单元检测二 函 数
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程2x+ln x-5=0的解所在区间为( )
A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)
答案 C
解析 令f(x)=2x+ln x-5,f(x)在(0,+∞)上连续且单调递增,
因为f(4)=8+ln 4-5=3+ln 4>0,f(5)=10+ln 5-5=5+ln 5>0,
所以f(x)的零点不在(4,5)内,故A错误；
因为f(4)>0,f(3)=6+ln 3-5=1+ln 3>0,
所以f(x)的零点不在(3,4)内,故B错误；
因为f(3)>0,f(2)=4+ln 2-5=ln 2-1<0,
所以f(x)的零点在(2,3)内,所以方程2x+ln x-5=0的解所在区间为(2,3),故C正确；
因为f(2)<0,f(1)=2+ln 1-5=-3<0,
所以f(x)的零点不在(1,2)内,故D错误.
2.已知函数f(x)=则f(-2)+f(log212)等于( )
A.3 B.9 C.12 D.15
答案 B
解析 因为f(x)=
所以f(-2)+f(log212)=1+log24+=3+=9.
3.(2024·贵州联考)已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当-3≤x<0时,f(x)=2x+1+x2-1,则f(2 024)等于( )
A. B.1 C.-1 D.-
答案 C
解析 由f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的函数,所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=-f(-1)=-[2-1+1+(-1)2-1]=-1.
4.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≥3
C.1≤m≤3 D.m≤1或m≥3
答案 B
解析 因为y=x2-2x=(x-1)2-1在[1,+∞)上单调递增,y=x在R上单调递增,
又f(x)=在R上单调递增,
所以解得m≥3,
即实数m的取值范围是m≥3.
5.(2024·辽宁实验中学模拟)二次函数y1=ax2+bx与指数函数y2=的图象可能是( )
答案 A
解析 根据指数函数y2=知a,b同号且不相等,可知二次函数的对称轴x=-<0,排除B,D；对于选项A,当x=-1时,y1=a-b>0,所以a>b,又a>0,所以<1,函数y2=单调递减,故A正确；对于选项C,当x=-1时,y1=a-b>0,所以a>b,又a<0,所以>1,与指数函数单调递减矛盾,故C不正确.
6.(2025·咸阳模拟)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1+x)=f(3-x),则不等式f(3x-2)>f(4)的解集是( )
A.∪(2,+∞)
B.
C.(2,+∞)
D.
答案 D
解析 因为f(1+x)=f(3-x),
所以f(x)的对称轴为x=2,f(x)在[2,+∞)上单调递减,
则f(x)在(-∞,2)上单调递增,
又因为f(3x-2)>f(4),
由对称性可得|3x-2-2|<|4-2|,
所以|3x-4|<2,-2<3x-4<2,
解得7.已知a+log2a=4,b+log3b=c+log4c=3,则( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
答案 A
解析 令f(x)=x+log2x-4,x∈(0,+∞),易知f(x)是增函数,由题意知,a是函数f(x)=x+log2x-4的零点,
因为f =log2-=log2-log2
由=<=8,得<
所以f <0,
又f(3)=log23-1=log2>0,
所以由函数零点存在定理知,a∈；
令g(x)=x+log4x-3,x∈(0,+∞),易知g(x)是增函数,
由题意知,c是函数g(x)=x+log4x-3的零点,
因为g=log4-=log4-log42=log4>0,
g(2)=log42-1=log42-log44=log4<0,
所以由函数零点存在定理知,c∈
故a>c；
由b+log3b=c+log4c=3,
得log3b=3-b,log4c=3-c,
作出函数y=3-x,y=log3x,y=log4x的大致图象,如图所示,由图可知c>b.
综上,a>c>b.
8.(2024·扬州模拟)若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意实数x∈(0,+∞),都有f=+1,其中e是自然对数的底数,则f(ln 3)等于( )
A.4 B. C.e+2 D.
答案 B
解析 因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f=+1,
所以在(0,+∞)上,存在唯一一个实数t,
使得f(t)=+1,
于是f(x)-=t.
令x=t,得+1-=t,即-t++1=.
