情境阅读题型解答题典型考点 押题练 2025年小学小升初数学会考复习备考
文档属性
| 名称 | 情境阅读题型解答题典型考点 押题练 2025年小学小升初数学会考复习备考 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 418.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-10 16:26:40 | ||
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文档简介
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情境阅读题型解答题典型考点 押题练
2025年小学小升初会考复习备考
1．认真阅读下面材料，回答问题。
世界因良渚而震惊，震惊于良渚古城遗址的发现。良渚古城遗址的核心是城址，它的面积约8平方千米，由宫殿区（0.39平方千米）、内城（含宫殿区约2.8平方千米）、外城（约3.51平方千米）呈向心式三重布局组成，古河道贯穿其间。古城的外围水利系统分成谷口高坝、平原低坝和山前长堤的11条人工坝体及天然山体、溢洪道，初步估算，整个水利系统形成面积为13平方千米的水库，库容量超过46000000立方米，是中国迄今发现最早的大型水利工程遗址，也是目前已发现的世界上最早的堤坝系统之一。
（1）宫殿区0.39平方千米可以看成把1平方千米平均分成（ ）份，表示这样的（ ）份。
（2）外城3.51平方千米表示（ ）个0.01平方千米。
（3）0.39平方千米＝（ ）公顷 46000000立方米＝（ ）万立方米
（4）一个两位小数精确到十分位后是2.8，这个两位小数最大和最小分别是几？请在下面的数轴上分别用↑标出这两个小数的位置，并写出这两个小数。
（5）将上面材料中横线上的数改写成用“亿”作单位的数是（ ）立方米。（结果保留一位小数）
2．估计这篇报道的字数，用文字、图或算式来说明估计的过程与方法，并写出估计结果。
春节被赋予的独特意义又多了一层
春节，这张在全球早已家喻户晓的中国文化名片，本周又添了一个新“头衔”，随着中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”12月4日通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国已有44个项目列入联合国“非遗”名录、名册，总数居世界第一。春节申遗成功，不仅是世界拥抱中华文明的又一重要里程碑，也为不同文明间的交流互鉴提供了一个新起点。
春节登上“非遗”名录，可以用“实至名归”来形容，春节是一整套中国民俗文化的集合体，不仅带着满满的国粹范儿，也寄托着中华民族独特的精神情感密码。无论是“爆竹声中一岁除”，还是“总把新桃换旧符”，都充满了辞旧迎新的仪式感。春节对于中国社会、对于全世界非遗保护事业的重要意义之一就在于，它是一个传统文化与社会发展相辅相成的很好案例。正如这次申遗文本中所强调的，“‘过年’为中国人提供了一种认同感和延续性”。围绕着春节，在过去几十年从农业中国向工业中国转变的过程中，中国出现了人类历史上最大规模的周期性迁徙。春节所代表的传统文化，成为中国式现代化的一种内在动力和具体形式。（摘自《环球时报》）
3．某音乐厅的舞台在中间，听众的座位分六个区域排列。如图所示，从里向外分别是第一排到第六排。每个区域的第一排均有10个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位。
（1）这间音乐厅的第3排每边有多少个座位？
（2）学校合唱团买下了六个区域第4排的所有座位票，合唱团买了几张票？
4．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日。清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交。清明节源自早期人类的祖先信仰，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节。清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日。扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗在中国自古传承，至今不辍。涧小三（8）班的40名同学在清明节举行植树活动，3小时植树240棵，照这样计算，30名同学植480棵树，需要多少小时？
5．阅读材料，解答问题。
2023年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为32微克/立方米，二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、26微克/立方米和61微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数为271天，重污染天数为8天。
2024年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为30.5微克/立方米，连续4年稳定达标；二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、24微克/立方米和54微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数比上一年增加19天，重污染天数比上一年减少6天。这是有监测记录以来，优良天数最多的一年。
