二次函数综合--面积问题典型考点 押题练 2025年中考数学三轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数综合--面积问题典型考点 押题练
2025年中考数学三轮复习备考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．点是直线上方的抛物线上的动点．
(1)若时，点正好位于抛物线顶点，求的长．
(2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）；
(3)若的面积的最大值为，求的值；
2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标．
(2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为．
(1)求线段的长；
(2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积；
(3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值．
4．已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点．
(1)若点C的坐标为．
①求二次函数的表达式；
②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：．
(2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值．
5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点Q是直线上一动点，直线交抛物线于点D，若求点D的横坐标；
(3)如图（2），将抛物线沿x轴对称得到抛物线．不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的负半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标．
6．已知一次函数与二次函数（是常数）相交于两点，点是轴上的点，点是轴上的点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为．
(1)求该二次函数解析式及顶点的坐标；
(2)若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求的取值范围；
(3)点是直线上的点，且轴，把点往右平移两个单位，再往下平移个单位得到点．是否存在不与点重合的点，使得？若存在，请求出面积相等时的值；若不存在，请说明理由．
7．二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点．
(1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________；
(2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合），
①二次函数的对称轴为___________（用表示）；
②求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值．
8．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点．
(1)若，，且．
①求抛物线的解析式；
②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标；
(2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值．
9．如图，对称轴为的抛物线经过，，与轴正半轴交于．
(1)求抛物线的解析式．
(2)是否为轴上方抛物线上使以为底边的三角形面积最大的点？请说明理由．
(3)在对称轴上求出点，使线段绕点旋转后，点的对应点恰在抛物线上．
10．如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．
11．已知抛物线，与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C 点，A点坐标
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上一点，连接并延长交y轴于点H，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，交于F，过C作x轴平行线交于点G，点Q是第二象限抛物线一点，连接交于点K，延长交x轴于点N，交延长线于点R，连接交于点M，若，求R点坐标．
12．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
参考答案
1．(1)；
(2)；
(3)．
（1）解：过点作轴于，如图，
当时，，解得，，
，，
对称轴为直线，
，
，
，
当时，，即顶点坐标为，
当时，，即，
∵时，点正好位于抛物线顶点，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）知，，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
（3）解：过点作轴交于点，如图，
设，则，
，
的面积的面积的面积，
的面积，
当时，的面积有最大值为，
，
解得．
2．(1)，
(2)存在，或或或
（1）解：由题意，得解得
∴该抛物线的表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）存在．
设所在直线的表达式为，
将点，代入，得
解得
∴所在直线的表达式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即或．
解，得，；
解，得，，
∴点的坐标为或或或．
3．(1)
(2)，
(3)
（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1，
令，则，则，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
；
（2）解：作轴交于，如图所示：
设，
直线的解析式为，
，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时；
（3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示：
由（2）知点，，
，
，
，此时的值最小，
，
，
的最小值为．
4．(1)①；②见解析
(2)或
（1）解：①把代入解析式，
得，
解得，
故抛物线的解析式为；
②解：抛物线的解析式为，
当时，，
故点的坐标为．
当时，，
解得，
∵点A在点B左侧，
∴，，
设直线的解析式为．
将点和点代入，得
解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点．
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
（2）解：由，
∴抛物线顶点为，
∴，
当时，，
∴，
∴，
又∵，，
∴ ，
∵，
