山东省淄博第十一中学2024 2025学年高一下学期6月月考数学试卷
一、单选题
1.若复数满足,则( )
A. B. C. D.
2.已知向量与的夹角为,,,则( ).
A. B. C.或 D.以上都不对
3.在空间中,已知 为不同的直线, 为不同的平面,则下列判断正确的是( )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
4.某批产品检验后的评分,由统计结果制成如图所示的频率分布直方图,下列说法中正确的是( )
A.
B.评分的众数估值为70
C.评分的第25百分位数估值为67.5
D.评分的平均数估值为76
5.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则( )
A. B. C. D.为钝角三角形
6.已知,,则( ).
A. B.
C. D.或
7.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,面积为,D为边AB上一点,CD是的角平分线,则( )
A. B.1 C. D.
8.如图,正方体的棱长为2,点分别是的中点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.设复数在复平面内对应的点为Z,原点为O,为虚数单位,则下列说法正确的是( )
A.若,则或
B.若点Z的坐标为,且是关于的方程的一个根,则
C.若,则的虚部为
D.若,则点的集合所构成的图形的面积为
10.某同学掷骰子五次,分别记录每次骰子出现的点数.根据该同学记录的结果,判断可能出现点数6的是( )
A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.8
11.如图,在直棱柱中,底面是边长为2的菱形,,,点为的中点,动点在侧面内(包含边界),则下列结论正确的是( )
A.
B.平面与平面所成角的余弦值为
C.若,则点轨迹的长度为
D.若点在直线上,则的最小值为
三、填空题
12.已知向量在向量方向上的投影向量为,且 ,则 (结果用数值表示)
13.函数,其中,若,使得,则的取值范围为 .
14.在各棱长均相等的正四面体中,取棱上一点T,使,连接,三棱锥的内切球的球心为M,三棱锥的内切球的球心为N,则平面与平面的夹角的正弦值是 .
四、解答题
15.如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一点,E,F分别是线段PB,PC的中点,.
(1)求证:BC平面AEF;
(2)求点P到平面AEF的距离.
16.中,角A,B,C的对边为a,b,c,已知,且.
(1)证明:为等边三角形;
(2)如图,若边长为3,点E,F分别在边BC,BA上,将沿着线段EF对折,顶点恰好落在边上的点,当时,求重叠部分的面积.
17.已知函数.
(1)如图,在中,角的对边分别为,点为的中点.当时,分别等于的最小值、最大值,且,求的长.
(2)当时,关于的方程有三个不同的解,求实数的取值范围.
18.如图,直角梯形中,,,,,,点为线段不在端点上的一点,过作的平行线交于,将矩形翻折至与梯形垂直,得到六面体.
(1)若,求的长;
(2)求异面直线与所成角余弦值的最小值.
19.利用平面向量的坐标表示,可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”,即可将有序复数对(其中)视为一个向量,记作.类比平面向量可以定义其运算,两个复向量,的数量积定义为一个复数,记作,满足,复向量的模定义为.
(1)设,,为虚数单位,求复向量、的模;
(2)设、是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量,,(其中),成立,证明:对于复向量、,也成立;
②当时,称复向量与平行.若复向量与平行(其中为虚数单位,),求复数.
参考答案
1.【答案】B
【详解】若,则,
则.
故选B.
2.【答案】B
【详解】因为,所以,又,所以,
因为向量与的夹角为,所以,
所以.
故选B
3.【答案】C
【分析】借助长方体模型,根据位置关系分类,易得出A B D错误.
【详解】A. 若 ,则 或 ,故 错误;
B. 由长方体可知两个平面可相交,故错;
C. 若 则直线对应向量分别是平面的法向量,由知向量夹角为,所以 ,即C 正确;
D. 若 ,由墙角可知 不一定平行,故 D 错误.
故选C.
4.【答案】C
【详解】对于,根据频率分布直方图的性质可知,,解得,故错误;
对于,由题中频率分布直方图可知,最高的小长方形区间中点对应的数字是75,则该评分的众数估值为75,故错误;
对于,根据题中频率分布直方图可知,,,所以评分的第25百分位数位于内,设评分的第25百分位数估值为,则,解得,故正确;
对于,评分的平均数估值为,故错误.故选.
5.【答案】D
【详解】由正弦定理得,所以,
因为,所以或,故三角形有两种解,故ABC均错误,
当时,,为钝角三角形,
当时,为钝角三角形,故D正确.
故选D
6.【答案】C
【详解】因为,所以,
即,所以,
所以,
即,即,所以,
因为,所以,
又,所以,即,
所以,所以,
所以
.
