单元检测一 集合、常用逻辑用语、不等式
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|y=lg(3x-2)},则A∩B的子集个数为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 由题意得B={x|y=lg(3x-2)}=
所以A∩B={1,2,3},
故A∩B的子集个数为8.
2.(2025·济南模拟)已知集合A={x|y=},B={y|y=2x+1,x∈R},则A∩ RB等于( )
A.{x|x≥1} B.
C. D.
答案 C
解析 函数y=有意义,则有2x-1≥0,
解得x≥则A=；
x∈R,有2x>0,得2x+1>1,
则B={y|y>1}, RB={y|y≤1},
所以A∩ RB=.
3.(2024·龙岩模拟)若全集U=R,集合A={x|y=x∈N},B={y|y=-x2+3},则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.{0,1,2}
C.{3,4,5} D.{4,5}
答案 D
解析 由5-x≥0 x≤5,x∈N,得A={x|x≤5,x∈N},
由-x2+3≤3,得B={y|y≤3},故阴影部分为 A(A∩B)={4,5}.
4.(2025·菏泽模拟)已知条件q：不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则条件p：-2≤a<1是条件q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,
所以不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1<0的解集是R,
当a2-4=0,即a=±2 时,
若a=2,则4x-1<0,x<(舍去)；
若a=-2,则-1<0,x∈R；
当a2-4≠0时解得-2
综上所述,-2≤a<
所以条件p是条件q的充分不必要条件.
5.已知a>0,b>0,且+=1,则ab+2a+b的最小值为( )
A.2+2 B.3+2
C.4+2 D.5+2
答案 D
解析 因为a>0,b>0,且+=1,
所以a+b=ab,
所以ab+2a+b=(3a+2b)=5++≥5+2
当且仅当=
即时,等号成立,
所以ab+2a+b的最小值为5+2.
6.(2024·徐州质检)关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为( )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
答案 A
解析 由题意可得a<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的两根,
∴x=1为方程ax-b=0的根,∴a=b,
则不等式ax+b>0可化为x+1<0,
即x<-1,
∴不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1).
7.假设某加油站第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升、n元/升(m≠n),甲和乙购买汽油的方式不同,甲每周购买40元的汽油,乙每周购买12升汽油,甲、乙两次购买的平均单价分别记为a1,a2,则下列结论正确的是( )
A.a1=a2
B.a1>a2
C.a2>a1
D.a1,a2的大小无法确定
答案 C
解析 由题意得m>0,n>0,m≠n,则a1==<=
a2==>所以a2>a1.
8.存在三个实数a1,a2,a3,使其同时满足下述两个等式：①a1a2a3=8；②a1+a2+a3=-2,其中M表示三个实数a1,a2,a3中的最大值,则( )
A.M的最大值是2
B.M的最大值是2
C.M的最小值是2
D.M的最小值是2
答案 C
解析 由题意可得a1,a2,a3中有2个负数,1个正数,
不妨设a1<0,a2<0,a3>0,则M=a3,
所以a3=-2-a1-a2≥2-2,
即a1a2≤
当且仅当a1=a2时,等号成立,
所以a1a2a3=8≤a3·
即+4+4a3-32
=-8+4+4a3-24
=(a3-2)(+2a3+4)+4(a3+3)(a3-2)
=(a3-2)(+6a3+16)≥0,
因为+6a3+16=(a3+3)2+7>0,所以a3≥2,
所以M的最小值是2,没有最大值.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025·淄博模拟)已知lg a>lg b,则下列结论成立的是( )
A.2a-b>1 B.a+>b+
C.> D.πa-b>3a-b
答案 AD
解析 lg a>lg b,则有a>b>0,
由a-b>0,则2a-b>1,故A正确；
对勾函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
而a>b>0,f(a)>f(b)不一定成立,故B错误；
-==<0,有<故C错误；
=>=1,
又3a-b>0,所以πa-b>3a-b,故D正确.
10.(2025·长春模拟)设正实数m,n满足m+n=1,则( )
A.+的最小值为3+2
B.+的最大值为
C.的最大值为
D.m2+n2的最小值为
答案 ABD
解析 因为正实数m,n满足m+n=1,
所以+=(m+n)=3++≥3+2
当且仅当=且m+n=1,即m=-1,n=2-时等号成立,故A正确；
(+)2=m+n+2≤m+n+m+n=2,
则+≤
当且仅当m=n=时等号成立,故B正确；
1=m+n≥2所以≤
当且仅当m=n=时等号成立,
所以的最大值为故C错误；
由≤
可得m2+n2≥=
当且仅当m=n=时等号成立,故D正确.
11.(2024·深圳模拟)对于非空数集M,定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S={1,2,3,4},定义集合T={f(A)|A S,A≠ },则下列说法正确的是( )
A.7∈T
B.8 T
C.集合T中有10个元素
D.集合T中有11个元素
答案 AC
解析 ∵A S且A≠ .
①当A为单元素集合时,集合A可取{1},{2},{3},{4},f(A)可取1,2,3,4；
②当A中的元素个数为2时,集合A可取{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},
f(A)可取3,4,5,6,7；
③当A中的元素个数为3时,集合A可取{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},f(A)可取6,7,8,9；
④当A=S时,f(A)=10.
