单元检测三 一元函数的导数及其应用
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=-ln x+x2+x,f'(x0)=2,则x0的值为( )
A.1 B.2 C. D.
答案 A
解析 由f(x)=-ln x+x2+x,得f'(x)=(x>0),
因为f'(x0)=2,
所以=2,化简得2-x0-1=0,
解得x0=1或x0=-(舍去).
2.(2024·湛江调研)函数f(x)=2x-5ln x+x2的单调递减区间是( )
A. B.
C.(1,+∞) D.(0,1)
答案 D
解析 由f(x)=2x-5ln x+x2,得f'(x)=2-+3x=(x>0),
令f'(x)<0,得0
3.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x+1)=2f(x),f'(x)>0,则等于( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 D
解析 f(x+1)=2f(x)两边对x求导,
得f'(x+1)·(x+1)'=2f'(x),
即=2,
所以=2=2,…=2,
累乘可得=25=32.
4.若函数h(x)=ln x-2ax在[1,3]上不单调,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.(-∞,1) D.
答案 A
解析 由题可得h'(x)=-2a,
若函数h(x)=ln x-2ax在[1,3]上不单调,
则当a=0时,x∈[1,3],h'(x)=>0,不符合题意；
当a≠0时,令h'(x)=-2a=0,得x=
故1<<3,
则5.(2025·张家口模拟)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)-f(x)<0,且f(3)=0,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为( )
A.(0,2)∪(2,3) B.(0,2)∪(3,+∞)
C.(0,2)∪(2,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
答案 B
解析 依题意,令g(x)=x∈(0,+∞),
求导得g'(x)=<0,
则g(x)在(0,+∞)上单调递减,
由f(3)=0,得g(3)=0,不等式(x-2)f(x)<0 (x-2)·<0 (x-2)g(x)<0,
则或
即或解得03,
所以不等式(x-2)f(x)<0的解集为(0,2)∪(3,+∞).
6.(2024·广东联考)若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex-b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则+的取值范围是( )
A.[2,e) B.(e,4]
C.[2,+∞) D.[e,+∞)
答案 C
解析 ∵y=ln(x+a),∴y'=设切点为(x0,y0),则
∴ea+b=2,∴+=(ea+b)=.∵a,b>0,
∴原式≥=2,
当且仅当=即a=b=1时等号成立,
即+≥2.
7.(2025·宁波模拟)已知x0为函数f(x)=x2ex+e2ln x-2e2的零点,则x0+ln x0等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由f(x)=0得x2ex=2e2-e2ln x,
即x2ex=e2(2-ln x),
即x2ex=e2ln
因为x>0,
所以xex=ln
所以x0为方程xex=ln的根,
令g(x)=xex(x>0),
则g'(x)=ex(x+1)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g=ln
所以x=ln=2-ln x,
即x0=2-ln x0,即x0+ln x0=2.
8.若函数f(x)=x2+axex-ae2x(a∈R)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
答案 D
解析 由x2+axex-ae2x=0得+a·-a=0,令g(x)=则g'(x)=
令g'(x)=0,得x=1,令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,因此函数g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且g(0)=0,当x>0时,g(x)=>0,则g(x)=的图象如图所示,
所以函数g(x)的最大值为g(1)=
令t=则h(t)=t2+at-a=0,
由根与系数的关系得t1t2=-a,
由二次函数的图象(图略)可知,
一元二次方程的一根t1必在内,另一根t2=或t2=0或t2∈(-∞,0),
当t2=时,a=则另一根t1=不满足题意；
当t2=0时,a=0,则另一根t1=0,不满足题意；
当t2∈(-∞,0)时,
由二次函数h(t)=t2+at-a的图象可知解得0则实数a的取值范围是.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024·沈阳模拟)已知定义在[a,b]上的函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,下列命题中正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[x2,x4]上单调递减
B.若x4f'
C.函数y=f(x)在[a,b]上有3个极值点
D.若x2答案 BD
解析 对于A,当x∈(x2,x3)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故A错误；
对于B,画出y=f'(x)在[x4,x5]上的图象,如图所示,根据图象知>f'故B正确；
对于C,在(a,x3)和(x5,b)上f'(x)≥0,f(x)单调递增；
在(x3,x5)上f'(x)<0,f(x)单调递减,
故x=x3是f(x)的极大值点,x=x5是f(x)的极小值点,f(x)在[a,b]上有2个极值点,故C错误；
对于D,x∈(x2,x3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(p)根据图象知f'(p)>f'(q),所以[f(p)-f(q)]·[f'(p)-f'(q)]<0,故D正确.