画出y=-t++1与y=的图象,如图所示,
由图象可知,y=-t++1与y=的图象在(0,+∞)上只有1个交点,
且t=1是方程-t++1=的解,
所以f(x)=+1,故f(ln 3)=+1=+1=.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025·太原模拟)下列函数中,在区间(-∞,2)上单调递减的是( )
A.f(x)=|x-2| B.g(x)=-
C.h(x)=ex-2 D.φ(x)=ln(2-x)
答案 AD
解析 函数f(x)=|x-2|=所以f(x)在(-∞,2)上单调递减,故A正确；
函数y=x-2在(-∞,2)上单调递增,函数y=-在(-∞,0)上单调递增,
所以函数g(x)=-在(-∞,2)上单调递增,故B错误；
函数y=x-2在(-∞,2)上单调递增,函数y=ex在R上单调递增,
所以函数h(x)=ex-2在(-∞,2)上单调递增,故C错误；
函数y=2-x在(-∞,2)上单调递减,函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数φ(x)=ln(2-x)在(-∞,2)上单调递减,故D正确.
10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x+1)+f(x+2)=-f(x),则( )
A.f(1)=1
B.f(x)的一个周期是3
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(10)+f(11)+f(12)=0
答案 BCD
解析 由f(x+1)+f(x+2)=-f(x),
可得f(x+2)+f(x+3)=-f(x+1),
所以f(x+3)=f(x),
所以f(x)是周期为3的周期函数,故B正确；
又f(x)是R上的奇函数,知f(0)=0,
可得f(1)+f(2)=0,
无法确定f(1),f(2)的值,故A错误；
由f(-x)=-f(x)及f(x+3)=f(x),可得f(x+3)=-f(-x),
所以f(x)的图象关于点对称,故C正确；
由f(x)的周期为3,
得f(10)+f(11)+f(12)=f(1)+f(2)+f(3)=f(1)+f(2)+f(0)=0,故D正确.
11.(2024·遵义模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=|x2-4x-3|,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象与y=3有3个交点
B.当x<0时,f(x)=-|x2+4x-3|
C.f(x)在(-2,0)上单调递增
D.函数y=f(f(x))的图象与y=3有6个交点
答案 BCD
解析 当x>0时,令x2-4x-3<0,解得0令x2-4x-3>0,解得x>2+
将y=x2-4x-3 y轴右侧的图象位于x轴下方的部分翻折到上方,并根据f(x)是定义在R上的奇函数,作出y=f(x)的图象如图所示,
对于A,从图上观察y=f(x)的图象与y=3有2个交点,A错误；
对于B,函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-|x2+4x-3|,故B正确；
对于C,因为y=x2-4x-3=(x-2)2-7,所以y=x2-4x-3的对称轴为直线x=2,
所以由图象可知,f(x)在(-2,0)上单调递增,故C正确；
对于D,由A知f(x)=3有两根,当-(x2-4x-3)=3,x∈(0,2+)时,得x=4,
当x2-4x-3=3,x∈(2++∞)时,得x=2+
令f(f(x))=3,得f(x)=4或f(x)=2+
观察图象知f(x)=4有3个解,由于3<2+<7,所以f(x)=2+有3个解,
故f(f(x))=3共有6个解,即y=f(f(x))的图象与y=3有6个交点,故D正确.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)=a(2x-2-x)+bx+1,若f(2)=5,则f(-2)= .
答案 -3
解析 令g(x)=a(2x-2-x)+bx,
x∈R,g(-x)=a(2-x-2x)-bx=-[a(2x-2-x)+bx]=-g(x),
所以g(x)为奇函数,则有g(-2)=-g(2),
因为f(2)=g(2)+1=5,
所以g(2)=4,则g(-2)=-g(2)=-4,
所以f(-2)=g(-2)+1=-3.
13.(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(2),则实数a的取值范围是 .
答案
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,
则函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x)=f(|x|),
因为loa=loa=-log2a,
由f(log2a)+f(loa)≤2f(2),
可得2f(2)≥f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),
即f(log2a)≤f(2),
即f(|log2a|)≤f(2),
所以|log2a|≤2,即-2≤log2a≤2,
解得≤a≤4.
