专题12 解直角三角形（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编

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专题12 解直角三角形
一．选择题
1．（2025 余姚市一模）tan60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
2．（2025 富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
3．（2024 江北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 萧山区一模）如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．a sinα B．a cosα C．2a sinα D．2a cosα
6．（2025 金华模拟）某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高19.6米．为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米（已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为35°，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）（　　）
A．28米 B．29米 C．30米 D．33米
7．（2025 浙江一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．（2025 钱塘区一模）如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米．
A．m sin20° B．m sin40° C．2m cos20° D．2m sin20°
9．（2025 杭州一模）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD＝90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（　　）
A．acosθ+bsinθ B．asinθ+bsinθ C．acosθ+bcosθ D．asinθ+bcosθ
二．填空题
10．（2025 钱塘区一模）求值：sin230°+cos230°＝　 　 ．
11．（2025 浙江一模）如图，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，则sin∠DBC＝ 　 　 ．
12．（2025 杭州一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 　 ．
13．（2025 嘉善县一模）A市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘．先将测角仪放置在水平地面的A处，观测镜头C距地面1.5米，此时测得高炉顶端M的仰角α＝30°，再将测角仪移至地面的B处，测得高炉顶端M的仰角β＝45°，已知A，B相距20米，高炉底部N与A，B在同一水平线上．则高炉MN的高度约为 　 　 米．（计算结果精确到1米）．（参考数据：）
14．（2025 浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是 　 　 ．
三．解答题
15．（2025 富阳区一模）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，sinB＝，AC＝4．求∠A的度数和△ABC的面积．
16．（2025 上城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E，BC＝2，．
（1）求AC的长；
（2）求sin∠CDB的值．
17．（2025 滨江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若，．
（1）求AB的长．
（2）若CD是斜边AB上的中线，求tan∠CDB的值．
18．（2025 绍兴一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，CD＝4BD，AD⊥BC，sinC＝．
（1）求tanB的值；
（2）若AB＝10，求△ACD的周长．
19．（2025 温州一模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，AD是BC边上的中线，tan∠BAD＝1，DE是△ADC的高线．
（1）求cosC的值．
（2）求AE的长．
20．（2025 临安区一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为60°，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为40°，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米，可参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
21．（2025 定海区一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
（1）求钟楼MN的高度．
（2）学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）．小聪测得点C处的仰角∠NCM等于85.6°，求CM的长为多少米？
（参考数据：°≈13.00，结果精确到0.1米）
22．（2025 宁波一模）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为60°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离CD＝6米，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
23．（2025 萧山区一模）小区内开车必须遵守限速5m/s安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，经过2秒直行到B处刚好观察到C处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知CM＝3m，OC＝5m，OD＝3m，∠OAD＝20°，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
24．（2025 西湖区一模）综合与实践．
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝53°，BC＝15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度AD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，BC＝m，AD⊥BC于点D，用含α，β和m的代数式表示AD．
解：设AD＝x，因为tanα＝，
所以BD＝．
同理，因为tanβ＝，
所以CD＝①　 　 ．
因为BC＝BD+CD＝m，
解得x＝②　 　 ．
即可求得AD的长．
25．（2025 余姚市一模）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．
（1）填空：∠BCD＝　 　 度，∠AEC＝　 　 度；
（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．