10.(2024·上饶模拟)若存在实数b,使得关于x的方程x4+mx3+nx+b=0有四个不相等的实数根,则mn的值可能为( )
A.-2 024 B.2 025
C.0 D.-6
答案 AD
解析 令f(x)=x4+mx3+nx+b,
则f'(x)=4x3+3mx2+n,
令g(x)=f'(x),则该函数至少存在三个变号零点,且g'(x)=6x(2x+m),
当m>0时,
在(0,+∞)上,g'(x)>0,即g(x)=f'(x)单调递增,
在上,g'(x)<0,即g(x)=f'(x)单调递减,
若n≥0,则f'(0)=n≥0,知g(x)=f'(x)至多有一个变号零点,
故n<0 mn<0；
当m<0时,在(-∞,0)上,g'(x)>0,
即g(x)=f'(x)单调递增,
在上,g'(x)<0,即g(x)=f'(x)单调递减,
若n≤0,则f'(0)=n≤0,知g(x)=f'(x)至多有一个变号零点,
故n>0 mn<0；
当m=0时,g'(x)=12x2≥0,即g(x)=f'(x)在定义域上单调递增,
此时,g(x)=f'(x)至多有一个变号零点,不符合题意,
综上,mn只能为负数.
11.(2025·银川模拟)设函数f(x)=ax3-2x2+1,则( )
A.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
B.当a>2时,f(x)有三个零点
C.若f(x)满足f(x)+f(2-x)=-则a=
D.当a=1时,若f(x)在(-1,m)上有最大值,则m的取值范围为(0,+∞)
答案 AC
解析 f'(x)=3ax2-4x=x(3ax-4),
若a<0,则当x<或x>0时,f'(x)<0；
当0,
故x=0为f(x)的极大值点,故A正确；
若a>2,由A的分析同理可得,
当x<0或x>时,f'(x)>0；
当0故f(x)在上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,
而f(0)=1>0,f=-+1=1->1->0,
f(-a)=-a4-2a2+1<0,故f(x)只有一个零点,故B错误；
f(x)+f(2-x)=ax3-2x2+1+a(2-x)3-2(2-x)2+1
=(6a-4)x2+(8-12a)x+8a-6,
由题设可得(6a-4)x2+(8-12a)x+8a-6=-恒成立,
故即a=故C正确；
取m=8,当a=1时,
f(x)在(-1,0)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
而f(0)=1,f(8)=83-2×64+1=385>1,
此时f(x)在(-1,8)上无最大值,故D错误.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若点P是函数f(x)=x2-ln x上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的最小距离为 .
答案
解析 设x-y+m=0与函数f(x)=x2-ln x的图象相切于点P(x0,y0).
f'(x)=2x-则2x0-=1,x0>0,解得x0=1.
∴y0=1,
∴点P(1,1)到直线x-y-2=0的距离最小,最小距离d==.
13.若函数f(x)=(x+a)sin x在x=π处取得极值,则f(x)在上的最小值为 .
答案 -
解析 ∵f'(x)=sin x+(x+a)cos x,∴f'(π)=-(π+a)=0,解得a=-π,
∴f(x)=(x-π)sin x,
当x∈时,f'(x)=sin x+(x-π)cos x>0,
当x∈时,f'(x)<0,
∴f(x)=(x-π)sin x在上单调递增,在上单调递减,
∴f(x)在x=π处取得极值,符合题意.
∴f(x)在上的最小值为f=-.
14.(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)=xln x,则f(x)的最小值为 ；设函数g(x)=x2-af(x),若g(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
答案 - [0,2]
解析 由题可知f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,
显然,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减；
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)的最小值为f=-.