因此,实数a的取值范围是.
14.已知函数f(x)=若函数f(x)的定义域为{x|x≤m或x≥1},则m= ；若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
答案 [2,+∞)
解析 ①由题意得ax2-3x+1≥0,由它的解集为{x|x≤m或x≥1},
可得a>0,且1是关于x的方程ax2-3x+1=0的一个根,
即a×12-3×1+1=0,解得a=2,
由根与系数的关系得m×1==
所以m=.
②当a≠0时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以解得a≥2；
当a=0时,f(x)=不符合题意,
综上,a≥2,故a的取值范围是[2,+∞).
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.
(1)若f(x)<0,求x的取值范围；(5分)
(2)当≤x≤8时,求函数f(x)的值域.(8分)
解 (1)设t=log2x,x>0,t∈R,
所以f(x)=(log2x)2-log2x-2<0,
即t2-t-2<0,
解得-1所以-1即x的取值范围为.
(2)由(1)得,当≤x≤8时,t∈[-2,3],
所以函数可转化为y=t2-t-2,t∈[-2,3],
当t=时,y取最小值为-
当t=-2或t=3时,y取最大值为4,
即当x=时,f(x)取最小值为f()=-
当x=或x=8时,
f(x)取最大值为f=f(8)=4,
即函数f(x)的值域为.
16.(15分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=若f(x)是定义域为R的奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式；(8分)
(2)求不等式f(1+x2)+f(3-5x)<0的解集.(7分)
解 (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,
则f(0)==0,得b=-1,a≠-1,
则f(x)=
且f(1)=-f(-1),
即=-=解得a=1,
则f(x)=
可得f(x)+f(-x)=+=+=0,
即f(x)=-f(-x),符合题意.
综上所述,f(x)=.
(2)因为f(x)==1-
且y=2x在R上单调递增,
则f(x)在R上单调递增,
若f(1+x2)+f(3-5x)<0,
则f(1+x2)<-f(3-5x)=f(5x-3),
可得1+x2<5x-3,即x2-5x+4<0,
解得1所以原不等式的解集为(1,4).
17.(15分)(2024·东北师大附中模拟)函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于 x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0.
(1)证明：f(x)为减函数；(7分)
(2)若f=2,求不等式f(x)+f(x-1)+2>0的解集.(8分)
(1)证明 设 x1,x2∈(0,+∞),且x1则>1,f<0,
因为f(x2)-f(x1)=f-f(x1)
=f<0,
所以f(x2)(2)解 因为f =2,
所以f(x)+f(x-1)+2=f(x)+f(x-1)+f=f(x2-x)+f=f>0,
令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),
即f(1)=0,
所以f>f(1),
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以
解得118.(17分)已知函数f(x)=3x-3-x.
(1)求不等式f(1-2x)+f(2-x2)>0的解集；(7分)
(2)若h(x)=[f(x)]2+2mf(x)+2在[1,+∞)上的最小值为11,求实数m的值.(10分)
解 (1)f(x)=3x-3-x=3x-定义域为R,
由复合函数的单调性知f(x)是增函数,
又f(-x)=3-x-3x=-f(x),
因此f(x)是奇函数,
不等式f(1-2x)+f(2-x2)>0可化为f(1-2x)>-f(2-x2)=f(x2-2),
所以1-2x>x2-2,
即x2+2x-3<0,解得-3所以不等式的解集为{x|-3(2)h(x)=(3x-3-x)2+2m(3x-3-x)+2,
令t=3x-3-x(x≥1),则t≥
令g(t)=t2+2mt+2抛物线开口向上,对称轴为直线t=-m,
当-m<即m>-时,
g(t)min=g=+m+2=11,
解得m=.
当-m≥即m≤-时,
g(t)min=g(-m)=m2-2m2+2=11,
则m2=-9,无解.
综上,实数m的值为.
19.(17分)已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=21-x.