经过多年的努力，北京市大气污染治理成效显著，空气中主要污染物浓度呈现长期整体下降趋势，“北京蓝”逐步成为常态。
①请把统计图补充完整。
②2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的多少倍？（结果保留两位小数）
③2014~2024年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？
④根据阅读材料，请你提出一个数学问题。
6．阅读故事。
高斯是一位伟大的数学家，有“数学王子的美誉”。
小时候，有一次老师让全班同学求算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100的结果。同学们开始认真地计算起来，只有高斯没有动笔，他思考了一会儿后写出了答案：5050，你知道高斯是怎么计算的吗？
高斯告诉大家，他先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。
计算推导
（1）观察规律，算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多（ ），相邻两数的差都（ ）。高斯求和公式就是为这类题目打造的专用工具。
（2）结合图形推导：将1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，看作由若干个小圆堆成如图①的三角形图案，最上面一层有一个圆，以下每层均比上一层多一个圆，一共有100层。再将图①倒置后与原图拼成图②的形状。
计算出小圆的个数是1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050（个）。
得出结论
（1）一组自然数相加，若相邻两数的差都（ ），则和＝（首数＋尾数）×总个数÷2。
（2）高斯的做法利用的运算律是（ ）。
结论应用：计算1＋3＋5＋…＋95＋97＋99。
7．（如下图）某商家推出一款足球纪念品，并给足球纪念品设计了圆柱形的包装盒，用绸带捆扎进行装饰。
（1）这个包装盒的表面积是多少？
（2）如果绸带打结处正好是底面圆心，打结用去的绸带长30厘米。捆扎这个包装盒至少要用绸带多少厘米？
（3）阅读下面的文本，计算这个足球纪念品的体积？
古希腊著名的数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的。
8．变化与不变。
大千世界，到处都在发生着或明显或隐藏的运动与变化。迅速的变化令人目眩神迷，缓慢的变化使人不知不觉。但是，在变化的过程中，常常有相对不变的东西。
数学家的眼光，常常盯住变化中不变的东西。正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，帮助我们认识变化过程的本质，帮助我们解决各种问题。
我们知道，哥哥长1岁，弟弟也长1岁。两人的年龄都变了，但年龄的差没有变。解有关年龄问题的时候，抓住两个人的年龄差不变这一点，往往可以使问题迎刃而解。
想要求下面图形的周长，最简单的方法就是将线段平移（图），平移后形状变了、面积变大了，但图形的周长没变，抓住这一点，问题就解决了。
“变中有不变”的思想在数学学习中随处可见。请你举一个本学期运用“变中有不变”思想解决问题的例子，并具体说明什么变了、什么没变。
9．数学阅读。
古代有一位公主叫狄多，她的王国发生叛乱后，就逃到了非洲。一天，她向当地的酋长雅布乞求一些土地，雅布酋长不想多给土地，就给了狄多一张犍牛皮，让公主用这张键牛皮圈土地，圈多少就给多少。聪明的公主用这张键牛皮圈得了很多土地，在这片土地上建立了拜萨（意为牛皮）城。
(1)用这张牛皮去覆盖土地，那太少了。把牛皮变成尽可能长，才可以圈出更多的土地。如果你是狄多公主，你准备圈（ ）形状的土地。
A．正方形 B．长方形 C．圆
(2)如果狄多公主得到的那张键牛皮能变成30000米长的牛皮条，可以圈得多少公项土地？（如果你圈的土地是圆形，取值为）
10．阅读材料。
阿基米德是古希腊伟大的数学家、力学家，他曾说：“给我一个支点，我能撬动地球。”传说，古希腊一位国王让金匠给他制作了一顶纯金王冠。国王怀疑王冠中掺了白银，于是让阿基米德检验一下。阿基米德想了很长时间，也没找到答案。有一天洗澡时，他注意到他的身体在装满水的浴缸里沉下去的时候，有一部分水从浴缸边溢了出来，他突然受到启发，冲进王宫对王说：“我找到方法了！”
阿基米德找到了什么方法？他是怎样试验的？
小辉读了阿基米德的故事后，也想尝试检验奶奶的金手镯是否是纯金的。他查阅资料了解到，黄金饰品按纯度有如下分类：24K、22K、18K、14K、12K、10K等。K指黄金的纯度，即用24份等重的金属熔炼在一起，纯金所占的份数。比如，24K黄金就是24份等重的黄金熔炼在一起；22K黄金就是22份等重的黄金和2份其他金属熔炼在一起……依次类推。请填写下表。（除不尽的，百分号前面保留保留一位小数）
黄金纯度分类 24K金 18K金 14K金 12K金
黄金质量占黄金饰品总质量的百分比
奶奶的金手镯是22K金，质量有72克重，请计算金手镯中含有的黄金质量。
参考答案
1．（1）100；39；
（2）351；
（3）39；4600；
（4）2.84；2.75；在数轴上标数见详解；
（5）0.5；
