专题13 相似三角形（含解析）-2025年浙江省中考数学一模试题精编

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专题13 相似三角形
一．选择题
1．（2025 浙江模拟）若，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b＝，c＝2，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
3．（2025 上城区一模）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC＝10，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025 宁波一模）如图是凸透镜成像的光路示意图，AB，CD，OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直．一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C．已知OF＝10cm，OB＝15cm，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2025 湖州一模）小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为（　　）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
6．（2025 庆元县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形．点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1），若AA′为12，则A的坐标为（　　）
A．（﹣6，0） B．（﹣9，0） C．（﹣8，0） D．（﹣7，0）
7．（2025 温州一模）如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
8．（2025 衢州一模）如图，在平面直角坐标系中，线段A′B′与线段AB是位似图形，位似中心为点O．已知点A′，B′的坐标分别为（2，3），（4，3）．若AB＝3，则点A′的对应点A的坐标是（　　）
A． B．（6，9） C．（4，9） D．
9．（2025 衢江区一模）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，连结对角线AC，点O为AC中点，且AC＝AB＝2，点E是射线AB上一点，连结OE，作∠EOF＝135°，交BC延长线于点F．令BE＝x，CF＝y，则y关于x的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
10．（2025 宁波一模）若，则＝　 　 ．
11．（2025 余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　 　 cm．
12．（2025 绍兴一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF＝2DF，则的值是　 　 ．
13．（2025 临安区一模）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD＝3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是 　 　 ．
14．（2025 嘉善县一模）如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角△ABH，△BCE，△CDF，△DAG和一个小正方形EFGH拼接而成的大正方形ABCD．已知直线FH分别交边BC，AD于点M，N．若F，H是线段MN的两个三等分点，则大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积比为　 　 ．
15．（2025 温州一模）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则＝ 　 　 ，AE＝ 　 　 ．
16．（2025 定海区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC边上，∠EDC＝∠ABC．若，CD＝10，AD＝2AE，则AC的长为 　 　 ．
17．（2025 余姚市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且满足∠ABC＝2∠CAD，连结AD．作∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，点F．若AF＝2DF，则＝　 　 ，＝　 　 ．
三．解答题
18．（2025 钱塘区一模）已知线段a，b满足，且a﹣2b＝6．
（1）求线段a，b的长．
（2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
19．（2025 萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC．
（1）求证：△BCP∽△BAC．
（2）若PC＝2，求AC的长．
20．（2025 西湖区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由．
（2）求证：△ABE∽△CAF．
（3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长．
21．（2025 钱塘区一模）如图，已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，点F是BD上一点，连结AF，△ABF∽△ACD．
（1）求证：△ABC∽△AFD．
（2）若BC＝4，AD＝9，DF＝6，求AC的长．
22．（2025 台州一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF＝90°，在线段AE上取点G，使EG＝EB，连接FG．
（1）若AB＝4，BE＝2，求DF的长，以及四边形GECF的周长；
（2）设四边形GECF的周长为m，AB的长为a，求m与a的数量关系；
（3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值．
23．（2025 新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