(1)若方程mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解，求实数m的取值范围；(8分)
(2)若h(x)=，且方程[h(x)]2-h(x)+k=0有三个解，求实数k的取值范围.(9分)
解 (1)因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，由已知可得f(-x)-g(-x)=21+x，
即f(x)+g(x)=21+x，
所以
解得
由mf(x)=[g(x)]2+2m+9可得m(2x+2-x)=(4x+4-x-2)+2m+9，
令t=2x+2-x≥2=2，当且仅当x=0时，等号成立，则t2=4x+4-x+2，故有t2-mt+2m+5=0，其中t≥2，
令F(t)=t2-mt+2m+5，t≥2，
则函数F(t)在[2，+∞)上有零点.
①当≤2，即m≤4时，F(t)在[2，+∞)上单调递增，所以F(t)≥F(2)=9>0，不符合题意；
②当>2，即m>4时，则有Δ=m2-8m-20≥0，解得m≥10(m≤-2舍去)，此时函数F(t)在[2，+∞)上有零点.
综上所述，实数m的取值范围是[10，+∞).
(2)h(x)==|2x-1|=
作出函数y=h(x)的图象，如图所示.
由[h(x)]2-h(x)+k=0可得·[h(x)-2k]=0，
由图可知，方程h(x)=有两个不相等的实数根，由题意可知，方程h(x)=2k有且只有一个根，
故2k=0或2k≥1，解得k=0或k≥.
因此实数k的取值范围是.单元检测二 函 数
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程2x+ln x-5=0的解所在区间为( )
A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)
2.已知函数f(x)=则f(-2)+f(log212)等于( )
A.3 B.9 C.12 D.15
3.(2024·贵州联考)已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当-3≤x<0时,f(x)=2x+1+x2-1,则f(2 024)等于( )
A. B.1 C.-1 D.-
4.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≥3
C.1≤m≤3 D.m≤1或m≥3
5.(2024·辽宁实验中学模拟)二次函数y1=ax2+bx与指数函数y2=的图象可能是( )
6.(2025·咸阳模拟)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1+x)=f(3-x),则不等式f(3x-2)>f(4)的解集是( )
A.∪(2,+∞)
B.
C.(2,+∞)
D.
7.已知a+log2a=4,b+log3b=c+log4c=3,则( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
8.(2024·扬州模拟)若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意实数x∈(0,+∞),都有f=+1,其中e是自然对数的底数,则f(ln 3)等于( )
A.4 B. C.e+2 D.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025·太原模拟)下列函数中,在区间(-∞,2)上单调递减的是( )
A.f(x)=|x-2| B.g(x)=-
C.h(x)=ex-2 D.φ(x)=ln(2-x)
10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x+1)+f(x+2)=-f(x),则( )
A.f(1)=1
B.f(x)的一个周期是3
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(10)+f(11)+f(12)=0
11.(2024·遵义模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=|x2-4x-3|,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象与y=3有3个交点
B.当x<0时,f(x)=-|x2+4x-3|
C.f(x)在(-2,0)上单调递增
D.函数y=f(f(x))的图象与y=3有6个交点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)=a(2x-2-x)+bx+1,若f(2)=5,则f(-2)= .
13.(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(2),则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f(x)=若函数f(x)的定义域为{x|x≤m或x≥1},则m= ；若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.
(1)若f(x)<0,求x的取值范围；(5分)
(2)当≤x≤8时,求函数f(x)的值域.(8分)
16.(15分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=若f(x)是定义域为R的奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式；(8分)
(2)求不等式f(1+x2)+f(3-5x)<0的解集.(7分)
17.(15分)(2024·东北师大附中模拟)函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于 x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0.
(1)证明：f(x)为减函数；(7分)
(2)若f=2,求不等式f(x)+f(x-1)+2>0的解集.(8分)
18.(17分)已知函数f(x)=3x-3-x.
(1)求不等式f(1-2x)+f(2-x2)>0的解集；(7分)
(2)若h(x)=[f(x)]2+2mf(x)+2在[1,+∞)上的最小值为11,求实数m的值.(10分)
19.(17分)已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=21-x.
(1)若方程mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解，求实数m的取值范围；(8分)
(2)若h(x)=，且方程[h(x)]2-h(x)+k=0有三个解，求实数k的取值范围.(9分)