【分析】（1）0.39是两位小数，写成分数是，是平均分成100份表示这样的39份，据此解答即可；
（2）3.51的计数单位是0.01，去掉3.51即可得到3.51里有几个0.01；
（3）根据1平方千米＝100公顷，把0.39平方千米画成公顷为单位即可；
将整万的数改写成用“万”作单位的数，只要省略万位后面的0，并加一个“万”即可；
（4）一个两位小数精确到十分位后是2.8，可以从四舍中找到最大的，从五入中找到最小的；据此解答。
（5）改写成用亿作单位的数，就是在亿位的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上亿字；保留一位小数是采用四舍五入的方法，找到小数点后的第二位，看第二位上的数大于等于5向前一位进1，小于5直接舍去。
【详解】（1）求0.39平方千米对应的份数：0.39是两位小数，两位小数表示百分之几，所以0.39平方千米可以看成把1平方千米平均分成100份，0.39里面有39个0.01，就表示这样的39份。
（2）外城3.51平方千米表示351个0.01平方千米。
（3）0.39平方千米＝39公顷 46000000立方米＝4600万立方米
（4）确定两位小数的最大和最小值并标注：一个两位小数精确到十分位后是2.8，根据“四舍五入”法，如果是“四舍”得到的2.8，那么这个两位小数的个位和十分位是2.8，百分位最大是4，所以这个两位小数最大是2.84；如果是“五入”得到的2.8，那么这个两位小数的个位是2，十分位原来是7，百分位最小是5，所以这个两位小数最小是2.75。在直线上找到对应的位置标注，如答案图所示。
（5）46000000＝0.46 亿≈0.5亿
即材料中横线上的数改写成用“亿”作单位的数是0.5立方米。。
2．480个
【分析】根据题意，先数出一共有多少行，再估算每行有多少字，最后相乘即可。一共有8行，每行大约有60个字，即8×60。
【详解】8×60＝480（个）
答：这篇报道大概有480个字。
3．（1）14个
（2）96张
【分析】（1）根据题意，第一排均有10个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位，用10＋2即可求出第二排有多少个座位，用第二排座位的个数再加2即可求出第3排每边有多少个座位。
（2）根据题意，买下了六个区域第4排的所有座位票，先用第三排座位的个数加2求出第四排有多少个座位，再乘6即可求出合唱团买了几张票。
【详解】（1）10＋2＋2＝14（个）
答：这间音乐厅的第3排每边有14个座位。
（2）14＋2＝16（个）
16×6＝96（张）
答：合唱团买了96张票。
4．8小时
【分析】40名同学每小时植树数量为：240 ÷ 3 ＝ 80（棵），每人每小时植树数量为：80 ÷ 40 ＝ 2（棵）；每个同学每小时可以植树2棵。计算30名同学每小时的植树数量：30 × 2 ＝ 60 （棵），计算种植480棵所需的时间：时间 ＝ 总植树量 ÷ 每小时植树量 ＝ 480÷ 60 ＝ 8（小时）。
【详解】240÷3÷40
＝80÷40
＝2（棵）
480÷（30×2）
＝480÷60
＝8（小时）
答：需要8小时。
5．①见详解
②1.13倍
③见详解
④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一）10天
【分析】①用271＋19，求出优良的天数，将“优良”天数的折线补到290处，即可完成统计图。
②用2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度÷2024年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度，即可解答。
③观察统计图，说出2014~2024年北京市空气优良天数的变化，以及重污染天数的变化。（说法合理即可）
④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？用2022年空气质量优良天数－2020年空气质量优良天数，即可解答（答案不唯一）。
【详解】①271＋19＝290（天）
如图：
②61÷54≈1.13
答：2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的1.13倍。
③根据统计图可知，2014～2024年，北京市空气优良天数整体呈“逐渐增多”的趋势（从172天增加到290天），中间略有小幅波动；
而重污染天数整体呈“逐渐减少”的趋势（从47天下降到2天），同样有少量上下起伏。
④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一）
286－276＝10（天）
答：北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了10天。
6．
（1）1；相等
（1）相等
（2）加法交换律和加法结合律
2500
【分析】计算推导：（1）在算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100中，我们通过依次比较相邻两个数的差值来确定规律。用后一个数减去前一个数，如2－1＝1 ，3－2＝1 ，以此类推，可以发现从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多1 ，所以相邻两数的差都相等，差值为1 。
