【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 二次函数（含解析）

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期末核心考点 二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2020 辽宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020 岱岳区三模）二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（　　）
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m
3．（2015 潍坊）已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2015 湖北）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②b2＝4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018 安顺）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2016 长沙）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2014 烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021 天津模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．（2016 孝感）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2018 枣庄）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
二．填空题（共5小题）
11．（2025 贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　 ．
12．（2014 菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则　 　 ．
13．（2017 武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 　 　 ．
14．（2017 咸宁）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　 　 ．
15．（2018 孝感）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2014 成都）如图，已知抛物线y（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
17．（2023 梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
18．（2015 泰州）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB＝1：5，求一次函数的表达式．
19．（2017 杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
20．（2016 葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
期末核心考点 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020 辽宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断；
②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；
③根据顶点坐标和b＝﹣2a，进而可以判断；
④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断．
【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③∵b＝﹣2a，
∴b2＝4a2，
如果4a+b2＜4ac，
那么4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
而根据抛物线与y轴的交点，可知c＞1，
∴结论③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正确．
所以正确的是②④，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
2．（2020 岱岳区三模）二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（　　）
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x是y随x的增大而减小，所以当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．
【解答】解：∵对称轴是直线x，0＜x1
故由对称性x2＜1
当x＝a时，y＜0，
则a的范围是x1＜a＜x2，
所以a﹣1＜0，
当x时y随x的增大而减小，
当x＝0时函数值是m．
因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性．
3．（2015 潍坊）已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．
②根据二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得Δ＝0，即b2﹣4a（c+2）＝0，可得b2﹣4ac＝8a＞0，据此解答即可．
③首先根据对称轴x1，可得b＝2a，然后根据b2﹣4ac＝8a，确定出a的取值范围即可．
④根据对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，可得x＝﹣2时，y＞2，据此判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0，
即b2﹣4a（c+2）＝0，
∴b2﹣4ac＝8a≠0，
∴结论②错误；
∵对称轴x1，
∴b＝2a，
∵b2﹣4ac＝8a，
∴4a2﹣4ac＝8a，
∴a＝c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论③正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，
∴x＝﹣2时，y＞2，
∴4a﹣2b+c+2＞2，
∴4a﹣2b+c＞0．
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数是2个：③④．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
4．（2015 湖北）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②b2＝4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x＝﹣1，x＝2对应y值的正负判断即可．
【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且1，即2a+b＝0，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；
∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），
∴x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
5．（2018 安顺）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【答案】B
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③分别比较当x＝﹣3时、x＝1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；
④将x＝1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x＝﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，
【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x＝﹣3，y＜0时，即9a﹣3b+c＜0 （1）
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）
（1）+（2）×3得：12a+4c＜0，
即4（3a+c）＜0
又∵4＞0，
∴3a+c＜0．
故③错误；
④∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
6．（2016 长沙）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式．
【答案】D
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x＝﹣1及x＝﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．
【解答】解：∵b＞a＞0
∴0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
3
所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．
7．（2014 烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】代数几何综合题；压轴题；数形结合．
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，（故①正确）；
∵当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②错误）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；
∵对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．（2021 天津模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x1，
解得：a，
∵b＞1，
∴a，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac＝0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
（5）当x＝1时，可确定a+b+c的符号，当x＝﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．
（6）由对称轴公式x，可确定2a+b的符号．
9．（2016 孝感）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】数形结合．
【答案】C
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x1，即b＝﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y＝n有一个公共点，则抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．（2018 枣庄）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【答案】D
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是直线x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　a＞b＞d＞c　 ．
【考点】二次函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
12．（2014 菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则　3　 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x，
∴点B（，a），
a，
则x，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1＝（）2＝3a，
∴点D的坐标为（，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴3a，
∴x＝3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE＝3，
3．
故答案为：3．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
13．（2017 武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 　a或﹣3＜a＜﹣2　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】见试题解答内容
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，23，解得a；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：a或﹣3＜a＜﹣2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
14．（2017 咸宁）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　x＜﹣1或x＞4　 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
15．（2018 孝感）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是 　x1＝﹣2，x2＝1　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．
所以方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
16．（2014 成都）如图，已知抛物线y（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AFDF．如答图3，作辅助线，将AFDF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
【解答】解：（1）抛物线y（x+2）（x﹣4），
令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线yx+b经过点B（4，0），
∴4+b＝0，解得b，
∴直线BD解析式为：yx．
当x＝﹣5时，y＝3，
∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，
∴k．
∴抛物线的函数表达式为：y（x+2）（x﹣4）．
即yx2x．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，
∴C（0，﹣k），OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，
∴yx+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：k．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，
∴yx．
∴P（x，x），代入抛物线解析式y（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）x，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，
，
∴，
解得k＝±，
∵k＞0，
∴k，
综上所述，k或k．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，
∴tan∠DBA，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FGDF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AFDF，
∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：yx，
∴y（﹣2）2，
∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t，
∵lBD：yx，
∴FX＝AX＝﹣2，
∴F（﹣2，）．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
17．（2023 梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；
【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a，
∴y（x+2）（x﹣4）或yx2+x+4或y（x﹣1）2．
（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PFn2+n+4﹣（﹣n+4）（n﹣2）2+2，
∴m（n﹣2）2，
∵0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k，
∴直线DP的解析式为yx+1，可得D（0，1），E（，0），
由△DOE∽△QOD可得，
∴OD2＝OE OQ，
∴1 OQ，
∴OQ，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为yx+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为yx，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
18．（2015 泰州）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB＝1：5，求一次函数的表达式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用对称轴公式求得m，把P（﹣3，1）代入二次函数y＝x2+mx+n得出n＝3m﹣8，进而就可求得n；
（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．
【解答】解：∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，
∴1，
∴m＝2，
∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），
∴9﹣3m+n＝1，得出n＝3m﹣8．
∴n＝3m﹣8＝﹣2；
（2）∵m＝2，n＝﹣2，
∴二次函数为y＝x2+2x﹣2，
作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，
∴，
∵P（﹣3，1），
∴PC＝1，
∵PA：PB＝1：5，
∴，
∴BD＝6，
∴B的纵坐标为6，
代入二次函数为y＝x2+2x﹣2得，6＝x2+2x﹣2，
解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
∴B（2，6），
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根据已知条件求得B的坐标是解题的关键．
19．（2017 杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得a1＝﹣2，a2＝1，
当a＝﹣2时，函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
当a＝1时，函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0时（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，
y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），
当y2＝ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b＝0，即b＝a2；
当y2＝ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b＝0，即b＝﹣a2﹣a；
（3）y1的对称轴为：，
当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x0；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
解法二：也可以求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
20．（2016 葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】应用题；二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设y＝kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；
（2）根据题意结合销量×每本的利润＝150，进而求出答案；
（3）根据题意结合销量×每本的利润＝w，进而利用二次函数增减性求出答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入得：，
解得：，
则y＝﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y＝150，
则（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
（x﹣25）（x﹣35）＝0，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵20≤x≤28，
∴x＝35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
此时当x＝30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，w随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝﹣2（28﹣30）2+200＝192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
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