24．（2025 富阳区一模）如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H．
（1）求cos∠BCA的值．
（2）求证：△DOG∽△DCH．
（3）求证：．
25．（2025 衢江区一模）在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的动点，连接BD，EF交于点P．
（1）如图（1），当点E，F分别是AB，BC的中点时，求证：BP＝PF．
（2）若BP＝PF，点G是AD边上的点，连结BG交EF于点H，点H是BG的中点，
①如图（2），若CF＝1，求DG的长；
②如图（3），连接GP，当GP＝PF，且GD＝CD时，求的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2025 浙江模拟）若，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．
【点拨】根据比例的性质进行变形求解即可．
【解析】解：根据题意可知，4b﹣a＝2a，
∴4b＝3a，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b＝，c＝2，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
【点拨】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解析】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误；
B、2×＝×2，四条线段成比例，故本选项正确；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误；
D、×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2025 上城区一模）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC＝10，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【点拨】根据相邻两条横线间的距离都相等，可设相邻两条横线间的距离为a，根据平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
【解析】解：过点A作AD⊥CE于点D，交BM于点N，设相邻两条横线间的距离为a，
∵BM∥CE，
∴＝＝
∴，
∴AB＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2025 宁波一模）如图是凸透镜成像的光路示意图，AB，CD，OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直．一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C．已知OF＝10cm，OB＝15cm，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【点拨】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得出，，OE＝AB，求出DF＝20cm，即可求解．
【解析】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，
∴，，OE＝AB，
即，
解得DF＝20cm，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，掌握以上性质是解题的关键．
5．（2025 湖州一模）小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为（　　）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
【点拨】证明两个三角形相似，即可求出AB的长度．
【解析】解：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOB和△DOC都是等腰三角形，
∵∠DOC＝∠BOA，
∴△AOB∽△DOC，
∵OB＝3OD，
∴，
∴3＝，
∴AB＝9，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确找出相似三角形是解题的关键．
6．（2025 庆元县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形．点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1），若AA′为12，则A的坐标为（　　）
A．（﹣6，0） B．（﹣9，0） C．（﹣8，0） D．（﹣7，0）
【点拨】根据点B的坐标，点B的对应点B′的坐标求出△ABO与△A′B′O′的相似比，再根据相似三角形的性质计算即可．
【解析】解：∵△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形，点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1），
∴△ABO与△A′B′O′的相似比为3：1，
∴OA：OA′＝3：1，
∵AA′＝12，
∴OA＝9，
∴A的坐标为（﹣9，0），
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2025 温州一模）如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【点拨】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【解析】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是P3．
故选：C．
【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
8．（2025 衢州一模）如图，在平面直角坐标系中，线段A′B′与线段AB是位似图形，位似中心为点O．已知点A′，B′的坐标分别为（2，3），（4，3）．若AB＝3，则点A′的对应点A的坐标是（　　）
A． B．（6，9） C．（4，9） D．
【点拨】由题意得A'B'＝2，则线段A′B′与线段AB的相似比为2：3，进而可得点A′的对应点A的坐标是（，3×），即（）．
【解析】解：∵点A′，B′的坐标分别为（2，3），（4，3），