得出结论：（1）通过前面对于1＋2＋3＋…＋98＋99＋100这种有规律的自然数相加算式的分析，我们发现其求和方法是（首数＋尾数）×总个数÷2 。这里的规律就是相邻两数的差都相等时，都可以使用这个求和公式。
（2）在高斯的做法里，把1和100组合、2和99组合等。首先，将2和99等数的位置进行交换，这符合加法交换律a＋b＝b＋a ；然后把交换后的数两两结合起来先进行计算，像（1＋100） 、（2＋99）等，这符合加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 。所以利用的运算律是加法交换律和加法结合律 。
结论应用：对于1＋3＋5＋…＋95＋97＋99，这是一个首项为1 ，末项为99 ，相邻两数差值为2的数列。根据前面得出的结论，当相邻两数差相等时，和＝（首数＋尾数）×总个数÷2 。这里首数是1 ，尾数是99 ，总个数是50 ，据此代入公式计算。
【详解】计算推导
（1）观察规律，算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多1，相邻两数的差都相等。
得出结论
（1）一组自然数相加，若相邻两数的差都相等，则和＝（首数＋尾数）×总个数÷2。
（2）高斯的做法利用的运算律是加法交换律和加法结合律。
1＋3＋5＋…＋95＋97＋99
＝（1＋99）×50÷2
＝100×50÷2
＝5000÷2
＝2500
7．（1）471平方厘米；
（2）110厘米；
（3）立方厘米
【分析】从图中可知，球的直径是（20－10）厘米，圆柱的底面直径和高等于球的直径。
（1）把足球纪念品放入一个圆柱形的包装盒，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求出包装盒的表面积。
（2）从图中可知，捆扎这个包装盒用绸带的长度＝4条圆柱的底面直径＋4条圆柱的高＋打结用的长度，代入数据计算求解。
（3）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出圆柱形容器的容积；根据圆柱容球定理可知，此时球的体积正好是圆柱体积的，把圆柱的容积看作单位“1”，单位“1”已知，用圆柱的容积乘，求出这个足球纪念品的体积。
【详解】球的直径、圆柱的底面直径、圆柱的高：20－10＝10（厘米）
（1）3.14×10×10＋3.14×（10÷2）2×2
＝3.14×10×10＋3.14×52×2
＝3.14×10×10＋3.14×25×2
＝314＋157
＝471（平方厘米）
答：这个包装盒的表面积是471平方厘米。
（2）10×4＋10×4＋30
＝40＋40＋30
＝110（厘米）
答：捆扎这个包装盒至少要用绸带110厘米。
（3）3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
785×＝（立方厘米）
答：计算这个足球纪念品的体积是立方厘米。
8．见详解
【分析】本学期学习的比的基本性质，运用了“变中有不变”思想，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，进行说明即可。
【详解】将比的前后项看成份数，根据比的基本性质，2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9，份数变多了，2＋3＝5、6＋9＝15，总份数由原来的5份变成15份，比值没有变，2∶3＝2÷3＝，还是。
9．(1)C
(2)7500公顷
【分析】（1）周长相等的正方形、长方形、以及圆，圆的面积是最大的。
（2）那张键牛皮能变成30000米长的牛皮条，也就是这个圆的周长是30000米，根据圆的周长＝得出圆的半径，再根据圆的面积＝代入数据得出面积。注意最后需要换算单位，1公顷＝10000平方米，再根据低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率，得出圈得土地的公顷数。
【详解】（1）周长相等的图形中，圆的面积最大。则如果我是狄多公主，我准备圈圆形状的土地。
故答案为：C
（2）30000÷3÷2
＝10000÷2
＝5000（米）
3×50002
＝3×25000000
＝75000000（平方米）
75000000平方米＝7500公顷
答：可以圈得7500公项土地。
10．方法见详解；100%；75%；58.3%；50%；66克
【分析】根据故事，阿基米德在洗澡时，看到身体在装满水的浴缸里沉下去的时候，有一部分水从浴缸中溢出，想到通过排水法测量王冠的体积，与纯金的体积比较，从而判断是否掺了其他金属。
已知24K黄金就是24份等重的黄金熔炼在一起；22K黄金就是22份等重的黄金和2份其他金属熔炼在一起……，那么用等重的黄金份数除以24，即可求出黄金质量占黄金饰品总质量的百分比，据此填表。
已知奶奶的金手镯是22K金，质量有72克重，22K的意思是黄金占22份，其它金属占2份，一共是24份；用奶奶金手镯的总质量除以总份数，求出一份数，再用一份数乘黄金占的份数，即是金手镯中含有的黄金质量。
【详解】阿基米德的方法：通过排水法，比较王冠与同质量的纯金排开水的体积，若王冠掺假，其体积会大于同质量的纯金，导致排开水的体积更多，从而发现异常。
24÷24×100%
＝1×100%
＝100%
18÷24×100%
＝0.75×100%
＝75%
14÷24×100%
≈0.583×100%
＝58.3%
12÷24×100%
＝0.50%
＝50%
如下表：
黄金纯度分类 24K金 18K金 14K金 12K金