由题可知,g(x)=x2-af(x)=x2-axln x,
所以g'(x)=2x-aln x-a,
由题可知当x∈(0,+∞)时,g'(x)=2x-aln x-a≥0恒成立,
当a<0时,显然当x→0时,g'(x)→-∞,故不成立；
当a=0时,g'(x)=2x,
因为x∈(0,+∞),
所以g'(x)=2x>0,故成立；
当a>0时,由2x-aln x-a≥0恒成立,
得≥恒成立,
即≥
令h(x)=
所以h'(x)=
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
所以h(x)max=h(1)=1,即≥1 0综上所述,a的取值范围是[0,2].
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025·兰州模拟)已知函数f(x)=ln 2x-x2.
(1)求f(x)的单调区间；(7分)
(2)求f(x)的极值.(6分)
解 (1)由f(x)=ln 2x-x2，
得f'(x)=-x=(x>0)，
令f'(x)>0，得01，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞).
(2)由(1)可得f(x)的极大值为f(1)=ln 2-，无极小值.
16.(15分)(2025·广州模拟)已知函数f(x)=x3+(a-3)x2-ax+4.
(1)当a=6时,求f(x)的极值；(6分)
(2)讨论f(x)的单调性.(9分)
解 (1)当a=6时,f(x)=x3+x2-6x+4,
f'(x)=3x2+3x-6=3(x+2)(x-1),
所以在区间(-∞,-2),(1,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增,
在区间(-2,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的极大值是f(-2)=-8+6+12+4=14,
极小值为f(1)=1+-6+4=.
(2)f(x)=x3+(a-3)x2-ax+4,
f'(x)=3x2+(a-3)x-a=3(x-1)
当-=1,即a=-3时,f'(x)≥0,f(x)单调递增；
当-<1,即a>-3时,在区间(1,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增,
在区间上f'(x)<0,f(x)单调递减；
当->1,即a<-3时,在区间(-∞,1)上f'(x)>0,f(x)单调递增,
在区间上f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上,当a=-3时,f(x)在R上单调递增；
当a>-3时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间上单调递减；
当a<-3时,f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间上单调递减.
17.(15分)已知函数f(x)=ax-a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(6分)
(2)证明：当a≥时,f(x)≥0.(9分)
(1)解 当a=1时,f(x)=x-
f'(x)=1-
则f'(e)=1,f(e)=e-
则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为x-y-=0.
(2)证明 当a≥时,f(x)≥x-
设g(x)=x-
则g'(x)=(x>0),
设h(x)=x2+ln x-1,
则其在(0,+∞)上单调递增,且h()=0,
当0当x>时,g'(x)>0,
所以函数g(x)在(0)上单调递减,在(+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g()=0,即f(x)≥0.
18.(17分)(2024·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ex-ax2,a∈R,f'(x)为函数f(x)的导函数.
(1)讨论函数f'(x)的单调性；(7分)
(2)若方程f(x)+f'(x)=2-ax2在(0,1)上有实根,求a的取值范围.(10分)
解 (1)f'(x)=ex-2ax,令g(x)=ex-2ax,
则g'(x)=ex-2a,
当a≤0时,g'(x)>0,
函数f'(x)在R上单调递增；
当a>0时,令g'(x)>0,得x>ln 2a,
令g'(x)<0,得x所以函数f'(x)在(-∞,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增；
当a>0时,f(x)在(-∞,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,f'(x)=ex-2ax,
方程f(x)+f'(x)=2-ax2在(0,1)上有实根等价于方程ex-ax-1=0在(0,1)上有实根.
令φ(x)=ex-ax-1,x∈(0,1),
则φ'(x)=ex-a,
当a≤1时,φ'(x)>0在(0,1)上恒成立,
函数φ(x)在(0,1)上单调递增,φ(x)>φ(0)=0,不符合题意；
当a≥e时,φ'(x)<0在(0,1)上恒成立,
函数φ(x)在(0,1)上单调递减,
φ(x)<φ(0)=0,不符合题意；
当1得00,得ln a所以函数φ(x)在(0,ln a)上单调递减,
在(ln a,1)上单调递增.