综上所述,T={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A,C选项正确,B,D选项错误.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024·福州模拟)设全集S={x|x2-ax+15=0,x∈R}, SA={5},则集合A= .
答案 {3}
解析 因为S={x|x2-ax+15=0,x∈R}, SA={5},所以5∈S,5 A,所以52-5a+15=0,解得a=8,由x2-8x+15=0,解得x=3或x=5,所以S={3,5},所以A={3}.
13.(2025·南京模拟)已知命题p： x∈[0,3],a=-x2+2x,命题q： x∈[-1,2],x2+ax-8≤0.若p为假命题,q为真命题,则实数a的取值范围为 .
答案 [-7,-3)∪(1,2]
解析 命题p： x∈[0,3],a=-x2+2x为假命题,
所以a=-x2+2x在x∈[0,3]上无解,
即直线y=a与函数y=-x2+2x,x∈[0,3]的图象没有交点,
由图可知a>1或a<-3,
命题q： x∈[-1,2],x2+ax-8≤0为真命题,
则
解得-7≤a≤2,
综上所述,实数a的取值范围为
[-7,-3)∪(1,2].
14.(2024·复旦附中模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有2个整数,则实数a的取值范围是 .
答案
解析 由A中不等式变形得(x-1)(x+3)>0,
解得x<-3或x>1,即A={x|x<-3或x>1},
函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为直线x=a>0,
f(-3)=6a+8>0,f(1)=-2a<0,f(-1)=2a>0,
作出f(x)的大致图象,如图.
由对称性可得,要使A∩B恰含有2个整数,
则这2个整数为2,3,
∴
即
解得≤a<
则实数a的取值范围为.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025·宣城模拟)已知集合A={x|x2-5x-6≤0},集合B={x|m+1≤x≤2m-1,m∈R}.
(1)若A∩B= ,求实数m的取值范围；(6分)
(2)设p：x∈A；q：x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.(7分)
解 (1)因为A={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6},
又A∩B= ,B={x|m+1≤x≤2m-1,m∈R},
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2,
当B≠ 时,m≥2,则m+1>6或2m-1<-1,解得m>5,
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(5,+∞).
(2)因为p是q的必要不充分条件,所以集合B是集合A的真子集,
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2,
当B≠ 时(等号不同时成立),解得2≤m≤
综上,m≤即实数m的取值范围为.
16.(15分)已知关于x的不等式ax2+bx-2a+5<0的解集是.
(1)求实数a,b的值；(7分)
(2)若m>0,n>0,且am+bn=1,求+的最小值.(8分)
解 (1)因为关于x的不等式ax2+bx-2a+5<0的解集是
所以-1和是方程ax2+bx-2a+5=0的两个根,
所以
解得
经验证,当a=3,b=2时,
ax2+bx-2a+5<0的解集是符合题意,
所以a=3,b=2.
(2)由(1)知a=3,b=2,所以3m+2n=1,
又m>0,n>0,
所以+=+=++2
≥2+2=2+2,
当且仅当=
即m=n=2-时,等号成立,
所以+的最小值为2+2.
17.(15分)(2025·无锡模拟)如图,某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.四个小矩形AMQD,MNFE,BCPN,PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2,且AM=ME=3NB.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为1 000元/m2；在四个矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为400元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为200元/m2.设AD长为x(单位：m).
(1)用x表示AM的长度,并写出x的取值范围；(4分)
(2)用x表示花坛与花岗岩地坪的造价之和；(4分)
(3)设总造价为C(x)元,当AD长为何值时,总造价最低？并求出最低总造价.(7分)
解 (1)由题意得矩形AMQD的面积为(400-x2),
因此AM=·
因为AM>0,所以0(2)由题意知,设花坛与花岗岩地坪的造价之和为y元,
则y=1 000x2+400×(400-x2)=600x2+160 000.
(3)由题意可得
C(x)=1 000x2+400×(400-x2)+200××××
=100+140 000(0由基本不等式得C(x)≥100×2+140 000=240 000,
当且仅当=即x=4时,等号成立,
所以当x=4时,总造价C(x)最小,最小值为240 000元.
18.(17分)(2025·红河模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集；(3分)
(2)若不等式f(x)≥-2对一切实数x恒成立,求a的取值范围；(5分)
(3)解关于x的不等式f(x)解 (1)由函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R),
若a=-2,可得f(x)=-2x2+3x-4,
又由f(x)<0,即不等式-2x2+3x-4<0,即2x2-3x+4>0,
因为Δ=9-4×2×4<0,
所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f(x)<0的解集为R.
(2)由f(x)≥-2对一切实数x恒成立,等价于 x∈R,ax2+(1-a)x+a≥0恒成立,
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意；
当a≠0时,则满足
即解得a≥
所以a的取值范围是.
(3)依题意,f(x)当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,
所以不等式的解集为.
当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1}；
②当-11,不等式的解集为；
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为.
综上,当a<-1时,原不等式的解集为；
当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1}；
当-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时,原不等式的解集为.