黄金质量占黄金饰品总质量的百分比 100% 75% 58.3% 50%
72÷24×22
＝3×22
＝66（克）
答：金手镯中含有的黄金质量是66克。
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情境阅读题型解答题典型考点 押题练
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1．认真阅读下面材料，回答问题。
世界因良渚而震惊，震惊于良渚古城遗址的发现。良渚古城遗址的核心是城址，它的面积约8平方千米，由宫殿区（0.39平方千米）、内城（含宫殿区约2.8平方千米）、外城（约3.51平方千米）呈向心式三重布局组成，古河道贯穿其间。古城的外围水利系统分成谷口高坝、平原低坝和山前长堤的11条人工坝体及天然山体、溢洪道，初步估算，整个水利系统形成面积为13平方千米的水库，库容量超过46000000立方米，是中国迄今发现最早的大型水利工程遗址，也是目前已发现的世界上最早的堤坝系统之一。
（1）宫殿区0.39平方千米可以看成把1平方千米平均分成（ ）份，表示这样的（ ）份。
（2）外城3.51平方千米表示（ ）个0.01平方千米。
（3）0.39平方千米＝（ ）公顷 46000000立方米＝（ ）万立方米
（4）一个两位小数精确到十分位后是2.8，这个两位小数最大和最小分别是几？请在下面的数轴上分别用↑标出这两个小数的位置，并写出这两个小数。
（5）将上面材料中横线上的数改写成用“亿”作单位的数是（ ）立方米。（结果保留一位小数）
2．估计这篇报道的字数，用文字、图或算式来说明估计的过程与方法，并写出估计结果。
春节被赋予的独特意义又多了一层
春节，这张在全球早已家喻户晓的中国文化名片，本周又添了一个新“头衔”，随着中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”12月4日通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国已有44个项目列入联合国“非遗”名录、名册，总数居世界第一。春节申遗成功，不仅是世界拥抱中华文明的又一重要里程碑，也为不同文明间的交流互鉴提供了一个新起点。
春节登上“非遗”名录，可以用“实至名归”来形容，春节是一整套中国民俗文化的集合体，不仅带着满满的国粹范儿，也寄托着中华民族独特的精神情感密码。无论是“爆竹声中一岁除”，还是“总把新桃换旧符”，都充满了辞旧迎新的仪式感。春节对于中国社会、对于全世界非遗保护事业的重要意义之一就在于，它是一个传统文化与社会发展相辅相成的很好案例。正如这次申遗文本中所强调的，“‘过年’为中国人提供了一种认同感和延续性”。围绕着春节，在过去几十年从农业中国向工业中国转变的过程中，中国出现了人类历史上最大规模的周期性迁徙。春节所代表的传统文化，成为中国式现代化的一种内在动力和具体形式。（摘自《环球时报》）
3．某音乐厅的舞台在中间，听众的座位分六个区域排列。如图所示，从里向外分别是第一排到第六排。每个区域的第一排均有10个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位。
（1）这间音乐厅的第3排每边有多少个座位？
（2）学校合唱团买下了六个区域第4排的所有座位票，合唱团买了几张票？
4．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日。清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交。清明节源自早期人类的祖先信仰，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节。清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日。扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗在中国自古传承，至今不辍。涧小三（8）班的40名同学在清明节举行植树活动，3小时植树240棵，照这样计算，30名同学植480棵树，需要多少小时？
5．阅读材料，解答问题。
2023年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为32微克/立方米，二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、26微克/立方米和61微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数为271天，重污染天数为8天。
2024年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为30.5微克/立方米，连续4年稳定达标；二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、24微克/立方米和54微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数比上一年增加19天，重污染天数比上一年减少6天。这是有监测记录以来，优良天数最多的一年。
经过多年的努力，北京市大气污染治理成效显著，空气中主要污染物浓度呈现长期整体下降趋势，“北京蓝”逐步成为常态。
①请把统计图补充完整。