26．（2025 湖州一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
（1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，∠ABE＝∠CDE＝90°，AE与CD交于点F．测得DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，求树AB的高度．
（2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）．（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角α为45°，与山脚D处的俯角β为65°．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角γ为45°；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角θ为25°．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47）
答案与解析
一．选择题
1．（2025 余姚市一模）tan60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【点拨】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解析】解：tan60°＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
2．（2025 富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【点拨】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
∵sinB＝，tanB＝
∴b＝c sinB，b＝a tanB，
因此选项A不符合题意；选项B符合题意；选项C不符合题意；选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
3．（2024 江北区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据锐角三角函数的定义得出tanB＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解析】解：∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
由勾股定理得：AB＝＝5x，
∴sinA＝＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．（2025 衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意，在Rt△ABM中结合正切的定义即可解决问题．
【解析】解：如图所示，
令小正方形的边长为a，
在Rt△ABM中，
tanB＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
5．（2025 萧山区一模）如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．a sinα B．a cosα C．2a sinα D．2a cosα
【点拨】根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可得到结论．
【解析】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝a，
∴CD＝BC，
∵∠ACB＝α，cos∠ACD＝，
∴cosα＝，
∴BC＝2acosα，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2025 金华模拟）某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高19.6米．为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米（已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为35°，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）（　　）
A．28米 B．29米 C．30米 D．33米
【点拨】画出示意图，根据前楼高和35°角的正切值可得两楼之间的最小间距应为多少米．
【解析】解：如图：前排楼AB高19.6米，太阳光线AC与地面BC的夹角为35°，
由题意得：AB⊥BC，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝19.6米，
∴BC＝≈≈28（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．掌握锐角三角函数的相关知识并熟练应用是解决本题的关键．
7．（2025 浙江一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【点拨】过点B作AC边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解析】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，
根据勾股定理得，
BM＝，
CM＝，
在Rt△BCM中，
tan∠ACB＝．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键．
8．（2025 钱塘区一模）如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米．
A．m sin20° B．m sin40° C．2m cos20° D．2m sin20°
【点拨】过点O作 OD⊥AB于点D．因为OA＝OB，推出，．在Rt△AOD中，，推出AD＝OA sin∠AOD＝m sin20°（米）．则AB＝2AD＝2m sin20°（米）．
【解析】解：过点O作 OD⊥AB于点D．
∵OA＝OB，
∴，．
在Rt△AOD中，，
∴AD＝OA sin∠AOD＝m sin20°（米）．
∴AB＝2AD＝2m sin20°（米）．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识．
9．（2025 杭州一模）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD＝90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（　　）
A．acosθ+bsinθ B．asinθ+bsinθ C．acosθ+bcosθ D．asinθ+bcosθ
【点拨】过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC，交直线DE于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出CF，计算即可．
【解析】解：如图，过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC，交直线DE于H，
在Rt△DCH中，∠D＝θ，CD＝b，
则CH＝CD sinD＝bsinθ，
∵∠D＝θ，
∴∠DCH＝90°﹣θ，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACF＝θ，
∴CF＝AC cos∠ACF＝acosθ，
∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题
10．（2025 钱塘区一模）求值：sin230°+cos230°＝　1　 ．
【点拨】根据特殊角的三角函数值计算．
【解析】解：原式＝（）2+（）2＝+＝1．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
11．（2025 浙江一模）如图，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，则sin∠DBC＝ 　　 ．
【点拨】过D作DE∥AC，交BC延长线于点E，证明四边形ADEC是平行四边形，则AC＝DE＝4，再由勾股定理求出，然后由即可求解．
【解析】解：过D作DE∥AC，交BC延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴AC＝DE＝4，
∵BD⊥AC，
∴BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
12．（2025 杭州一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　　 ．
【点拨】根据题意，延长CE交AB的延长线于点D，得到Rt△ACD，再分别求出CD，AD长，即可得到结果．
【解析】解：如图2，延长CE交AB的延长线于点D，
∵在△EFC中，EF＝FC＝a，∠EFC＝120°，作FG⊥EC于G点，
∴∠EFG＝60°，即∠FEG＝30°，
∴FG＝EF＝a，
∴EG＝＝＝，
∴CD＝a，BD＝FG＝a，
∴AD＝a，
∴Rt△ACD中，∠ADC＝90°，tan∠BAC＝，
∴tan∠BAC＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到正六边形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
13．（2025 嘉善县一模）A市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘．先将测角仪放置在水平地面的A处，观测镜头C距地面1.5米，此时测得高炉顶端M的仰角α＝30°，再将测角仪移至地面的B处，测得高炉顶端M的仰角β＝45°，已知A，B相距20米，高炉底部N与A，B在同一水平线上．则高炉MN的高度约为 　29　 米．（计算结果精确到1米）．（参考数据：）
【点拨】延长CD交MN于E点，如图，易得四边形ABDC、四边形ANEC都为矩形，所以CD＝AB＝20米，EN＝AC＝1.5米，根据正切的定义，在Rt△MED中求出DE＝ME，在Rt△MEC中求出CE＝ME，再利用CD＝CE﹣DE得到ME﹣ME＝20，则可求出ME的长，然后计算ME+EN即可．
【解析】解：延长CD交MN于E点，如图，∵AC⊥AN，BD⊥AN，MN⊥AN，CE∥AN，
∴四边形ABDC、四边形ANEC都为矩形，
∴CD＝AB＝20米，EN＝AC＝1.5米，
在Rt△MED中，∵tan∠β＝，
∴DE＝＝ME，
在Rt△MEC中，∵tan∠α＝，
∴CE＝＝＝ME，
∵CD＝CE﹣DE，
∴ME﹣ME＝20，
∴ME＝＝10（+1），
∴MN＝ME+EN＝10（+1）+1.5≈29（米）．
答：高炉MN的高度约为29米．
故答案为：29．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解仰角、俯角的定义，确定角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，然后灵活运用锐角三角函数的定义计算相应的边长．
14．（2025 浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是 　　 ．
【点拨】过点A作AF⊥DE于F，则DF＝EF＝AF＝1，设DN＝AM＝x，则AN＝＝，BM＝＝，进而得AN+BM＝+，在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2），则HP+HQ＝+，因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可，作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长，然后求出PQ'＝，由此可得AN+BM的最小值．
【解析】解：过点A作AF⊥DE于F，如图1所示：
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，
∴△ADE为等腰直角三角形，∠ABC＝30°，
∴DF＝EF＝AF＝DE＝1，
设DN＝AM＝x，
∴FN＝DF﹣DN＝1﹣x，
在Rt△ANF中，由勾股定理得：AN＝＝，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：BM＝＝，
∴AN+BM＝+，
在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2），
则HP＝，HQ＝，
∴HP+HQ＝+，
因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可，
作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，如图2所示：
∴HQ＝HQ'，
∴HP+HQ＝HP+HQ'
根据“两点之间线段最短”得：HP+HQ'≥PQ'，
∴当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长，
即HP+HQ的最小值为线段PQ'的长，
∵PQ'＝＝，
∵HP+HQ的最小值，
即AN+BM的最小值．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线是解决问题的关键．
三．解答题
15．（2025 富阳区一模）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，sinB＝，AC＝4．求∠A的度数和△ABC的面积．
【点拨】根据∠B的正弦值，先确定∠B的度数，求出AB，再求出BC，最后求出三角形的面积．
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵sinB＝＝，
∴∠B＝60°，AB＝＝＝8．
∴BC＝
＝
＝4．
∴∠A＝90°﹣60°＝30°．
∴S△ABC＝AC BC
＝×4×4
＝8．
答：∠A为30°，△ABC的面积为8．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
16．（2025 上城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E，BC＝2，．
（1）求AC的长；
（2）求sin∠CDB的值．
【点拨】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质得CD＝AD＝BD＝AB，进而得∠A＝∠ACD，则tan∠A＝tan∠ACD＝，解Rt△ABC可得AC的长；
（2）根据BC＝2，AC＝4得AB＝，则CD＝AB＝，再利用三角形的面积公式求出CE＝，然后在Rt△CDE中，根据正弦函数的定义即可得出sin∠CDB的值．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠A＝tan∠ACD＝，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
（2）由（1）可知：BC＝2，AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝，
∵CE⊥AB于点E，
