华东师大版七年级数学下册 第7章 一元一次不等式 复习题 （含详解）

第7章《一元一次不等式》复习题
专题训练01一元一次不等式中求参
1．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，该不等式有三个正整数解，则a的取值范围是 ．

3．已知关于x的一元一次方程的解满足，求a的取值范围．
专题训练02一元一次不等式中有解
1．若关于的不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式有解，则实数的最小值是 .
3．已知关于x的不等式．
(1)当时，求该不等式的解集；
(2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）．
专题训练03一元一次不等式的整数解
1．不等式的负整数解有（ ）个．
A． B． C． D．
2．已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ．
3．若关于x的方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
专题训练04一元一次不等式的新定义运算
1．对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．定义一种运算：，则不等式的解集是 ．
3．对x，y定义一种新运算：．例如：当，时，．
(1)若，求a和b的值；
(2)若b是非负数，，求a的取值范围．
专题训练05一元一次不等式与方程组结合
1．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ．
3．已知关于，的二元一次方程组
(1)求这个方程组的解（用含的式子表示）；
(2)若这个方程组的解，满足成立，求的取值范围．
专题训练06一元一次不等式的绝对值
1．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④
2．不等式的解集是 ．
3．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为；
例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)的解为____________；
(2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________；
(3)不等式的解集为____________．
专题训练07一元一次不等式的最值
1．非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（ ）
A．7 B．16 C．20 D．21
2．已知且，则的最小值为 ．
3．已知有关的方程的解也是不等式的一个解，求满足条件的整数的最小值．
专题训练08一元一次不等式的应用——扣分问题
1．一次智力测验，有道选择题．评分标准是：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于分，那么小明至少答对的题数是（ ）
A．道 B．道 C．道 D．道
2．在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对l题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，张强有1道题末答，如果总分才不会低于70分，则他至少答对 道题．
3．为了增加同学们对新冠肺炎防控知识的了解，某班级组织了一次测验，共有15道选择题，评分标准为：答对一道题给2分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣分．小强同学在答题时除了有2道题不会没有给出答案外，对其它题都给出了答案，若他想让自己的总分不低于16分，那么他至少要答对几道题？
专题训练09一元一次不等式的应用——销售问题
1．推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ．
3．小明爸爸经营了一家商店，他在课余时间关注了甲、乙两种商品的营销情况，他查看这两种商品的进货单和已售出商品统计，如表：
表一：进货单
商品名称 数量（件） 单价（元/件） 合计（元）
甲 80 50 4000
乙 50 40 2000
表二：销售统计
统计日期 售出甲商品件数（件） 售出乙商品件数（件） 总售价
12月30日 0 1 50
12月31日 1 2 180
元月1日 2 10 660
(1)分析表中数据，直接写出甲、乙两种商品的售价，甲的售价为_____元/件，乙的售价为_______元/件；
(2)小明爸爸发现甲商品销售情况不好，决定从元月2日开始对甲商品进行打折销售，乙商品销售价格不变，在甲商品的单件利润不低于乙商品的单件利润的情况下，求甲商品最多可以打几折；
(3)按照以上销售方式，甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得多少利润？
专题训练10一元一次不等式的应用——分配问题
1．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若__________，依题意设有x名同学，可列不等式，则横线处可以是（ ）．
A．每人分3本，则剩余4本
B．每人分3本，则最后一人可多分4本
C．每人分3本比每人分5本，书多剩出4本
D．每人分3本，则可多分给4个人
2．把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有 名同学．
3．一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果每人分5本，那么最后一人分不到3本．
(1)书有______本（用含x的式子表示）
(2)按后一种分法，最后一人分到______本（用含x的式子表示）
(3)有多少本书？有多少人？
专题训练11一元一次不等式的应用——数字问题
1．有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是（ ）
A． B． C．或 D．
2．有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是 ．
3．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕上的数字就会自动加上2．已知屏幕上的初始数字为，如图所示．

(1)从初始状态按2次后，求屏幕上显示的结果；
(2)按次按键后，若屏幕上显示的数字不小于0，求的最小值．
专题训练12一元一次不等式的应用——行程问题
1．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车的到站情况．小聪要乘坐公交车，他走到站牌的处，拿出手机查看了公交车的到站情况，发现他与公交车之间的距离为（如图），此时他与公交车相向而行，到站牌去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪不会错过这辆公交车，则站牌与小聪之间的距离最大为（ ）
A． B． C． D．
2．一辆匀速行驶的汽车在距离A地50km，要在之前驶过A地，道路最高限速，该车速度v应满足的条件是 ．
3．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？
专题训练13一元一次不等式的应用——方案问题
1．如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（ ）
歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元
A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人
2．某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示：
型客车 型客车 型客车
载客量（单位：人辆）
租金（单位：元辆）
请你写出一个满足乘坐需求的租车方案 ；租车总费用最少需要 元．
3．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．
(1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？