②2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的多少倍？（结果保留两位小数）
③2014~2024年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？
④根据阅读材料，请你提出一个数学问题。
6．阅读故事。
高斯是一位伟大的数学家，有“数学王子的美誉”。
小时候，有一次老师让全班同学求算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100的结果。同学们开始认真地计算起来，只有高斯没有动笔，他思考了一会儿后写出了答案：5050，你知道高斯是怎么计算的吗？
高斯告诉大家，他先算1＋100＝101，2＋99＝101…这样一共有50个101，因此结果是5050。
计算推导
（1）观察规律，算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多（ ），相邻两数的差都（ ）。高斯求和公式就是为这类题目打造的专用工具。
（2）结合图形推导：将1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，看作由若干个小圆堆成如图①的三角形图案，最上面一层有一个圆，以下每层均比上一层多一个圆，一共有100层。再将图①倒置后与原图拼成图②的形状。
计算出小圆的个数是1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050（个）。
得出结论
（1）一组自然数相加，若相邻两数的差都（ ），则和＝（首数＋尾数）×总个数÷2。
（2）高斯的做法利用的运算律是（ ）。
结论应用：计算1＋3＋5＋…＋95＋97＋99。
7．（如下图）某商家推出一款足球纪念品，并给足球纪念品设计了圆柱形的包装盒，用绸带捆扎进行装饰。
（1）这个包装盒的表面积是多少？
（2）如果绸带打结处正好是底面圆心，打结用去的绸带长30厘米。捆扎这个包装盒至少要用绸带多少厘米？
（3）阅读下面的文本，计算这个足球纪念品的体积？
古希腊著名的数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的。
8．变化与不变。
大千世界，到处都在发生着或明显或隐藏的运动与变化。迅速的变化令人目眩神迷，缓慢的变化使人不知不觉。但是，在变化的过程中，常常有相对不变的东西。
数学家的眼光，常常盯住变化中不变的东西。正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，帮助我们认识变化过程的本质，帮助我们解决各种问题。
我们知道，哥哥长1岁，弟弟也长1岁。两人的年龄都变了，但年龄的差没有变。解有关年龄问题的时候，抓住两个人的年龄差不变这一点，往往可以使问题迎刃而解。
想要求下面图形的周长，最简单的方法就是将线段平移（图），平移后形状变了、面积变大了，但图形的周长没变，抓住这一点，问题就解决了。
“变中有不变”的思想在数学学习中随处可见。请你举一个本学期运用“变中有不变”思想解决问题的例子，并具体说明什么变了、什么没变。
9．数学阅读。
古代有一位公主叫狄多，她的王国发生叛乱后，就逃到了非洲。一天，她向当地的酋长雅布乞求一些土地，雅布酋长不想多给土地，就给了狄多一张犍牛皮，让公主用这张键牛皮圈土地，圈多少就给多少。聪明的公主用这张键牛皮圈得了很多土地，在这片土地上建立了拜萨（意为牛皮）城。
(1)用这张牛皮去覆盖土地，那太少了。把牛皮变成尽可能长，才可以圈出更多的土地。如果你是狄多公主，你准备圈（ ）形状的土地。
A．正方形 B．长方形 C．圆
(2)如果狄多公主得到的那张键牛皮能变成30000米长的牛皮条，可以圈得多少公项土地？（如果你圈的土地是圆形，取值为）
10．阅读材料。
阿基米德是古希腊伟大的数学家、力学家，他曾说：“给我一个支点，我能撬动地球。”传说，古希腊一位国王让金匠给他制作了一顶纯金王冠。国王怀疑王冠中掺了白银，于是让阿基米德检验一下。阿基米德想了很长时间，也没找到答案。有一天洗澡时，他注意到他的身体在装满水的浴缸里沉下去的时候，有一部分水从浴缸边溢了出来，他突然受到启发，冲进王宫对王说：“我找到方法了！”
阿基米德找到了什么方法？他是怎样试验的？
小辉读了阿基米德的故事后，也想尝试检验奶奶的金手镯是否是纯金的。他查阅资料了解到，黄金饰品按纯度有如下分类：24K、22K、18K、14K、12K、10K等。K指黄金的纯度，即用24份等重的金属熔炼在一起，纯金所占的份数。比如，24K黄金就是24份等重的黄金熔炼在一起；22K黄金就是22份等重的黄金和2份其他金属熔炼在一起……依次类推。请填写下表。（除不尽的，百分号前面保留保留一位小数）
黄金纯度分类 24K金 18K金 14K金 12K金
黄金质量占黄金饰品总质量的百分比
奶奶的金手镯是22K金，质量有72克重，请计算金手镯中含有的黄金质量。
参考答案
1．（1）100；39；
（2）351；
（3）39；4600；
（4）2.84；2.75；在数轴上标数见详解；
（5）0.5；
【分析】（1）0.39是两位小数，写成分数是，是平均分成100份表示这样的39份，据此解答即可；
（2）3.51的计数单位是0.01，去掉3.51即可得到3.51里有几个0.01；
（3）根据1平方千米＝100公顷，把0.39平方千米画成公顷为单位即可；
将整万的数改写成用“万”作单位的数，只要省略万位后面的0，并加一个“万”即可；