因为φ(0)=0,所以φ(x)满足φ(1)=e-a-1>0,
解得a综上所述,a的取值范围为(1,e-1).
19.(17分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的最大值；(7分)
(2)若aex-1≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.(10分)
解 (1)f(x)=的定义域为(0,+∞),
f'(x)==
当00,f(x)单调递增；
当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=时,f(x)取最大值f=e=e+1.
(2)由aex-1≥f(x)可得a≥
令g(x)=
则g'(x)=
=
由于x>0,故>0,
又函数y=ln x,y=x+1均为增函数,
因此p(x)=ln x+x+1在(0,+∞)上单调递增,且p(1)=ln 1+1+1>0,p(e-2)=-2+e-2+1<0,
因此存在唯一的x0∈(0,1),使得p(x0)=0,
即ln x0+x0+1=0,且当x>x0时,p(x)>0,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当00,g(x)单调递增,
由ln x0+x0+1=0可得x0=1,
进而x0=
故g(x)max=g(x0)====e2,
因此a≥g(x)max=e2,故a的取值范围为[e2,+∞).单元检测三 一元函数的导数及其应用
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=-ln x+x2+x,f'(x0)=2,则x0的值为( )
A.1 B.2 C. D.
2.(2024·湛江调研)函数f(x)=2x-5ln x+x2的单调递减区间是( )
A. B.
C.(1,+∞) D.(0,1)
3.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x+1)=2f(x),f'(x)>0,则等于( )
A.4 B.8 C.16 D.32
4.若函数h(x)=ln x-2ax在[1,3]上不单调,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.(-∞,1) D.
5.(2025·张家口模拟)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)-f(x)<0,且f(3)=0,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为( )
A.(0,2)∪(2,3) B.(0,2)∪(3,+∞)
C.(0,2)∪(2,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
6.(2024·广东联考)若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex-b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则+的取值范围是( )
A.[2,e) B.(e,4]
C.[2,+∞) D.[e,+∞)
7.(2025·宁波模拟)已知x0为函数f(x)=x2ex+e2ln x-2e2的零点,则x0+ln x0等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.若函数f(x)=x2+axex-ae2x(a∈R)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024·沈阳模拟)已知定义在[a,b]上的函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,下列命题中正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[x2,x4]上单调递减
B.若x4f'
C.函数y=f(x)在[a,b]上有3个极值点
D.若x210.(2024·上饶模拟)若存在实数b,使得关于x的方程x4+mx3+nx+b=0有四个不相等的实数根,则mn的值可能为( )
A.-2 024 B.2 025
C.0 D.-6
11.(2025·银川模拟)设函数f(x)=ax3-2x2+1,则( )
A.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
B.当a>2时,f(x)有三个零点
C.若f(x)满足f(x)+f(2-x)=-则a=
D.当a=1时,若f(x)在(-1,m)上有最大值,则m的取值范围为(0,+∞)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若点P是函数f(x)=x2-ln x上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的最小距离为 .
13.若函数f(x)=(x+a)sin x在x=π处取得极值,则f(x)在上的最小值为 .
14.(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)=xln x,则f(x)的最小值为 ；设函数g(x)=x2-af(x),若g(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025·兰州模拟)已知函数f(x)=ln 2x-x2.
(1)求f(x)的单调区间；(7分)
(2)求f(x)的极值.(6分)
16.(15分)(2025·广州模拟)已知函数f(x)=x3+(a-3)x2-ax+4.
(1)当a=6时,求f(x)的极值；(6分)
(2)讨论f(x)的单调性.(9分)
17.(15分)已知函数f(x)=ax-a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(6分)
(2)证明：当a≥时,f(x)≥0.(9分)
18.(17分)(2024·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ex-ax2,a∈R,f'(x)为函数f(x)的导函数.
(1)讨论函数f'(x)的单调性；(7分)
(2)若方程f(x)+f'(x)=2-ax2在(0,1)上有实根,求a的取值范围.(10分)
19.(17分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的最大值；(7分)
(2)若aex-1≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.(10分)