(2)经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中且为整数）．
①请用含a的代数式表示：
若该校到甲商场购买，所花的费用为__________元；若该校到乙商场购买，所花的费用为__________元；
②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？
③假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？（直接写出方案）
专题训练14一元一次不等式的应用——几何问题
1．已知三角形的两边长为2，4，则第三边长应为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．1
2．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．

3．一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转．
(1)当________时，；当________时，；
(2)设交边于点，交直线于点，记为，为．
①如图2，当，求的值；
②当时，求的取值范围．
专题训练15作差法应用
1．已知是真分数，那么与比较大小的结果是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
2．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 ．
（2）若，为实数，则 ．
3．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果，那么　　；
②如果，那么　　；
③如果，那么　　．
(2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若，比较，的大小；
②比较与的大小．
专题训练16一元一次不等式的新定义应用
1．定义；如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论：
（1）代数式：的“相反式”是；
（2）若与互为“相反式”，则的值为；
（3）当时，代数式（，，，是常数的值为10，则它的“相反式”的值为；
（4）无论取何值，代数式的值总大于其“相反式”的值，则的取值范围为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．对于实数a，b，我们定义符号；当时，；当时，.例如：，．
根据上面的材料，回答下列问题：
（1）若，则 ．
（2）当时，x的取值范围是 ．
3．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式．
(1)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，求的值；
(2)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，求，的值；
(3)若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，试求关于的不等式的解集．
参考答案
专题训练01一元一次不等式中求参
1．B
【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次不等式，先由得，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．
【详解】解：由得，
∵关于的方程的解是负数，
∴，
∴．
故选：B．
2．
【分析】本题主要考查不等式组的整数解．根据不等式的正整数解为1，2，3，即可确定出正整数a的取值范围．
【详解】解：∵不等式有3个正整数解，
∴这3个整数解为1，2，3，
则，
故答案为：．
3．解：解方程，得．
因为关于x的一元一次方程的解满足，
所以
解得．
专题训练02一元一次不等式中有解
1．B
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，不等式的解集，
先根据数轴上两点之间的距离得出a的最小值，再根据不等式的解集可得答案．
【详解】在数轴上代数式的意义是表示数的点到表示数的点和表示数3的点的距离之和，
当数x在数的点和表示数3之间时，的最小值为4．
因为不等式有解，
所以．
故选：B．
2．
【分析】本题考查绝对值的代数意义，根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案，
熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
【详解】解：①当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
②当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
③当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
综上所述，若不等式有解，则，即实数的最小值是，
故答案为：．
3．（1）解：把代入原不等式，得．
去分母，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）解：∵，
∴，
∴．
当，即时，原不等式有解；
当，即时，原不等式的解集是；
当，即时，原不等式的解集是．
专题训练03一元一次不等式的整数解
1．C
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．
【详解】解：
不等式的负整数有，，，，共四个，
故选：C．
2．3
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是理解题意，确定出a的取值范围．求出的取值范围，即可得答案．
【详解】解：∵的正整数解为，
∴的取值范围是．
∵为正整数，
∴的值为3，
故答案为：3．
3．解：解不等式，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
所以该不等式的最大整数解是，
因为方程的解是不等式的最大整数解，
所以，
解得：．
专题训练04一元一次不等式的新定义运算
1．A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．根据定义的新运算列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意：
当时，解得：，
则，即
解得：，相矛盾，舍去；
当时，解得：，
则，即
解得：，
；
故选：A．
2．
【分析】此题考查了新定义，求不等式的解集，解题的关键是列出一元一次不等式．根据新定义列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴可变为，
解得．
故答案为：．
3．（1）根据题意得：，
，
解得：，；
（2）根据，
得，
∴，
∵b是非负数，
∴，
∴．
专题训练05一元一次不等式与方程组结合
1．C
【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不大于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，
可得，
根据题意得：，
解得：．
故选：C．
2．
【分析】本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式．先把两式相减求出的值，再代入中得到关于a的不等式，进而求出a的取值范围，即可．
【详解】解：，
由得：，
∵，则，
∴，
∴，
故答案是：．
3．（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：∵这个方程组的解，满足成立，
∴，
解得．
专题训练06一元一次不等式的绝对值
1．C
【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：或，
∴能使不等式成立的为①；④5．
故选：C．
2．
【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2，
4>2
∴x＜-1，
-1≤x≤3时，
-x+3-x-1＞2，
x<0；
x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.