∴A'B'＝2．
∵AB＝3，
∴线段A′B′与线段AB的相似比为2：3，
∴点A′的对应点A的坐标是（，3×），即（）．
故选：A．
【点睛】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
9．（2025 衢江区一模）如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，连结对角线AC，点O为AC中点，且AC＝AB＝2，点E是射线AB上一点，连结OE，作∠EOF＝135°，交BC延长线于点F．令BE＝x，CF＝y，则y关于x的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设OE，BC交于点H，过点O作OG∥BC，得到△AOG∽△ACB，勾股定理，求出BC的长，相似比求出OG的长，证明△EBH∽△EGO，求出BH的长，证明△EBH∽△FCO，列出比例式即可得出结果．
【解析】解：设OE，BC交于点H，过点O作OG∥BC，
∵∠ABC＝45°，AC＝AB＝2，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝90°，∠EBH＝∠OCF＝180°﹣45°＝135°，
∴，
∵OG∥BC，
∴△AOG∽△ACB，
∴，
∵点O为AC中点，，
，
∴AG＝AB＝1，，
∴BG＝AB﹣AG＝1，
∴EG＝BE+BG＝x+1，
∵OG∥BC，
∴△EBH∽△EGO，，
即：，
∴，
∵∠EBH＝135°，∠EOF＝135°，
∴∠BEH+∠BHE＝45°，∠OFC+∠OHF＝45°，
∵∠BHE＝∠OHF，
∴∠BEH＝∠OFC，
又∵∠EBH＝∠OCF，
∴△EBH∽△FCO，
∴，即：，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点，解决问题的关键在于掌握相关知识．
二．填空题
10．（2025 宁波一模）若，则＝　　 ．
【点拨】先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解析】解：∵＝，
∴a＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．
11．（2025 余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　4　 cm．
【点拨】因为两个三角形的面积之比9：16，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出三角形的相似比，又因为对应角平分线的比等于相似比即可求出大三角形的角平分线．
【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：16，
∴小三角形与大三角形的相似比是3：4，
∵小三角形一边上的角平分线的长为3cm，
∴大三角形对应边上的角平分线的长为3÷＝4（cm）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
12．（2025 绍兴一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF＝2DF，则的值是　　 ．
【点拨】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AD∥BE，可得△ADF∽△EBF，从而＝，，可得BC＝CE．作FH∥BC交CD于点H，证明△DFH∽△DBC，△FHG∽△ECG，列出比例式并进行等线段替换即可得解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，从而．
∴BC＝CE．
如图所示，作FH∥BC交CD于点H，
∴△DFH∽△DBC，
∴＝，
∴．
又∵△FHG∽△ECG，
∴＝．
故 答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，构造平行线证明三角形相似及在比例式中进行等线段替换是解题的关键．
13．（2025 临安区一模）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD＝3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是 　　 ．
【点拨】过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形性质得BH＝CH＝3，进而得AH＝，再根据AB：AD＝3：5得BD＝4，证明△DEB和△AHB相似，利用相似三角形性质得BE＝2，DE＝，则CE＝8，由此利用由勾股定理CD＝，然后根据直角三角形斜边中线的性质可得出EF的长．
【解析】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，且边长为6，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴BH＝CH＝1/2BC＝3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
∵AB：AD＝3：5，AD＝AB+BD＝6+BD，
∴6：（6+BD）＝3：5，
∴BD＝4，
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AH，
∴△DEB∽△AHB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BE＝2，DE＝，
∴CE＝BC+BE＝8，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD＝＝＝，
∵点F为DC中点，
∴EF是Rt△CDE斜边CD上的中线，
∴EF＝CD＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键．
14．（2025 嘉善县一模）如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角△ABH，△BCE，△CDF，△DAG和一个小正方形EFGH拼接而成的大正方形ABCD．已知直线FH分别交边BC，AD于点M，N．若F，H是线段MN的两个三等分点，则大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积比为　6+9　 ．
【点拨】根据题意，延长CE交AB于点P，过点M作BH的垂线，垂足为Q，得到AB和EH的长，即可得到结果．
【解析】解：如图，延长CE交AB于点P，过点M作BH的垂线，垂足为Q，
