2025年春季学期高一年级校联体第二次联考
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆锥底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
3. 若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A. 平面内所有直线都与是异面直线 B. 平面内不存在与平行的直线
C. 平面内所有直线都与相交 D. 直线与平面有公共点
4. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
5. 如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知在平行四边形中，，，在直线上有点P满足，，则的值为（ ）
A. 9 B. C. 18 D.
7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径．某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若抽到青年旅客人，则（ ）
A. 抽到老年旅客人
B. 抽到中年旅客人
C
D. 被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过
10. 如图，正方体，的棱长为，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角是
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是菱形
C. 存在点P，使得平面
D. 正四面体高为
11. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则是等边三角形
C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为
D. 若是锐角三角形，则取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 向量，，则________．
13. 在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为________．
14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当的三个内角均小于时，若其内部的点P满足，则称P为的费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，设P为的费马点，，则实数t的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知正方体．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
16. 对任意非零向量，，定义．
（1）若向量，，求的值；
（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值．
17. 已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________．
（1）求；
（2）若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积．
18. 某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边、、、修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为300平方米的钝角三角形(C是钝角)，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度．
19. 已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）．
（1）证明：平面；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求二面角的正切值．2025年春季学期高一年级校联体第二次联考
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
3. 若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A. 平面内所有直线都与是异面直线 B. 平面内不存在与平行的直线
C. 平面内所有直线都与相交 D. 直线与平面有公共点
【答案】D
4. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 已知在平行四边形中，，，在直线上有点P满足，，则值为（ ）
A. 9 B. C. 18 D.
【答案】C
7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. 在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径．某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若抽到青年旅客人，则（ ）
A. 抽到老年旅客人
B. 抽到中年旅客人
C.
D. 被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过
【答案】AD
10. 如图，正方体，的棱长为，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角是
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是菱形
C. 存在点P，使得平面
D. 正四面体的高为
【答案】ACD
11. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则是等边三角形
C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为
D. 若是锐角三角形，则的取值范围是
【答案】BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 向量，，则________．
【答案】1
13. 在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为________．
【答案】
14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当的三个内角均小于时，若其内部的点P满足，则称P为的费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，设P为的费马点，，则实数t的取值范围为______．
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知正方体．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】
（1）根据线面平行的判定定理证明即可.
（2）先证平面，再根据线面垂直可证面面垂直.
【小问1详解】
因为为正方体，
所以，且平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为为正方体，
所以平面，
又平面，所以.
又因为四边形为正方形，所以.
，平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
16. 对任意非零向量，，定义．
（1）若向量，，求的值；
（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
17. 已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________．
（1）求；
（2）若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
18. 某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边、、、修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为300平方米的钝角三角形(C是钝角)，那么需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度．
【答案】（1）
（2），.
19. 已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）．
（1）证明：平面；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
