福建省泉州市惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中学2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中学
2025年春季高一年期中联考
考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．若圆锥的侧面积与过旋转轴的截面面积之比为，则圆锥母线与旋转轴的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里。该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时灯塔C位于渔船的（ ）
A．南偏东方向 B．南偏西方向
C．北偏西方向 D．北偏西方向
7．已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为
C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则
10．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若取得最大值，则
D．若，则在上的投影向量为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的最小值为，则
B．若，则，使得成立
C．若，在都有成立，则
D．若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ．
13．已知平面向量，，满足，，则 ．
14．如图所示，在平面凸四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本题满分13分）
（1）计算：；
（2）若复数，求；
（3）如图正四棱台的上、下底面边长分别为和，高为，求它的体积
16．（本题满分15分）
记的内角的对边分别为，已知
（1）求A；
（2）如图，为边上一点，若，且，求的面积.
17．（本题满分15分）
已知函数
（1）将函数化简为的形式（其中），并求函数的最小正周期；
（2）若，求的值
18．（本题满分17分）
记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若点在上，平分，，，求的长；
（3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围.
19．（本题满分17分）
对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系
（1）若判断与是否具有关系并说明理由；
（2）若与具有关系求实数的取值范围；
（3）已知为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意有
判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2025年春季高一年期中联考参考答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C A D C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
题号 9 10 11
答案 AC ABD CD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12．10 13． 14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本题满分13分）
【详解】（1）
. ……………4分
（2）. ……………8分
（3）四棱台的体积
……………13分
16．（本题满分15分）
【详解】（1）已知，
由正弦定理得，， ……………1分
因为，所以， ……………2分
由于，故， ……………3分
则， ……………4分
而， ……………5分
因此. ……………6分
（2）由（1）及题设知，.
在中，由正弦定理得，， ……………7分
在中，由正弦定理得，， ……………8分
两式相除可得，即， ……………10分
在中，由余弦定理得，，即，……………13分
则的面积. ……………15分
17．（本题满分15分）
【详解】（1）由题意可得：
， ……………4分
所以函数的最小正周期为π ……………6分
（2）因为，，所以. ……………7分
因为，所以， ……………9分
所以， ……………11分
所以 ……………13分
. ……………15分
18．（本题满分17分）
【详解】（1）依题意，得，
根据正弦定理得， ……………1分
因为，所以，则，即，……………2分
即，所以． ……………3分
又，则，所以； ……………4分
（2）在中，根据余弦定理，得，
即，解得或（舍去）， ……………6分
依题意，，即，
化简得，则， ……………8分
所以； ……………10分
（3）依题意，的面积，所以．…………11分
又为锐角三角形，且，则，所以．
又，则， ……………12分
所以 ……………13分
由正弦定理，得，
所以， ……………15分
所以，即，
所以a的取值范围为． ……………17分
19．（本题满分17分）
【详解】（1）函数与具有关系. ……………1分
理由如下：
当时；当时，；
当时，；当时，，
此时，所以函数与具有关系. ……………3分
（2）由函数， ……………4分
且，
因为，当时，，所以， ……………6分
所以，所以， ……………8分
即实数的取值范围为.
（3）不具有关系. ……………9分
理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
且为定义在上的奇函数，
所以在上，当且仅当时，取得最小值－1，
由对任意有，可得关于点对称，
又，故的周期为，
故的值域为， ……………11分
，
当时，，时，，
若，即，此时有； ……………13分
当时，时，；
若，则时，有， ……………14分
因为，所以，
所以不存在使得， ……………17分
故与不具有关系