由HF＝FM，设AH＝x，HE＝1，
∵F，H是线段MN的两个三等分点，MQ∥FE，
∴EQ＝EH＝1，
∴MQ＝QH＝2，
∵EB＝HA
∴QB＝x﹣1，
∵∠MQB＝∠AHB＝90°，∠HAB＝∠MBQ，
∴△BQM∽△AHB，
∴，
∴，
∴x2＝2x+1，
解得x＝+1，
∴AB2＝AH2+HB2＝x2+（x+1）2＝2x2+2x+1＝6+9，
∴＝＝6+9，
故答案为：6+9．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，相似三角形性质的应用，正确认识图形，细心解答是解题的关键．
15．（2025 温州一模）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则＝ 　　 ，AE＝ 　　 ．
【点拨】连接DG，由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，则∠AED＝∠EDF，由轴对称的性质得EF垂直平分DG，∠EGF＝∠EDF，则∠EGF＝∠AED，所以FG∥ED，可证明四边形DEGF是菱形，则EG＝FG，由＝，得GH＝EG＝FG，＝，求得FH＝FG，则＝，再证明△CFH∽△BGH，得＝＝，求得BG＝CF＝，再证明△BGH∽△AED，得＝＝，求得AE＝BG＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在边AB，CD上，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDF，
∵点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，FG交BC于点H，
∴EF垂直平分DG，EG∥FD，∠BGH＝∠FDE，∠GBH＝∠A，
∴EG＝ED，FG＝FD，
∵EF＝EF，
∴△GEF≌△DEF（SSS），
∴∠EGF＝∠EDF，
∴∠EGF＝∠AED，
∴FG∥ED，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∵EG＝ED，
∴四边形DEGF是菱形，
∴EG＝FG，
∵＝，
∴GH＝EG＝FG，＝，
∴FH＝FG﹣FG＝FG，
∴＝＝，
∵CF∥BG，CF＝1，
∴△CFH∽△BGH，
∴＝＝，
∴BG＝CF＝，
∵∠BGH＝∠AED，∠GBH＝∠A，
∴△BGH∽△AED，
∴＝＝，
∴AE＝BG＝×＝，
故答案为：，．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的秘技、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形DEGF是菱形是解题的关键．
16．（2025 定海区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC边上，∠EDC＝∠ABC．若，CD＝10，AD＝2AE，则AC的长为 　　 ．
【点拨】根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．
【解析】解：如图，在AB上取一点F，使AF＝AD，连接CF．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，
∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCF，
即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴＝，∠DEC＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝10，
∴CE＝＝＝4，
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴△EAD∽△DAC，
又∵AD＝2AE，
∴＝＝，
∴AC＝2AD＝4AE＝CE＝×＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．
17．（2025 余姚市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且满足∠ABC＝2∠CAD，连结AD．作∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，点F．若AF＝2DF，则＝　2　 ，＝　　 ．
【点拨】延长DC至点G，使CG＝CD，连接AG，延长BE交AG于点H，利用角平分线的性质定理得到＝2，设BD＝a，则AB＝2a，利用全等三角形的判定与性质得到BG＝AB＝2a，进而求得BC＝BD+CD＝a，最后利用角平分线的性质定理解答即可得出结论．
【解析】解：延长DC至点G，使CG＝CD，连接AG，延长BE交AG于点H，如图，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴，
∵AF＝2DF，
∴＝2．
设BD＝a，则AB＝2a．
∵CG＝CD，AC⊥BC，
∴AC为DG的垂直平分线，
∴AD＝AG，
∴∠DAC＝∠GAC．
∵∠ABC＝2∠CAD，∠ABC＝2∠CBE，
∴∠CAD＝∠CBE．
∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠CEB＝∠HEA，
∴∠HEA+∠GAC＝90°，
∴∠AHB＝∠GHB＝90°．
在△GHB和△AHB中，
，
∴△GHB≌△AHB（ASA），
∴BG＝AB＝2a，
∴GD＝GB﹣DB＝a，
∴CD＝CG＝GD＝a，
∴BC＝BD+CD＝a，
∵BF是∠BAC的平分线，
∴．
故答案为：2；．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题
18．（2025 钱塘区一模）已知线段a，b满足，且a﹣2b＝6．
（1）求线段a，b的长．
（2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【点拨】（1）设a＝4k，b＝k，代入a﹣2b＝6计算可得k的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得c2＝ab，由此即可得答案．
【解析】解：（1）由条件可设a＝4k，b＝k，
∵a﹣2b＝6，
∴4k﹣2k＝6，
∴k＝3，
∴a＝12，b＝3；
（2）由条件可知c2＝ab＝36，
∵c＞0，
∴c＝6．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