故选C
7.【答案】B
【详解】在中,,由余弦定理可得,
所以,所以,
又面积为,所以,所以,
所以,所以,
因为CD是的角平分线,,所以,
因为,所以,
所以,
所以,所以,所以.
故选B.
8.【答案】D
【分析】作出辅助线,得到五边形即为截面,根据三角形全等或相似得到各边长度,求出截面面积.
【详解】延长,与直线相交于,
连接与分别交于点,连接,
则五边形即为截面,
正方体的棱长为2,点分别是的中点,
由≌≌得,
,,
故,
因为⊥平面,平面,
所以⊥,⊥,
由勾股定理得,
取的中点,连接,则⊥,且,
由勾股定理,
其中,
由相似关系可知,,
故.
故选:D
9.【答案】BD
【详解】A中,令,则,故A错误;
B中,若点Z的坐标为,则,所以,
整理得,所以,解得,
所以,故B正确;
C中,易知的虚部为,故C错误;
D中,记,则
所以,
圆的面积为,圆的面积为,
所以点的集合所构成的图形的面积为,故D正确.
故选BD
10.【答案】ABD
【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A正确;
对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B正确;
对于C,若平均数为2,且出现6点,则方差,故平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故C错误;
对于D,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,平均数为:,方差为,可以出现点数6,故D正确.
故选ABD
11.【答案】ABC
【详解】如图1,连接,由菱形可得.
再由直棱柱,可得底面.
又因为底面,所以,
而平面,所以平面,
又因为平面,所以,故A正确;
,,,所以为直角三角形,且,
其在底面投影的三角形的面积为,
由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为,故B正确;
如图2,动点在侧面内(包含边界),过作,垂足为,
由直棱柱,
所以平面平面,平面平面,平面,
且,所以平面.
而侧面,即有,由菱形边长为2,,可得,
再由勾股定理得:,则点的轨迹是以为圆心,
以为半径的圆弧(如图3中),则由侧面正方形,
可知,,可得,所以点轨迹的长度为,故C正确;
由为直角三角形,且为等腰直角三角形,
将与展开成一个平面图,如图4,则;
由余弦定理得:,
即,故的最小值为,故D错误.
故选ABC
12.【答案】
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为,
即,故.
13.【答案】
【详解】由题可知,在的图象至少有2个最大值,
当时,,解得,
当时,,
当时,,
综上,当时,,使得.
14.【答案】
【详解】
设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点,
易知平分,平分,易知,
取中点为,则在的平分线上,
同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上,
易知面,故,同理,
于是为平面与平面的夹角的平面角,
设正四面体棱长为,则,,
所以.
15.【答案】(1)见详解;
(2)
【详解】(1)证明:因为E,F分别是线段PB,PC的中点,所以,
又平面AEF,又平面AEF,所以BC平面AEF
(2)因为PA垂直于O所在的平面,所以,
因为C是圆周上不同于A,B的一点, 所以,
又平面PAC, 所以平面PAC,
又,所以平面PAC, 所以,
,所以,,
,,
又因为, F是线段PC的中点,所以,
所以,
设点P到平面AEF的距离为.
所以,
,
又,所以点P到平面AEF的距离为.
16.【答案】(1)见详解
(2)
【详解】(1)证明:由,得,
展开得.①
由可得.②
①-②得,
因为,所以,
解得或(舍去).
又,所以.
把代入,得,则.
所以,故是等边三角形.
(2)由及,得,设,则.
在中,由余弦定理可得,
即,解得.
同理,在中,由余弦定理可得.
又,
所以.
17.【答案】(1)或
(2)
【详解】(1)由题意得,
,
当时,,
的值域是,则,
,
,,
或,或,
,
,
当时,;
当时,.
(2)由得,或.
函数的图象如下:
由图可知,有一解,即,
有两解,即函数与有两个不同的交点,
18.【答案】(1)5
(2)
【详解】(1)连接,平面平面,交线为,
由,有平面,又平面,所以,
当,,所以平面,
又平面,所以,
此时与相似,故,
设,由,解得,所以.
(2)过作的平行线交于点,连接,
由,且,
得四边形是平行四边形,故,
所以即为异面直线与所成的角,
设,
,
所以锐角正切值的最大值为,此时余弦值有最小值,
所以异面直线与所成角余弦值的最小值为.
19.【答案】(1),
(2)①见详解;②
【详解】(1)因为,所以,
可得的模为;
因为,所以,
所以的模为;
(2)因为,所以,
由复数的三角不等式,
由,得,所以,
所以,
综上所知,
②考虑①中等号成立的条件知,对于复数的三角不等式,复向量各分量均不为零时,其等号成立的条件是存在非负实数,使得,
若复向量与平行,则,
根据中等号成立的条件,应有,
则,
结合,得,解得;
所以,所以.