点.
（3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号，
取，则，
因此，
所以.
18．【答案】（1）证明过程见解析
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以⊥，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，所以⊥平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）（i）设，则为中点，连接，
因为点为棱的中点， 所以，
因为平面，所以⊥平面，
又平面，故当在直线上时，与所成的角最小，
即，
因为，所以，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
故，由勾股定理得，
所以；
（ii）设，若，即为中点，此时，
平面平面，显然此时，
取中点，连接，则，⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，即，
，故，
与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为，
由于与平面上的直线的夹角最小，
故当与点重合时，，此时与所成角最小，最小值为，
其中，故；
若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则，
过点作⊥于点，连接，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
，故，
与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为，
故当，此时与所成角最小，最小值为，
其中，
由于，故，故；
若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则，
过点作⊥于点，连接，
同理可证⊥，，
与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为，
故当，此时与所成角最小，最小值为，
其中，
当时，为等腰直角三角形，⊥，
此时重合，取得最大值，最大值为，
故取得最小值，最小值为，
由于，故当时，满足要求，
此时，过点作，交于点，则，
即，故，
又，故，故，
因为点为棱的中点，所以
其中，故，即，解得，
综上，.
19．【答案】（1）（i）；（ii）；
（2）
【详解】（1）（i）估计不合格率，则，
；
(ii)令，
，
，
，
当时，，
此时记表示不超过的最大整数．
①当时，，
取最大值时，或，
②当时
取最大值时，，
（2），则，
似然函数，
两边同时取自然对数并整理得：
令，
，
时，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
所以时，最大，此时似然函数取得最大值．
因此，的极大似然估计量为．