安徽省合肥市百校联赢2025届九年级下学期最后一卷数学试卷（含详解）

安徽省合肥市百校联赢2025安徽名校大联考最后一卷数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．据中国民用航空局公布的数据，2025年“五一”假期期间，民航旅客运输量约为1075万人次．2024年相比，同期增长8%，这里“1075万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
5．一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　）
A． B． C．2 D．5
7．已知，，下列结论中正确的是（　　）
A． B．，
C． D．，
8．二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，，平分交于点，则线段为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（　　）
A．6 B．9 C．5 D．9
二、填空题
11．下表是根据甲、乙两位同学平时演讲训练的成绩（满分10分）制作的统计表，如果要选派一名成绩稳定的同学参加市里的演讲比赛，请根据表中信息回答，应派 同学（填“甲”或“乙”）参加市里的演讲比赛．
平均数 中位数 众数 方差
甲 8 8.5 8 2.14
乙 8 7.5 7 1.25
12．如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ．
13．已知中，，其中点在轴上，点都在第一象限，轴，点在的上方，如图，若反比例函数的图象经过点，且的面积为6，则的值为 ．
14．如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折到处．
（1）若，则的度数是 °．
（2）延长交边于点，延长交边于点，若，且，则的长为 ．
三、解答题
15．先化简、后求值：，其中．
16．樱桃是安徽特产水果，每年月成熟上市，这种水果圆润香甜，富含维生素C，具有生津止渴功效．某果农将采摘的樱桃分装为大箱和小箱销售，已知2个大箱和3个小箱共装樱桃千克，4个大箱和1个小箱共装樱桃千克，求每个大箱和每个小箱各装多少千克的樱桃．
17．观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：
依照上述规律解答问题：
(1)直接写出第5个等式为_______；
(2)猜想第个等式为_______（n，为正整数，用含的式子表示）；
(3)请利用分式的运算证明你的猜想．
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点，直线经过格点（格点为网格线的交点）．
(1)画出关于直线成轴对称的；
(2)将绕点逆时针旋转得到，画出；
(3)直接写出点经过上述两种变换所经过的路径长．
19．如图1是水平放置的手机支架，图2为其平面示意图，已知，，，，求手机支撑点到水平面的距离．（精确到）（参考数据：，，，，）
20．如图，，以为直径作交于点，交于点，连接并延长交的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
21．【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范国家秘密保护的基础性法律，首次颁布于1988年，历经了2010年和2024年两次重大修订，最新修订版本于2024年5月1日起实施，今年5月1日是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查．
【数据的收集与整理】
该校《道德与法治》老师从八、九年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评（成绩用分表示，满分100分），将抽查学生的成绩进行如下分组：
组别 A B C D
并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表：
八年级学生测试成绩频数分布表
组别 频数 频率
A 6 —
B 9 0.45
C —
D 1 0.05
八年级学生测试成绩频数分布
九年级B组学生成绩（单位：分）为78，72，75，72，74，79，78．
【数据分析与应用】
任务1：本次抽查的八、九年级学生共_______人，_______；
任务2：把九年级学生的成绩制成扇形统计图，则B组学生所占圆心角的度数为_______；
任务3：从八年级A组学生中选取2名同学，从九年级A组学生中选取3名同学组成《中华人民共和国保守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选两名同学到七年级宣讲该法律，求抽到的同学来自同一个年级的概率．
22．【生产背景】背景1：某服装厂安排50名工人加工生产“旗袍”和“国风女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工1件旗袍或2件国风女装．
背景2：每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况是：
（1）旗袍：当每天加工20件时，每件旗袍获利100元，如果每天多加工1件，那么平均每件旗袍的获利将减少5元；
（2）国风女装：每件获利40元．
【探究任务】现在安排名工人加工旗袍，服装厂每天的总利润为元．
任务1：用含式子表示加工国风女装的工人人数；
任务2：求与之间的函数表达式；
任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？
23．【发现】如图，将正方形的对角线绕点顺时针旋转后落在点位置，连接并延长交的延长线于点，平分交于点．求证：；
【探究】如图，在矩形中，，，将对角线绕点顺时针旋转后落在点位置，连接并延长交的延长线于点，平分交于点，连接，若，求的长；
【拓展】如图，在菱形中，，，以点为旋转中心，将边顺时针旋转一周与菱形的边交于点（不含与顶点的交点），请直接写出的长（不用说理）．
《安徽省合肥市百校联赢2025安徽名校大联考最后一卷数学试题》参考答案
1．C
解：、，是正数，不符合题意；
、，是正数，不符合题意；
、，是负数，符合题意；
、无意义，不符合题意；
故选：C．
2．D
解：A、，故此选项运算错误，不符合题意；
B、，故此选项运算错误，不符合题意；
C、，故此选项运算错误，不符合题意；
D、，故此选项运算正确，符合题意；
故选：D．
3．B
1075万；
故选B．
4．A
