华东师大版七年级数学下册 6.3 三元一次方程组及其解法 小节复习题（含详解）

6.3《三元一次方程组及其解法》小节复习题
题型01 三元一次方程组的定义
1.下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝
C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
4.若是一个三元一次方程，那么 ， ．
5.在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题．
(1)=_______；
(2)求的值．
题型02 三元一次方程组的解法
1.观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
2.解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
3.已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ．
4.已知 ，则的值是 ．
5.解方程组：
(1) (2)
题型03 二元一次方程组的应用——配套问题
1.一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
2.兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
3.中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶．
4.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得 ．
5.某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人
题型04 二元一次方程组的应用——几何问题
1.用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（ ）
A．600 B．500 C．300 D．200
2.在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ．
4.如图，正方形的边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为 ．
5.将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？
题型05 二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题
1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，书中记载：“今有鸡兔同笼，上有头，下有足．问：鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有个头，从下面数有只脚，问笼子里有鸡和兔各几只？设有只鸡，有只兔，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2.“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
题型06 二元一次方程组的应用——门票问题
1.2022年卡塔尔世界杯比赛门票按价格分为三个档次，其中小组赛第三档次门票每张元，淘汰赛（八分之一决赛）第三档次门票每张元．某球迷共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2.春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费( )
A．元 B．元 C．元 D．元
3.2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行．球迷小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，总价为21200元，其中小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门票y张，根据题意可列方程组为 ．
4.某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：
购票人数 1～50 51～100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为 ．
5.某景点的门票价格如表：
购票人数（人） 100以上
门票单价（元） 40 36 32
(1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？
(2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？
题型07 二元一次方程组的应用——计费问题
1.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
计费项目 里程费 时长费 运途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
2.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元每公里 0.45元每分钟 0.4元每公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
小明和小亮在17:00-18:30之间各自乘坐滴滴快车回家，行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，问这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）分钟．
A．14 B．20 C．24 D．30
3.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟．
4.某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
上海 a b
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海 2 10
北京 3 23
则 ， ．
5.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元．
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.90
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90
超过30吨的部分 6.00 0.90
(1)求a、b的值；
(2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？
(3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
参考答案
题型01 三元一次方程组的定义
1.D
【解析】略
2.C
【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：由三元一次方程组的定义得
是三元一次方程组，
故选：C．
3.
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：且，
解得：，
故答案为：．
4. -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：-1，0．
5.（1）∵当，1，3时的值分别是，0，，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵，
∴．
题型02 三元一次方程组的解法
1.B
【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
【详解】解：
方程可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
2.B
【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案．
【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
故选：B
3.
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可．
【详解】解：，
由得：，
由得：，
由得：，
将代入得：，
解得：，
将和代入得：，
解得：，
不等式组的解为，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解．
【详解】解：
得
∴
故答案为：．
5.（1）解：，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入得，
方程组的解为：；
（2）解：
由，得：．
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是．
题型03 二元一次方程组的应用——配套问题
1.B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可．
【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得：，
故选：B．
2.C
【分析】根据“小兰去市场买了36米布”、“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：∵“小兰去市场买了36米布”
∴
∵“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”
∴福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍
∴
故：
故选：C
3.6
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可.
【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶，
根据题意得：，
解得：，
故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶．
故答案为：6．
4.
【分析】根据某车间有90名工人，一个螺栓配套两个螺帽，列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为： ．
5.解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，
由题意，得：，
解得：．
答：应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件．
题型04 二元一次方程组的应用——几何问题
1.C
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键．
假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积．
【详解】设小长方形的长、宽分别为a，b．
由题意可列方程组：，
解得：，
∴每块小长方形地砖的面积为．
故选：C．
2.A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组即可．
【详解】解：依题意，得：.
故选：A．
3.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据题意正确列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长比宽多，
根据题意得：，
解得：
故答案为： ．
4.6
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形的边长为9，小正方形的边长为3，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可．
【详解】解：∵大正方形边长为9，小正方形边长为3，
∴根据图示和题意得：，
解得：．
故答案为：6．
5.解：根据题意得：
整理得：
解得：，
答：小长方形的长是，宽是．
题型05 二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题
1.A
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的运用，根据题意，找到等量关系，列出方程，即可．
【详解】解：设只鸡，有只兔，
∵共有个头，
∴；
∵每只鸡有条腿，每只兔子有条腿，
∴；
∴，
故选：A．
2.设笼中有只鸡，只兔．
由题意得：
解得：
答：笼中有12只鸡，13只兔．
题型06 二元一次方程组的应用——门票问题
1.C
【分析】设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，根据共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，根据题意得，
故选：C．
2.A
【分析】设成人票是元张，学生票是元张，根据“李凯同学一家个成人和个学生去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家个成人和个学生去了该景区，门票共花费元”列出方程组，求得的值即可．
【详解】解：设成人票是元张，学生票是元张，
依题意得：
，
②①得：．
即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费元．
故选：A．
3.
【分析】利用总价=单价×数量，结合预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张且共花费21200元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵球迷小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，
∴；
∵预定门票共花费21200元，且小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，
∴．
∴根据题意可列方程组
．
故答案为：．
4.15
【分析】根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人，
∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人），
∴两个部门的人数之和为105（人），
∵1245不能被11和13整除，
∴1≤x≤50，51≤y≤100，
依题意，得：，
解得：，
∴，
故答案为：15．
5.（1）解：设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，由题意，得：
，
解得：，
∴，
∴七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；
联合购票，节省：（元）
答：七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；联合购票，节省604元．
（2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人，
若，则：，解得：，不合题意，舍去；
∴，
∴，解得：，
答：八年级报名人数为人，九年级报名人数为人．
题型07 二元一次方程组的应用——计费问题
1.D
【分析】设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解
【详解】解：设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，依题可得：
,
,
,
,
故答案为D.
2.C
【分析】根据表中数据，设小明和小亮乘车的时间分别为分钟和分钟，根据行车里程分别为9.5公里与14.5公里．如果下车时两人所付车费相同，由此建立关于，的二元一次方程，然后求出的值．
【详解】解：设小明和小亮乘车的时间分别为分钟和分钟，得：
，
整理，得：，
．
故答案为：C．
3.19
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差．
【详解】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6＋0.3x＝1.8×8.5＋0.3y＋0.8（8.5－7），
10.8＋0.3x＝16.5＋0.3y，
0.3（x－y）＝5.7，
x－y＝19．
故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．
故答案为19．
4. 8 2
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，根据寄往上海和北京的快递的质量及所需费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意：，
解得：，
故答案为：8，2．
5.（1）由题意得：
解①，得：，
将代入②，解得：，
．
（2），
设小王家这个月用水吨（），由题意得：
，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：小王家这个月用水吨．
（3）设小王家11月份用水吨，
当时，，
解得：；
当时，
解得(舍去) ．
答：小王家11月份用水11吨．