（4）一个两位小数精确到十分位后是2.8，可以从四舍中找到最大的，从五入中找到最小的；据此解答。
（5）改写成用亿作单位的数，就是在亿位的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上亿字；保留一位小数是采用四舍五入的方法，找到小数点后的第二位，看第二位上的数大于等于5向前一位进1，小于5直接舍去。
【详解】（1）求0.39平方千米对应的份数：0.39是两位小数，两位小数表示百分之几，所以0.39平方千米可以看成把1平方千米平均分成100份，0.39里面有39个0.01，就表示这样的39份。
（2）外城3.51平方千米表示351个0.01平方千米。
（3）0.39平方千米＝39公顷 46000000立方米＝4600万立方米
（4）确定两位小数的最大和最小值并标注：一个两位小数精确到十分位后是2.8，根据“四舍五入”法，如果是“四舍”得到的2.8，那么这个两位小数的个位和十分位是2.8，百分位最大是4，所以这个两位小数最大是2.84；如果是“五入”得到的2.8，那么这个两位小数的个位是2，十分位原来是7，百分位最小是5，所以这个两位小数最小是2.75。在直线上找到对应的位置标注，如答案图所示。
（5）46000000＝0.46 亿≈0.5亿
即材料中横线上的数改写成用“亿”作单位的数是0.5立方米。。
2．480个
【分析】根据题意，先数出一共有多少行，再估算每行有多少字，最后相乘即可。一共有8行，每行大约有60个字，即8×60。
【详解】8×60＝480（个）
答：这篇报道大概有480个字。
3．（1）14个
（2）96张
【分析】（1）根据题意，第一排均有10个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位，用10＋2即可求出第二排有多少个座位，用第二排座位的个数再加2即可求出第3排每边有多少个座位。
（2）根据题意，买下了六个区域第4排的所有座位票，先用第三排座位的个数加2求出第四排有多少个座位，再乘6即可求出合唱团买了几张票。
【详解】（1）10＋2＋2＝14（个）
答：这间音乐厅的第3排每边有14个座位。
（2）14＋2＝16（个）
16×6＝96（张）
答：合唱团买了96张票。
4．8小时
【分析】40名同学每小时植树数量为：240 ÷ 3 ＝ 80（棵），每人每小时植树数量为：80 ÷ 40 ＝ 2（棵）；每个同学每小时可以植树2棵。计算30名同学每小时的植树数量：30 × 2 ＝ 60 （棵），计算种植480棵所需的时间：时间 ＝ 总植树量 ÷ 每小时植树量 ＝ 480÷ 60 ＝ 8（小时）。
【详解】240÷3÷40
＝80÷40
＝2（棵）
480÷（30×2）
＝480÷60
＝8（小时）
答：需要8小时。
5．①见详解
②1.13倍
③见详解
④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一）10天
【分析】①用271＋19，求出优良的天数，将“优良”天数的折线补到290处，即可完成统计图。
②用2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度÷2024年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度，即可解答。
③观察统计图，说出2014~2024年北京市空气优良天数的变化，以及重污染天数的变化。（说法合理即可）
④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？用2022年空气质量优良天数－2020年空气质量优良天数，即可解答（答案不唯一）。
【详解】①271＋19＝290（天）
如图：
②61÷54≈1.13
答：2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的1.13倍。
③根据统计图可知，2014～2024年，北京市空气优良天数整体呈“逐渐增多”的趋势（从172天增加到290天），中间略有小幅波动；
而重污染天数整体呈“逐渐减少”的趋势（从47天下降到2天），同样有少量上下起伏。
④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一）
286－276＝10（天）
答：北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了10天。
6．
（1）1；相等
（1）相等
（2）加法交换律和加法结合律
2500
【分析】计算推导：（1）在算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100中，我们通过依次比较相邻两个数的差值来确定规律。用后一个数减去前一个数，如2－1＝1 ，3－2＝1 ，以此类推，可以发现从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多1 ，所以相邻两数的差都相等，差值为1 。
得出结论：（1）通过前面对于1＋2＋3＋…＋98＋99＋100这种有规律的自然数相加算式的分析，我们发现其求和方法是（首数＋尾数）×总个数÷2 。这里的规律就是相邻两数的差都相等时，都可以使用这个求和公式。