解：从上面看，看到的图形是一个长方形，靠近两侧各有一条竖直的实线，即看到的图形如下：
，
故选：A．
5．B
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
，
故选：B．
6．D
解∶∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故选∶D．
7．D
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
，
∴，
综上所述，，，，
故选：D．
8．A
解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限，
，
，
二次函数与轴的交点在轴负半轴，
，
二次函数图象开口向上，
对称轴为直线，
对称轴在轴左边，
观察各选项，只有选项符合．
当时，反比例函数图象位于第二、四象限，
，
，
二次函数与轴的交点在轴正半轴，
，
二次函数图象开口向下，
对称轴为直线，
对称轴在轴左边，
观察各选项，没有选项符合．
故选：A ．
9．C
解：如图，过作于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴
即，
∴，
∴，
故选：．
10．B
解；如图所示，作等边，连接，设直线交于T，
∵四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵点G是定点，
∴点F在直线上运动，
∴当时，有最小值，
∴此时有，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴的最小值为9，
故选：B．
11．乙
解：∵甲、乙两名同学平均数相同且，
∴乙的成绩较稳定，
∴从稳定性角度考虑，会选择乙同学参加比赛．
故答案为：乙．
12．20
解：∵D，E分别是的边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故答案为：20．
13．12
解：∵中，，其中点在轴上，点都在第一象限，轴，点在的上方，
∴设点的坐标为，点的坐标为,
∴线段的中点坐标为，
∵，
∴点在的中垂线上，
∴设点的坐标为，
∵点均在反比例函数的图象上，
∴,
∴,
∴的边上的高，
又，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：12．
14．
解：（1）∵将沿翻折到处，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点作于点，作于点，过点作于点，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∵将沿翻折到处，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为： ．
15．，
解：
=
=
当时，
原式=．
16．每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃
解：设每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃，
则，解得：，
答：每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃．
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
∴第5个等式：；
（2）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
∴第n个等式：；
（3）证明：
．
18．(1)见详解
(2)见详解
(3)
（1）解：如图，
为所求作；
（2）解：如图，
为所求作；
（3）解：由题意得
经过上述两种变换所经过的路径的长为：
，
，
由作图得：，
，
，
故答案为：．
19．
解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
故手机支撑点到水平面的距离为．
20．(1)见解析
(2)8
（1）证明∶连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，
在中，，，，，
∴，
解得，
即的半径为8．
21．任务1：40,4；任务2：126；任务3：
解：任务1：由八年级成绩频数可得抽取的八年级的学生有人，
抽取的八、九年级学生人数相同，
本次抽查的八、九年级学生共人，
人，
故答案为：40,4；
任务2：B组学生所占圆心角的度数为，
故答案为：126；
把九年级的3名A组选手和八年级的2名A组选手分别记为：A、A、A，B、B，
画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能情况，两名同学恰好是同一年级的有8种情况，
抽到的两名同学恰好是同一年级的概率为．
22．任务1：；任务2：（）；任务3：每天安排人生产“旗袍”，人生产“国风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是元
任务1：
解：由题意得
，
故加工国风女装的工人人数人；
任务2：
解：
（）；
任务3：
解：
，
，，
当时，
，
（人），
故每天安排人生产“旗袍”，人生产“国风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是元．
23．[发现]证明见解析；[探究] ；[拓展] 的长为或．
[发现]证明：延长交于点，如图，
由旋转知，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形为正方形 ，
∴，，
∴，
∴ ，
∴；
[探究]解：延长交于点，如图，
由旋转知，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形为矩形 ，
∴，，，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
[拓展]解：当点在边上时，连接，过点作于点，如图，
由旋转知，
∴，
∵四边形为菱形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
点在边上，过点作于点，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由上，
∴，
∴为中点，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
综上，的长为或．