故答案是:x<0
3．（1）解：，
或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：要使得，
即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5，
∵数轴上和2之间的距离恰好为5，
∴，
∵为整数，
∴，，，0，1，2，
故答案为：，，，0，1，2；
（3）解：要使得，
即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7，
首先在数轴上找出的解（如图），

由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5，
∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或，
∴的解集为：或，
故答案为：或．
专题训练07一元一次不等式的最值
1．D
【分析】本题考查了不等式的性质，求不等式解集，先将原式变形，代入M式子，根据不等式的性质求出范围即可求出a，b的值，得出结果．
【详解】解：将变形，得，
将分别代入，得，
，
，
当时，M可以取最大值，最大值，
当时，
M可以取最小值，最小值，
．
故选：D．
2．10
【分析】本题主要考查了幂的乘方及其逆运算，解一元一次不等式，同底数幂乘法计算，先根据得到，进而得到，则，再根据，得到，即可解答．
【详解】解：根据题意得，
所以，即．
因为，
所以，
所以．
所以，
所以的最小值为10．
故答案为：10．
3．解：原方程可化为：，
即，
解得：，
把代入中，得，
解不等式得：，
所以整数的最小值为0．
专题训练08一元一次不等式的应用——扣分问题
1．B
【分析】设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于60分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解.
【详解】设小明答对的题数是x道，
，
，
∵x为整数，
∴x的最小整数为14，
故选：B．
2．16
【详解】分析：设小明至少答对的题数是x道，答错的为（20-1-x）道，根据总分才不会低于70分，这个不等量关系可列出不等式求解．
解答：解：设小明至少答对的题数是x道，
5x-2（20-1-x）≥70，
x≥15
故至少答对16题，总分才不会低于70分.
故答案为16．
3．解：设小明答对x道题，
根据题意，可得 ，
解得，
因为 x 是整数，所以 x 最小整数值是 11 ，
答：小明至少要答对 11 道题，总分才不会低于16分．
专题训练09一元一次不等式的应用——销售问题
1．B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润”列出不等式即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：B．
2．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．利用销售利润=售价-进价，结合至少获利，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
3．（1）解：由题意可得：乙商品的售价为每件元，
甲商品的售价为每件元，
（2）解：设甲商品最多可以打折，由题意可得：
，
解得：，
∴甲商品最多可以打折．
（3）解：由题意可得：（元）；
∴按照以上销售方式，甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得利润；
专题训练10一元一次不等式的应用——分配问题
1．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据不等式表示的意义解答即可．
【详解】解：由不等式，可得：把一些书分给x名同学，若每人分3本，则可多分4个人；若每人分5本，则有剩余．
故选：D．
2．
【分析】本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是设有名学生，根据题意，则，解出，即可．
【详解】解：设有名学生，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴至少有名同学．
故答案为：．
3．（1）解：书的本数=人数人均书数+剩余书数=；
（2）最后一人分的书数=总数前面人分到的书数=；
（3），
解得：，
所以（人），
有人，书共有26本．
专题训练11一元一次不等式的应用——数字问题
1．】C
【分析】设十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意列不等式解答即可．
【详解】解：设十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意，
，
解得：，
∵为整数且，
∴，，
∴当时，个位上的数字为，
当时，个位上的是数字为，
∴这个两位数为或，
故选．
2．87或98
【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，就可以表示出这个两位数为，根据这个两位数不小于80建立不等式求出其解即可．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得
，
解得：，
为整数，，
，9，
个位上的数字为：或8，
这个两位数为：87或98．
故答案为：87或98．
3．（1）由题意得，
．
（2）由题意得，
，
解得
，
∴的最小值为5．
专题训练12一元一次不等式的应用——行程问题
1．A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设看手机时小聪到站牌的距离为，由题意列出一元一次不等式，然后求解即可，读懂题意，找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设看手机时小聪到站牌的距离为，
由题意得：，
解得：，
∴站牌与小聪之间的距离最大为，
故选：．
2．
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意，列出不等式，进行求解即可．
