图形中的规律
一、教学内容：
北师大版小学数学五年级上册《图形中的规律》中的第二课时。（教科书第98页。）
二、教材分析：
1、这是一段“探索规律、策略多样”的发现之旅。
教材给出了最为典型的正方形点阵，通过对其规律的探究，建立起点阵与数、与算式之间的联系。并且从不同角度，不同的划分方法中发现不同的规律，从而让学生体会到点阵研究数的形式是多样的，渗透解决问题的策略多样化。在此基础上再研究长方形、三角形、以及特殊形状的点阵。通过这些数学素材，引导学生探索规律，归纳概括，建立模式。
2、这是一场“数形结合，数形转化”的思想盛宴。
数形结合是数学解题中常用的思想方法。“点阵中的规律”这一课特别适宜于学生充分感受“数形结合”的思想魅力。在正方形点阵的研究中，教材从三种不同的角度引导学生观察点阵，列出不同的算式，发现不同的规律，从得出像1、4、9、16……这样一组数所具备的三种不同特点。这组数既可以看作为一组连续的完全平方数，也可以看作是几个连续奇数相加，还可以看作是从1连续加到几，再加回到1。这是一个从形到数的过程。教材在学生概括规律，归纳推理出下一个点阵的点数后，又让学生画出这个点阵图，这是一个从数到形的过程。充分体现了“数形结合，数形转化”的思想方法。
三、学生分析：
1、学生的知识基础
五年级学生在数的方面，已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，小数、分数等。在形的方面，对长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征也有了深刻的认识。但是学生对利用图形研究数，寻找数和图形之间的联系，还有困难。学生对线围成的基本图形有深刻的认识，但是点阵中的几何图形，只有点，没有线，学生要利用自己的想象加以补充和延伸，这对学生来说会感觉比较陌生。
2、学生的能力基础
学生在一年级学过找规律填数，二年级学过按规律接着画，四年级学过探索图形的规律。因此五年级学生具备一定的观察能力、抽象概括能力、逻辑推理能力等。北师大版的数学教材中许多抽象概念的教学都是通过数形结合的思想方法来引导学生学习的，比如通过画线段图、韦恩图、示意图以及表格等将抽象的数量关系转化为形象的数量关系，所以五年级的学生具备用数形结合的方法分析问题的基础的。
但是小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而这节课完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难。
3、学生的情感态度基础
小学生好奇心强，对新奇的事物感兴趣，点阵对于学生是完全新鲜的，因此学生研究的兴趣比较浓厚，课堂的注意力会比较集中。但这一课的抽象性也会使学生的兴趣停留在短暂的直接兴趣，很难转化为对数学研究的间接兴趣。因此我们在教学中根据小学生的心理年龄特点，将这些单调静止的点阵图加以生活化、童趣化、动态化。
四、教学目标：
1、能观察发现点阵中的规律，体会“图形与数”的联系。
2、发展归纳和概括的能力。
3、感受“数形结合”的神奇之美，并获得“我能发现”之成功体验。
五、教学重、难点：
探究发现点阵中的规律是教学的重点。难点是独立发现同一点阵中不同的规律。
六、教学过程
（一）激情导入，抛砖引玉
师：下面的式子，同学们能在五秒钟内给出答案吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=
1+3+5+7+9+11+13+15+17……= 共20个数
课件出示一个点“．”师：不要小看了这个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？
板书：点阵中的规律
(二)多方观察，探求规律
出示第一幅点阵图。
1、一探
“图中有几个点阵，每个点阵各有几个点?”
“怎么数得这样快？有窍门吗？”
这时学生会说：“我是用算式算出来的。”教师根据学生的回答，课件出示第一组算式
第1个 1×1=1
第2个 2×2=4
第3个 3×3=9
第4个 4×4=16
师：“这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵你能画出来吗？并用算是表示有多少个点呢？生尝试画一画
你能第六个呢？第七个？八个?……第100个呢?”
师： “好像很有规律哦？谁发现了？”
（有了前面的铺垫，学生很容易就总结出“第几个点阵就用几乘几”，也有的学生会说，“第几个点阵就是几的平方。”）（教师板书： ）
师：那第n个点阵呢？
师：“能不能换个角度观察？”
2、二探
“斜着看又可以得到什么新的算式呢？请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。”（课件出示
第1个： 1=1
第2个： 1+2+1=4
第3个： 1+2+3+2+1=9
第4个： 1+2+3+4+3+2+1=16）
“第五个点阵呢？”
“谁发现什么规律呢？”
“如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。 “第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。
3、三探
师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？（课件演示）
小组讨论，列出算是，全班汇报。
有的学生可能说：“这次都是奇数相加。”
教师问：“从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？”
通过这样的提问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续奇数”。
4、四回味
师：同学们，黑板上的三组算式的得数分别相等。我们可以用等于号将它们连接起来。这样，一个数的平方可以写出三种不同的算法。再次出示课开始时的两题，让学生计算
出示：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=
1+3+5+7+9+11+13+15+17……= 共20个数
最后教师小结，刚才我们从三个不同角度观察同一组正方形点阵，得到了三条不同的规律，也许再换一个角度观察，还可以得到新的规律，今天暂不作研究。接下来我们一起来研究其它形式的点阵。自然地过渡到下一教学环节。
（三）、融练于趣，陶情审美
第一题长方形点阵，全班说算式，点答说规律。
第二题三角形点阵，学生独立列算式，互相说规律，全班交流。
第三题，智走梅花桩，这道题难度较大，结合创设的情境具体指导：“
（四）生活中的点阵
“生活中有许多美丽的图形是利用点阵中的规律设计的图案，请欣赏”
课件出示图案
最后送同学们一句话“哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。 ——古希腊数学家：普洛克拉”
板书设计
点阵中的规律
第五个 52=5×5=25 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 1+3+5+7+9=25
第N个 N2 1+2+3+…+N+…3+2+1= N2 1+3+5+…(N个奇数)= N2
课件17张PPT。图形中的规律1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 1+3+5+7+9+……= 毕达哥拉斯 早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律数形结合①③②④169411×1=12×2=43×3=94×4=16正方形点阵①③②④1＝11+2+1=41+2+3+2+1=91+2+3+4+3+2+1=16②①③④2.你发现了什么规律？1.分别用算式表示点阵中的点。①③②④①③②④1+3=411+3+5=91+3+5+7=161+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=
1+3+5+7+9+……=
﹙1×2﹚ ﹙2 ×3 ﹚ ﹙3×4 ﹚ ﹙4×5﹚问：你能画出第5个点阵吗？试一试观察下面的点阵,它是什么点阵?试用
算式表示下面点阵中的点数长方形点阵你知道第n个点阵怎样用式子表示吗？n(n+1)能根据下面这个点阵的规律猜出第五个点阵的点数吗?？1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=1533+4=73+4+6=133+4+6+8=21 哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。
?????????????????——古希腊数学家：普洛克拉