19.(17分)(2024·东莞模拟)对于函数f(x),若f(x)=x,则称实数x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称实数x为f(x)的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.
(1)对于函数f(x)=2x-1,分别求出集合A和B；(3分)
(2)对于任意的函数f(x),集合A与B有什么关系？并证明你的结论；(5分)
(3)设f(x)=x2+ax+b,若A={-1,3},求集合B.(9分)
解 (1)由f(x)=x,得2x-1=x,解得x=1；
由f(f(x))=x,得2(2x-1)-1=x,
解得x=1,
∴集合A={1},B={1}.
(2)A B.证明如下：
若A= ,则A B显然成立,若A≠ ,
设t为集合A中任意一个元素,
由f(f(t))=f(t)=t∈B,可得A B.
(3)∵A={-1,3},
∴即
解得∴f(x)=x2-x-3,
令f(f(x))=f(x2-x-3)=(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x,
即(x2-x-3)2-x2=0,
即(x2-3)(x2-2x-3)=0,
即(x-)(x+)(x+1)(x-3)=0,
解得x=或x=-或x=-1或x=3,
∴集合B={--13}.单元检测一 集合、常用逻辑用语、不等式
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|y=lg(3x-2)},则A∩B的子集个数为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
2.(2025·济南模拟)已知集合A={x|y=},B={y|y=2x+1,x∈R},则A∩ RB等于( )
A.{x|x≥1} B.
C. D.
3.(2024·龙岩模拟)若全集U=R,集合A={x|y=x∈N},B={y|y=-x2+3},则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.{0,1,2}
C.{3,4,5} D.{4,5}
4.(2025·菏泽模拟)已知条件q：不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则条件p：-2≤a<1是条件q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知a>0,b>0,且+=1,则ab+2a+b的最小值为( )
A.2+2 B.3+2
C.4+2 D.5+2
6.(2024·徐州质检)关于x的不等式(ax-b)(x+3)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为( )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
7.假设某加油站第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升、n元/升(m≠n),甲和乙购买汽油的方式不同,甲每周购买40元的汽油,乙每周购买12升汽油,甲、乙两次购买的平均单价分别记为a1,a2,则下列结论正确的是( )
A.a1=a2
B.a1>a2
C.a2>a1
D.a1,a2的大小无法确定
8.存在三个实数a1,a2,a3,使其同时满足下述两个等式：①a1a2a3=8；②a1+a2+a3=-2,其中M表示三个实数a1,a2,a3中的最大值,则( )
A.M的最大值是2
B.M的最大值是2
C.M的最小值是2
D.M的最小值是2
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025·淄博模拟)已知lg a>lg b,则下列结论成立的是( )
A.2a-b>1 B.a+>b+
C.> D.πa-b>3a-b
10.(2025·长春模拟)设正实数m,n满足m+n=1,则( )
A.+的最小值为3+2
B.+的最大值为
C.的最大值为
D.m2+n2的最小值为
11.(2024·深圳模拟)对于非空数集M,定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S={1,2,3,4},定义集合T={f(A)|A S,A≠ },则下列说法正确的是( )
A.7∈T
B.8 T
C.集合T中有10个元素
D.集合T中有11个元素
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024·福州模拟)设全集S={x|x2-ax+15=0,x∈R}, SA={5},则集合A= .
13.(2025·南京模拟)已知命题p： x∈[0,3],a=-x2+2x,命题q： x∈[-1,2],x2+ax-8≤0.若p为假命题,q为真命题,则实数a的取值范围为 .
14.(2024·复旦附中模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有2个整数,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025·宣城模拟)已知集合A={x|x2-5x-6≤0},集合B={x|m+1≤x≤2m-1,m∈R}.
(1)若A∩B= ,求实数m的取值范围；(6分)
(2)设p：x∈A；q：x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.(7分)
16.(15分)已知关于x的不等式ax2+bx-2a+5<0的解集是.
(1)求实数a,b的值；(7分)
(2)若m>0,n>0,且am+bn=1,求+的最小值.(8分)
17.(15分)(2025·无锡模拟)如图,某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.四个小矩形AMQD,MNFE,BCPN,PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2,且AM=ME=3NB.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为1 000元/m2；在四个矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为400元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为200元/m2.设AD长为x(单位：m).
(1)用x表示AM的长度,并写出x的取值范围；(4分)
(2)用x表示花坛与花岗岩地坪的造价之和；(4分)
(3)设总造价为C(x)元,当AD长为何值时,总造价最低？并求出最低总造价.(7分)
18.(17分)(2025·红河模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集；(3分)
(2)若不等式f(x)≥-2对一切实数x恒成立,求a的取值范围；(5分)
(3)解关于x的不等式f(x)19.(17分)(2024·东莞模拟)对于函数f(x),若f(x)=x,则称实数x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称实数x为f(x)的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.
(1)对于函数f(x)=2x-1,分别求出集合A和B；(3分)
(2)对于任意的函数f(x),集合A与B有什么关系？并证明你的结论；(5分)
(3)设f(x)=x2+ax+b,若A={-1,3},求集合B.(9分)