【详解】解：，
由题意，得：，
解得：，
又∵道路最高限速，
∴；
故答案为：．
3．解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，
根据题意得：，
解得，
的最小值为15．
答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时．
专题训练13一元一次不等式的应用——方案问题
1．C
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设嘉淇和朋友们共有x人，根据题意，列出不等式，求出最小整数解即可．
【详解】解：设嘉淇和朋友们共有x人．
若选择包厢计费方案需付元，
若选择人数计费方案需付 (元)，
由题意，得：，
解得：
∴ 至少有8人．
故选 C．
2．解：∵每辆车至少有名教师，
∴最多租辆客车，
∵总人数为(人) ，
若全租客车，符合题意,
则满足乘坐需求的租车方案为辆客车，
故答案为：辆客车 (答案不唯一) ；
若租客车辆，则客车没有租，
此时乘坐人数为满足题意，
租车总费用为: 元；
若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中，
此时
解得：
∴的取值为或，
当时，即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）；
当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）；
若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中，
此时
解得：，
∴的取值为或，
当时，即租客车辆，客车辆， 客车辆，
租车总费用为: （元）；
当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）；
若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中，
此时
解得：，
∴的取值为，
当时，即租客车辆， 客车辆，
租车总费用为: （元）；
当租客车少于辆时，均不满足需求，
则租车总费用最少的租车方案为租客车辆， 客车辆，
故答案为：租客车辆， 客车辆．
3．（1）解：设每个足球的价格是x元，则每套队服的价格是元，
依题意得：，
解得：，
则．
答：每套队服的价格是150元，每个足球的价格是100元；
（2）解：①甲商场的费用：当时，费用为：元；
乙商场的费用为：元；
故答案为： ，；
②依题意得，
解得，
③因为，当时，两家花费一样；
若
解得，
所以，当时，到乙处购买更合算；
当时，到两家商场购买一样合算；
当时，到乙商场购买比较合算．
专题训练14一元一次不等式的应用——几何问题
1．B
【分析】根据三角形三边关系求解即可，三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
【详解】解：∵三角形的两边长为2，4，
设第三边为，
∴
即
故选B
2．或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：或．
故答案为：或．
3．（1）如下图所示，
要使得，
则，
∴当时，；
如下图所示，
要使得，
则，
∴，
又∵，
∴，
即当时，，
故答案为：，；
（2）①∵，即，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
同理：∵，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴，
当，，此时不合题意；
当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示：
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：的取值范围是且．
专题训练15作差法应用
1．A
【分析】由是真分数可得，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：是真分数，
，
，
，即，
故选：A．
2． ＜ ＞
【分析】（1）由不等式的性质可得，即可求解．
（2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小．
【详解】解：（1），且，
，
，
故答案为：．
（2）
，
．
故答案为：．
3．（1）解：①，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
，
故答案为：；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②
，
．
专题训练16一元一次不等式的新定义应用
1．C
【分析】根据相反式的含义直接可判断（1），再建立方程组，再解方程组可判断（2），先把代入代数式，再把代入其相反式即可判断（3），由（4）的含义建立不等式，再利用不等式的性质可判断（4），从而可得答案．
【详解】解：（1）的“相反式”是，（1）错误；
（2）由题意得，解得，
，（2）正确；
（3）当时，代数式
，，
，（3）正确；
（4）由题意得，
即
，
解得，（4）正确；
故正确结论有3个，
故选C．
2．
【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，掌握解一元一次不等式的一般步骤．
（1）由新定义直接可得答案；
（2）由新定义，列出不等式，即可解得的范围．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
，
解得，
的取值范围是，
故答案为：．
3．（1）解：解关于的不等式：，得．
解不等式：，得．
由题意得，解得．
（2）解：解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴，易知，
∴．
∵，是正整数，且
∴为1或7或17或或，
∴；
（3）解：解不等式：，得．
将不等式变形，得，则，
不等式的解集为，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的解集为．