【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 尺规作图（含解析）

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中考数学考前冲刺 尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．（2020 襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
2．（2019 河北）根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2019 长春）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 大东区期末）下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB＝10cm
B．画射线OB＝10cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交
5．（2019秋 缙云县期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2015 三明）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
7．（2024 烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023 河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
9．（2016 杭州模拟）如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所画痕迹是（　　）
A．以点B为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DC为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DC为半径的弧
10．（2023秋 永吉县期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（　　）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
二．填空题（共5小题）
11．（2020 潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF，与直线PQ交于点M．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　 　 °．
12．（2018 山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为　 　 ．
13．（2017 邵阳）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为　 　 ．
14．（2019 本溪）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　 　 ．
15．（2019 宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 鼓楼区校级一模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
17．（2008 黔东南州）如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．（作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．
18．（2016春 太原期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠A＝∠α．
19．（2018 常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
20．（2018 无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
中考数学考前冲刺 尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020 襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】D
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2019 河北）根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—基本作图；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题．
【答案】C
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
3．（2019 长春）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【答案】B
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
4．（2024秋 大东区期末）下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB＝10cm
B．画射线OB＝10cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交
【考点】作图—尺规作图的定义．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据直线、射线、线段的性质即可一一判断；
【解答】解：A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度；
C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
5．（2019秋 缙云县期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】A
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
【解答】解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
6．（2015 三明）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】D
【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD＝BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD＝BD；利用三角形的内角和得出∠A＝∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC＝AD，无法得出EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC不成立；由此选择答案即可．
【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵当∠A≠60°时，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7．（2024 烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；
B：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB，
又∵∠AOD＝∠BOC，
∴△ADO≌△BCO（SAS），
同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
射线OP为∠AOB的平分线；
C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB，
可得∠CPO＝∠POB，
又由图可知CO＝CP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴∠POB＝∠COP，
射线OP为∠AOB的平分线；
D：由作图痕迹可知，CO＝OD，△OCD是等腰三角形，
∴射线OP是CD的垂直平分线，
也是∠AOB的平分线．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键．
8．（2023 河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】C
【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．
【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．（2016 杭州模拟）如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所画痕迹是（　　）
A．以点B为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DC为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DC为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【答案】D
【分析】根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．
【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；
③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF＝∠AOB．
故选：D．
【点评】本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．
10．（2023秋 永吉县期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（　　）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】C
【分析】根据作一个角的平分线的过程即可进行判断．
【解答】解：根据作一个角的平分线的过程可知：
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C；
①作射线OC．
则射线OC平分∠AOB．
所以作法的合理顺序是②③①．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
二．填空题（共5小题）
11．（2020 潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF，与直线PQ交于点M．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　55　 °．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝70°，由角平分线的定义得∠BAM＝35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ+∠BAM＝90°，即可求出α．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAMBAC＝35°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ+∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，
∴α＝∠AMQ＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
12．（2018 山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为　2　 ．
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；平行线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG＝1，AG，可得AF的长．
【解答】解：∵MN∥PQ，
∴∠NAB＝∠ABP＝60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵∠ABP＝∠1+∠3，
∴∠3＝30°，
∴∠1＝∠3＝30°，
∴AB＝BF，AG＝GF，
∵AB＝2，
∴BGAB＝1，
∴AG，
∴AF＝2AG＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
13．（2017 邵阳）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为　20°　 ．
【考点】作图—基本作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC∠AOB＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
14．（2019 本溪）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　3　 ．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．
【解答】解：结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
【点评】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
15．（2019 宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则　　 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以DA＝DB，利用BD＝2CD得到AD＝2CD，然后根据三角形面积公式可得到的值．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
∴．
故答案为．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 鼓楼区校级一模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）在BC上取点D，过点D作BC的垂线，在垂线上取点E使DE＝DB，连接EC，作EC的垂直平分线交BC于点F；则Rt△DEF即为所求．
【解答】解：（1）如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE＝DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求．
【点评】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17．（2008 黔东南州）如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．（作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．
【考点】作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两块地．
【解答】解：作图如下：
．
【点评】此题主要考查三角形中线的作法以及等底等高的知识点．
18．（2016春 太原期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
已知：（如图）线段a和∠α，
求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠A＝∠α．
【考点】作图—基本作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】可做∠A＝∠α，然后在∠A的两边上分别截取AC＝AB＝a，连接BC即可．
【解答】解：
【点评】本题考查作图﹣基本作图，用到的知识点为：边角边可判定两三角形全等；注意先画一个角等于已知角．
19．（2018 常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）只要证明FC＝FB即可解决问题；
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N＝∠QMN＝30°，∠G＝∠GMQ＝60°，可得QM＝QN，QM＝QG；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵EK垂直平分线段BC，
∴FC＝FB，
∴∠CFD＝∠BFD，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠CFD．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
理由：∵GN垂直平分PP′，
∴QP′＝QP，∠KQP′＝∠KQP，
∵∠GQM＝∠KQP′，
∴∠GQM＝∠PQK，
∴点P即为所求．
②结论：Q是GN的中点．
理由：设PP′交GN于K．
∵∠G＝60°，∠GMN＝90°，
∴∠N＝30°，
∵PK⊥KN，
∴PK＝KP′PN，
∴PP′＝PN＝PM，
∴∠P′＝∠PMP′，
∵∠NPK＝∠P′+∠PMP′＝60°，
∴∠PMP′＝30°，
∴∠N＝∠QMN＝30°，∠G＝∠GMQ＝60°，
∴QM＝QN，QM＝QG，
∴QG＝QN，
∴Q是GN的中点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2018 无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
【考点】作图—复杂作图；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；
（2）解：这样的直线不唯一．
①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为yx．
②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为yx+4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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