19．（2025 萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC．
（1）求证：△BCP∽△BAC．
（2）若PC＝2，求AC的长．
【点拨】（1）由作法得BC＝AP，根据黄金分格的定义得到AP2＝BP BA，则BC2＝BP BA，然后根据相似三角形的判定方法可判断△BCP∽△BAC；
（2）先利用黄金分割的定义得到AP＝AB，而BC＝AP，则＝，接着根据相似三角形的性质得到＝＝，从而可求出AC的长．
【解析】解：由作法得BC＝AP，
∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
∴AP2＝BP BA，
∵BC2＝BP BA，
即＝，
而∠PBC＝∠CBA，
∴△BCP∽△BAC；
（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
∴AP＝AB，
即＝，
∵BC＝AP，
∴＝，
∵△BCP∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝×2＝+1．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了相似三角形的判定与性质．
20．（2025 西湖区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由．
（2）求证：△ABE∽△CAF．
（3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长．
【点拨】（1）利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形．
（2）先根据等边三角形的性质得到∠AEF＝∠AFE＝60°，则根据等角的补角相等得到∠AEB＝∠AFC，再证明∠BAE＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（3）先根据等边三角形的性质得到AE＝AF＝EF＝3，由于△ABE∽△CAF，则根据相似三角形的性质得到AE：CF＝BE：AF，即3：CF＝2：3，从而可求出CF的长．解得CF＝．
【解析】（1）解：△AEF为等边三角形．
理由如下：
由作法得AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴∠AEB＝∠AFC＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵∠AEF＝∠BAE+∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠C，
而∠AEB＝∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝3，
，∵△ABE∽△CAF，
∴AE：CF＝BE：AF，
即3：CF＝2：3，
解得CF＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
21．（2025 钱塘区一模）如图，已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，点F是BD上一点，连结AF，△ABF∽△ACD．
（1）求证：△ABC∽△AFD．
（2）若BC＝4，AD＝9，DF＝6，求AC的长．
【点拨】（1）由相似三角形的性质可得，∠BAF＝∠CAD，可得∠BAC＝∠FAD，即可求解；
（2）由相似三角形的性质可得，即可求解．
【解析】（1）证明：∵△ABF∽△ACD，
∴，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠FAD，
∴△ABC∽△AFD；
（2）解：∵△ABC∽△AFD，
∴，
∵BC＝4，AD＝9，DF＝6，
∴，
∴AC＝6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
22．（2025 台州一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF＝90°，在线段AE上取点G，使EG＝EB，连接FG．
（1）若AB＝4，BE＝2，求DF的长，以及四边形GECF的周长；
（2）设四边形GECF的周长为m，AB的长为a，求m与a的数量关系；
（3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值．
【点拨】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质得到AB：CE＝BE：CF，求得DF＝3，根据勾股定理得到结论；
（2）连接AF，根据勾股定理即可得到结论；
（3）设AB＝1，BE＝EG＝x，则EC＝1﹣x，CF＝x（1﹣x），求得FG＝2x，根据题意列方程即可得到结论．
【解析】解：（1）∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∵∠CEF＝∠BAE，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE＝BE：CF，
∴4：2＝2：CF，
∴CF＝1，
∴DF＝3，
∵∠C＝90°，
∴EF＝＝，
∴＝3，
∴四边形GECF的周长＝2+2+1+3＝8；
（2）连接AF，∵∠AEF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴AD2+DF2＝AB2+BE2+CE2+CF2，
∴DF2＝EG2+EF2＝FG2，
∴m＝GE+EC+CF+FG＝BE+EC+CF+DF＝2a；
（3）设AB＝1，BE＝EG＝x，
则EC＝1﹣x，CF＝x（1﹣x），
∵∠EFG＝30°，
∴FG＝2x，
列方程得，2x+x（1﹣x）＝1，
解得x＝，
∵BE＜1，
∴tan∠BAE＝x＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（2025 新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
【点拨】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可；
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解析】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm，
∵AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴．