∴由三角形的面积公式得：S△ABC＝AB CE＝AC BC，
∴CE＝＝＝，
在Rt△CDE中，sin∠CDB＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
17．（2025 滨江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若，．
（1）求AB的长．
（2）若CD是斜边AB上的中线，求tan∠CDB的值．
【点拨】（1）先根据已知条件和锐角正弦值的定义，求出AB即可；
（2）先根据已知条件和直角三角形的性质求出CE，然后再根据三角形的面积公式求出CE，再利用勾股定理求出DE，最后利用正切值的定义求出答案即可．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，，
∴，
设，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
，
20x2+5＝25x2，
5x2＝5，
x2＝1，
∴x＝1或﹣1（不合题意舍去），
∴AB＝5；
（2）如图所示：过点C作CE⊥AB，垂足为点E，
∴∠CED＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，由（1）可知AB＝5，
∴，
∵△ABC的面积＝，
∴AC BC＝AB CE，
，
∴CE＝2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数值的定义．
18．（2025 绍兴一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，CD＝4BD，AD⊥BC，sinC＝．
（1）求tanB的值；
（2）若AB＝10，求△ACD的周长．
【点拨】（1）先说明△ADC、△ABD是直角三角形，再利用直角三角形的边角间关系和勾股定理得结论；
（2）先利用勾股定理求出△ADC的三边长，再求出其周长．
【解析】解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC、△ABD都是直角三角形．
在Rt△ADC中，
∵sinC＝＝，
设AD＝3k，则AC＝5k．
∴CD＝＝4k．
∵CD＝4BD，
∴BD＝k．
在Rt△ADB中，
∴tanB＝＝＝3；
（2）在Rt△ADB中，
∵AB2＝AD2+BD2，即102＝k2+（3k）2，
∴k2＝10．
∴k＝（﹣不合题意舍去）．
当k＝时，AD＝3，CD＝4，AC＝5，
∴△ACD的周长＝AD+CD+AC
＝3+4+5
＝12．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理等知识点是解决本题的关键．
19．（2025 温州一模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，AD是BC边上的中线，tan∠BAD＝1，DE是△ADC的高线．
（1）求cosC的值．
（2）求AE的长．
【点拨】（1）先根据∠BAD的正切值及AB的长，求出BD的长，进一步得出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长，最后根据余弦的定义即可解决问题．
（2）在Rt△CDE中，根据∠C的余弦求出CE的长，据此进一步求出AE的长即可解决问题．
【解析】解：（1）在Rt△ABD中，
tan∠BAD＝，
∴，
则BD＝1．
又∵AD是BC边上的中线，
∴BC＝2BD＝2．
在Rt△ABC中，
AC＝，
∴cosC＝．
（2）在Rt△CDE中，
cosC＝，
∴，
∴CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知余弦的定义及勾股定理是解题的关键．
20．（2025 临安区一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为60°，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为40°，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米，可参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【点拨】（1）作出单梯所在的直角三角形，利用单梯的长度和60°的正弦值可得此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米；
（2）如图2：作DM⊥EF于点M，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM的长度和∠EDM的度数，利用EM的长度和∠EDM的正切值可得DM的长度，也就是双梯顶端距离地面的高度．
【解析】解：（1）如图1：作AC⊥地面BC于点C，则∠C＝90°，
由题意得：AB＝3米，∠ABC＝60°，
∴AC＝3×sin60°＝（米）．
答：单梯的顶端距离地面的高度为米；
（2）如图2：作DM⊥EF于点M，则∠DME＝90°，
由题意得：DE＝DF，EF＝1米，∠EDF＝40°，
∴EM＝0.5米，∠EDM＝20°，
∴DM＝≈1.4（米）．
答：此时双梯顶端距离地面的高度约为1.4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段整理到直角三角形中并进行求解是解决本题的关键．
21．（2025 定海区一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
（1）求钟楼MN的高度．
（2）学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）．小聪测得点C处的仰角∠NCM等于85.6°，求CM的长为多少米？
（参考数据：
°≈13.00，结果精确到0.1米）
【点拨】（1）设MN＝x米，在Rt△AMN中，可得AM＝MN＝x米．在Rt△BMN中，根据tan60°＝，可得BM＝＝米，进而可得AB＝AM+BM＝x+＝27.3，求出x的值即可．
（2）在Rt△CMN中，可得tan85.6°＝，代入计算即可．
【解析】解：（1）设MN＝x米，
在Rt△AMN中，∠NAM＝45°，
∴AM＝MN＝x米．
在Rt△BMN中，∠NBM＝60°，
∴tan60°＝，
∴BM＝＝米，
∵A，B两点之间的距离为27.3米，
∴AB＝AM+BM＝x+＝27.3，
解得x≈17.3，
∴钟楼MN的高度约17.3米．
（2）在Rt△CMN中，∠NCM＝85.6°，
∴tan85.6°＝，
∴CM＝≈≈1.3（米）．
答：CM的约长1.3米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．（2025 宁波一模）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为60°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离CD＝6米，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【点拨】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，求出BD的值，最后根据AB＝AD+BD，即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ACD中，CD＝6m，
∵tan∠ACD＝，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝2m，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝60°，