（2）在高斯的做法里，把1和100组合、2和99组合等。首先，将2和99等数的位置进行交换，这符合加法交换律a＋b＝b＋a ；然后把交换后的数两两结合起来先进行计算，像（1＋100） 、（2＋99）等，这符合加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 。所以利用的运算律是加法交换律和加法结合律 。
结论应用：对于1＋3＋5＋…＋95＋97＋99，这是一个首项为1 ，末项为99 ，相邻两数差值为2的数列。根据前面得出的结论，当相邻两数差相等时，和＝（首数＋尾数）×总个数÷2 。这里首数是1 ，尾数是99 ，总个数是50 ，据此代入公式计算。
【详解】计算推导
（1）观察规律，算式1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，从第1个数开始，之后每个数都比前一个数多1，相邻两数的差都相等。
得出结论
（1）一组自然数相加，若相邻两数的差都相等，则和＝（首数＋尾数）×总个数÷2。
（2）高斯的做法利用的运算律是加法交换律和加法结合律。
1＋3＋5＋…＋95＋97＋99
＝（1＋99）×50÷2
＝100×50÷2
＝5000÷2
＝2500
7．（1）471平方厘米；
（2）110厘米；
（3）立方厘米
【分析】从图中可知，球的直径是（20－10）厘米，圆柱的底面直径和高等于球的直径。
（1）把足球纪念品放入一个圆柱形的包装盒，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求出包装盒的表面积。
（2）从图中可知，捆扎这个包装盒用绸带的长度＝4条圆柱的底面直径＋4条圆柱的高＋打结用的长度，代入数据计算求解。
（3）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出圆柱形容器的容积；根据圆柱容球定理可知，此时球的体积正好是圆柱体积的，把圆柱的容积看作单位“1”，单位“1”已知，用圆柱的容积乘，求出这个足球纪念品的体积。
【详解】球的直径、圆柱的底面直径、圆柱的高：20－10＝10（厘米）
（1）3.14×10×10＋3.14×（10÷2）2×2
＝3.14×10×10＋3.14×52×2
＝3.14×10×10＋3.14×25×2
＝314＋157
＝471（平方厘米）
答：这个包装盒的表面积是471平方厘米。
（2）10×4＋10×4＋30
＝40＋40＋30
＝110（厘米）
答：捆扎这个包装盒至少要用绸带110厘米。
（3）3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
785×＝（立方厘米）
答：计算这个足球纪念品的体积是立方厘米。
8．见详解
【分析】本学期学习的比的基本性质，运用了“变中有不变”思想，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，进行说明即可。
【详解】将比的前后项看成份数，根据比的基本性质，2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9，份数变多了，2＋3＝5、6＋9＝15，总份数由原来的5份变成15份，比值没有变，2∶3＝2÷3＝，还是。
9．(1)C
(2)7500公顷
【分析】（1）周长相等的正方形、长方形、以及圆，圆的面积是最大的。
（2）那张键牛皮能变成30000米长的牛皮条，也就是这个圆的周长是30000米，根据圆的周长＝得出圆的半径，再根据圆的面积＝代入数据得出面积。注意最后需要换算单位，1公顷＝10000平方米，再根据低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率，得出圈得土地的公顷数。
【详解】（1）周长相等的图形中，圆的面积最大。则如果我是狄多公主，我准备圈圆形状的土地。
故答案为：C
（2）30000÷3÷2
＝10000÷2
＝5000（米）
3×50002
＝3×25000000
＝75000000（平方米）
75000000平方米＝7500公顷
答：可以圈得7500公项土地。
10．方法见详解；100%；75%；58.3%；50%；66克
【分析】根据故事，阿基米德在洗澡时，看到身体在装满水的浴缸里沉下去的时候，有一部分水从浴缸中溢出，想到通过排水法测量王冠的体积，与纯金的体积比较，从而判断是否掺了其他金属。
已知24K黄金就是24份等重的黄金熔炼在一起；22K黄金就是22份等重的黄金和2份其他金属熔炼在一起……，那么用等重的黄金份数除以24，即可求出黄金质量占黄金饰品总质量的百分比，据此填表。
已知奶奶的金手镯是22K金，质量有72克重，22K的意思是黄金占22份，其它金属占2份，一共是24份；用奶奶金手镯的总质量除以总份数，求出一份数，再用一份数乘黄金占的份数，即是金手镯中含有的黄金质量。
【详解】阿基米德的方法：通过排水法，比较王冠与同质量的纯金排开水的体积，若王冠掺假，其体积会大于同质量的纯金，导致排开水的体积更多，从而发现异常。
24÷24×100%
＝1×100%
＝100%
18÷24×100%
＝0.75×100%
＝75%
14÷24×100%
≈0.583×100%
＝58.3%
12÷24×100%
＝0.50%
＝50%
如下表：
黄金纯度分类 24K金 18K金 14K金 12K金
黄金质量占黄金饰品总质量的百分比 100% 75% 58.3% 50%
72÷24×22
＝3×22
＝66（克）
答：金手镯中含有的黄金质量是66克。
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