∵AB∥A′B′，
∴△OAC∽△OA′D，
∴，
∴，
∴，
∴A′B′＝3.2．
答：像A′B′的长度3.2厘米．
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，
∵A′E∥OD，MN∥A′B′，
∴四边形A′EOD为平行四边形，
∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D．
同理：四边形ACOP为平行四边形，
∴AP＝OC＝32cm，
∵AP∥CD，A′E∥OD，
∴AP∥A′E，
∴△APO∽△A′EO，
∴，
∴．
∵MN∥A′B′，
∴△POF∽△A′DF，
∴＝，
∴OF＝OD＝（厘米）．
答：凸透镜焦距OF的长为厘米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（2025 富阳区一模）如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H．
（1）求cos∠BCA的值．
（2）求证：△DOG∽△DCH．
（3）求证：．
【点拨】（1）根据正方形的性质得到∠BCA＝∠BCD＝45°，根据三角函数的定义得到cos∠BCA＝；
（2）根据正方形的性质得到AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°，求得∠DOG＝90°，得到∠DOG＝∠CFG，根据角平分线的定义得到∠OCE＝∠ACB＝22.5°，求得∠ODG＝∠CDH，根据相似三角形的判定定理得到结论；
（3）根据正方形的性质得到AC⊥BD，OD＝OC，求得∠OEC+∠OCE＝90°，得到∠OEC+∠ODG＝90°，等量代换得到∠ODG＝∠OCE，根据全等三角形的性质得到OE＝OG；过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M，根据全等三角形的性质得到∠CGF＝∠CHF，根据平行线的性质得到∠M＝∠CGF，根据正方形的性质得到OB＝OD，于是得到结论．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠BCD＝45°，
∴cos∠BCA＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°，
∴∠DOG＝90°，
∵DH⊥CE，
∴∠CFG＝90°，
∴∠DOG＝∠CFG，
∵∠DGO＝∠CGF，
∴∠ODG＝∠OCE，
∵CE平分∠BCA交BD于点E，
∴∠OCE＝∠ACB＝22.5°，
∴∠ODG＝∠OCE＝22.5°，
∴∠CDH＝∠CDO﹣∠ODG＝22.5°，
∴∠ODG＝∠CDH，
∵∠DOG＝∠DCH＝90°，
∴△DOG∽△DCH；
（3）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COE＝90°，
∴∠OEC+∠OCE＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠OEC+∠ODG＝90°，
∴∠ODG＝∠OCE，
在△DOG与△COE中，
，
∴△DOG≌△COE（ASA），
∴OE＝OG；
过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M，
∵CE平分∠BCO，DH⊥CE，
∴∠ECH＝∠OCE，∠CFH＝∠CFG＝90°，
在△CFG与△CFH中，
，
∴△CFG≌△CFH（ASA），
∴∠CGF＝∠CHF，
∵BM∥AC，
∴∠M＝∠CGF，
∵∠CHF＝∠BHM，
∴∠BHM＝∠M，
∴BM＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，
∵BM∥AC，
∴DG＝MG，
∴OG＝BM＝，
∴OE＝BH，
∴．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，角平分线的定义和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
25．（2025 衢江区一模）在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的动点，连接BD，EF交于点P．
（1）如图（1），当点E，F分别是AB，BC的中点时，求证：BP＝PF．
（2）若BP＝PF，点G是AD边上的点，连结BG交EF于点H，点H是BG的中点，
①如图（2），若CF＝1，求DG的长；
②如图（3），连接GP，当GP＝PF，且GD＝CD时，求的值．
【点拨】（1）根据矩形的性质求得OB＝OC，利用三角形中位线的性质求得PF∥OC，推出△BPF∽△BOC，利用相似三角形的性质即可证明 BP＝PF；
（2）①连接AC交BD于点O，连接OH，利用三角形中位线定理求得OH∥DG，，再证明四边形OHFC是平行四边形，据此求解即可；
②设CF＝a，则CD＝DG＝2CF＝2a，连接AC，GF，作FN⊥AD于点N，求得，证明EF是线段BG的垂直平分线，求得，得到，证明△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∴矩形ABCD，
∴BD＝AC，，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∵点E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，则PF∥OC，
∴△BPF∽△BOC，
∴，
∴BP＝PF；
（2）解：①连接AC交BD于点O，连接OH，
由（1）知OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BP＝PF，
∴∠PBF＝∠PFB，
∴∠PFB＝∠OCB，
∴PF∥OC，即EF∥AC，
∵点H是BG的中点，点O是BD的中点，
∴OH∥DG，，
∵AD∥BC，
∴OH∥CF，
∴四边形OHFC是平行四边形，
∴OH＝CF，
∴，
∵CF＝1，
∴DG＝2，即DG的长为2；
②设CF＝a，则CD＝DG＝2CF＝2a，连接AC，GF，作FN⊥AD于点N，
则四边形CDNF是矩形，
∴FN＝CD＝2a＝AB，DN＝CF＝a，
∴GN＝DG﹣DN＝a，
∴，
∵GP＝PF，BP＝PF，
∴GP＝PB，
∵点H是BG的中点，
∴EF是线段BG的垂直平分线，
∴，
∴，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
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