∴tan60°＝＝，
∴BD＝CD＝6m，
∴AB＝AD+BD＝2+6＝8m，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
23．（2025 萧山区一模）小区内开车必须遵守限速5m/s安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，经过2秒直行到B处刚好观察到C处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知CM＝3m，OC＝5m，OD＝3m，∠OAD＝20°，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
【点拨】在Rt△OCM中，由勾股定理得到OM长，利用Rt△OCM∽Rt△OBD，求出BD，在Rt△ODA中，求出AD，从而得到AB，求出小车行驶的速度，即可得到结果．
【解析】解：∵在Rt△OCM中，∠M＝90°，CM＝3m，OC＝5m，
∴（m），
∵∠COM＝∠BOD，∠M＝∠D＝90°，
∴Rt△OCM∽Rt△OBD，
∴，
∵CM＝3m，OD＝3m，
∴（m），
∵在Rt△ODA中，∠D＝90°，，
∴（m），
∴AB＝AD﹣BD＝8.33﹣2.25＝6.08（m），
∴小车行驶的速度为6.08÷2＝3.04（m/s），
∵3.04＜5，
∴小车行驶符合安全规范．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
24．（2025 西湖区一模）综合与实践．
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝53°，BC＝15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度AD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，BC＝m，AD⊥BC于点D，用含α，β和m的代数式表示AD．
解：设AD＝x，因为tanα＝，
所以BD＝．
同理，因为tanβ＝，
所以CD＝①　　 ．
因为BC＝BD+CD＝m，
解得x＝②　　 ．
即可求得AD的长．
【点拨】（1）根据正切的定义，在Rt△ACD中得到CD＝AD，在Rt△ABD中BD＝AD，再利用BD﹣CD＝BC得到AD﹣AD＝15，然后解方程求出AD即可；
（2）设AD＝x，利用正切的定义得到BD＝．CD＝．再利用BC＝BD+CD＝m得到关于x的方程，然后解方程即可．
【解析】解：（1）如图，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝，
∴CD＝≈＝AD，
在Rt△ABD中，∵tan∠B＝，
∴BD＝＝AD，
∵BD﹣CD＝BC，
∴AD﹣AD＝15，
解得AD＝60（m）．
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）设AD＝x，因为tanα＝，
所以BD＝．
同理，因为tanβ＝，
所以CD＝．
因为BC＝BD+CD＝m，
解得x＝
即可求得AD的长．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解仰角俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
25．（2025 余姚市一模）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．
（1）填空：∠BCD＝　150　 度，∠AEC＝　30　 度；
（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．
【点拨】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠BCD，进而求出∠ACE；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，在Rt△CEG中，由∠CEG＝30°，CE＝4m，可求出CG＝2m，EG＝2m，在Rt△AEF中利用特殊锐角的三角函数列方程求解即可..
【解析】解：（1）∵BC∥DK，
∴∠BCD+∠D＝180°，
又∵∠D＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，
∵NE∥KD，
∴∠CEN＝∠D＝30°，
又∵∠AEN＝60°，
∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：150，30；
（2）如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB交EN于点F，
在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，
∴CG＝CE＝2（m）＝BF，
∴EG＝CG＝2（m），
设AB＝x，则AF＝（x+2）m，
EF＝BC+EG＝（8+2）m，
在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，
∴AF＝EF，
即x+2＝（8+2），
x＝（4+8）m，
即信号塔的高度AB为（4+8）m．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，寻找和构造直角三角形，掌握两个直角三角形边角之间的关系是解决问题的关键．
26．（2025 湖州一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
（1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，∠ABE＝∠CDE＝90°，AE与CD交于点F．测得DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，求树AB的高度．
（2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）．（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角α为45°，与山脚D处的俯角β为65°．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角γ为45°；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角θ为25°．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47）
【点拨】（1）根据已知条件，可得到△ABE∽△FDE，可得到对应边成比例，即，从而得到结果；
（2）根据题意，方案一不可行，选择方案二，得到△ACE是等腰直角三角形，在Rt△AGH中，求出AE，从而得到结果．
【解析】解：（1）∵∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠FED，
∴△ABE∽△FDE，
∴，
∵DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，
∴，
∴AB＝14，
答：树AB的高度为14米；
（2）选择方案二进行问题解决：
∵∠ACE＝γ＝45°，∠AEC＝90°，
∴AE＝CE，
∵∠AGH＝θ＝25°，∠AHG＝90°，
∴，
可得，
∴（米），
∴AB＝AE+EB＝CE+CF＝160（米），
∴山体高度约为160米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
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