∴，
解得：，
∴，
则，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，
解得：或，
当时，，
解得：（舍去）或，
当时，，
解得：（舍去）或，
综上所述，m的值为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，三角形面积的计算，四边形面积的计算，分割思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键．
5．(1)
(2)或或
(3)定点坐标为，证明见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何综合，熟练利用分类讨论思想解题，耐心计算是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据可得，点的坐标为，表示出点的坐标，代入直线的解析式即可解答，即可解答；
（3）设，，根据题意求得直线的解析式，再利用题中所给条件求得，即可解答．
【详解】（1）解：根据可得抛物线的对称轴为轴，
，
，，
把代入抛物线可得，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式可得
，
解得，
所以直线的解析式为，
根据可得，设点的坐标为，
当三点中，点在线段上时，如图，过点作垂线段分别交轴于点，
，
，
，
设点，则，，
得，，
把代入直线，
得，
解得，；
当三点中，点在线段上时，如图，过点作垂线段分别交轴于点，
同理可得，
，
设点，则，，
得，，
把代入直线，
，
解得，，
由于，不符合前提条件，故舍去，
；
综上所述，点D的横坐标为或或；
（3）解：将抛物线沿x轴对称得到抛物线，
则抛物线的解析式为，
设，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
联立方程，
直线和抛物线有且只有一个公共点N，
，
可得，
所以直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
所以直线的解析式为，
所以直线经过定点．
6．(1)二次函数解析式为；顶点C的坐标为
(2)的取值范围是或；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的综合运用、待定系数法求函数解析式，解题的关键是由点在直线上，找出的坐标；将抛物线解析式变为顶点式，找出顶点的坐标．
（1）根据直线求出A、B两点坐标，代入，求出函数解析式，配方后可得顶点的坐标；
（2）分、和三种情况结合图象的最高点和最低点讨论得解即可；
（3）如图，假设存在不与点C重合的点，使得，求出，，然后分当时，当时，当时，当时，分别列方程求出的值并检验即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点，
∴对于，当时，；当时，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，基点坐标为，如图，
根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为，
设，
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）或；
当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是,
∴，满足条件；
当时，点是最高点，是最低点，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）；
综上，的取值范围是或；
（3）解：设，
∵点是直线上的点，且轴，
∴，
∴，，
如图，过作交延长线于点，过作于点，连接，
由平移得，，，，，，
∴，，，
∴，
当时，
∴
，
∵，
∴，
∴（舍去），（舍去）；
当时，
∴
，
∵，
∴，
∴（舍去），（舍去）；
当时，
∴
，
∵，
∴，
∴（舍去），（舍去），
当时，
∴
，
∵，
∴，
∴，（舍去），
综上可知：时．
7．(1)，，，
(2)①直线；②且．
(3)
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、坐标点的计算以及四边形面积最值问题，解题关键是熟练运用二次函数的性质，结合已知条件建立方程或函数表达式来求解相关量．
（1）令，得出，，从而得到A，两点的坐标，令求得的坐标，将化为顶点式，得．
（2）①根据题意可得二次函数对称轴为，得出点坐标．
②根据点落在线段上且不与、重合点位置确定m初步范围，然后根据、位置排除特殊值；
（3）根据求值及解析式，并表示、坐标并求的解析式，然后当通过配方得时，取最大值，根据四边形面积计算方法得出四边形面积，即可得出点坐标．
【详解】（1）解：∵拋物线的解析式为．
令，
∴C点坐标为，
令，解得，．
点坐标为，点坐标为．
由题意可知，，
点坐标为．
故答案为：，，，．
（2）①点坐标为，
∴二次函数的图象的对称轴为直线，
②∵对称轴为，点坐标为．
∴点坐标为．
点在上，且不与点，重合，
．
．
，都在二次函数的图象上，
．
综上所述，且．
（3）解：当时，如图，，
，
解得，
∴此时的解析式为：，
设点坐标为，点Q坐标为，
当时，．
当时，有最大值3，此时四边形的面积为．
8．(1)①；②点的坐标为
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键．
（1）①利用待定系数法求解即可；②求出点，，．可得方程．解得，（舍）．即可得到答案；
（2）在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．得到．则，，．设抛物线解析式为，把代入，解得．
【详解】（1）解：①，
点的坐标为，抛物线解析式为．
，
．
．
抛物线与轴相交于点，
，解得．
抛物线解析式为．
②抛物线与轴相交于点，
当时，．
点的坐标为．
如图，过点作，与相交于点．
，
．．．
．
点为的中点．设直线的解析式为，
，解得．
直线的解析式为．
点的横坐标为，轴与抛物线相交于点，
点，，．可得方程．
解得，（舍）．
点的坐标为．
（2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．
，．
点，点，点，
，，．
在中，，
．
，
．
又，
．
，．．
是等边三角形．
．
．
当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．．
在中，．
，解得．
，，．
设抛物线解析式为，
把代入，解得．
的值为．
9．(1)
(2)是，理由见解析
(3)点的坐标为，，，
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点，再求出直线为，设与平行，与抛物线只有一个公共点的直线l为，求出直线l的解析式为，根据此直线经过点，即可得出答案；
（3）分三种情况：①利用对称和斜中线构图；②利用互余和全等构图；③利用一线三等角构图；分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：由对称轴可设抛物线为．则：
，
解得，
抛物线的解析式为．
即．
（2）解：B是使以为底边的三角形面积最大的点；
由，得，
或．
，
设直线为，
则，
解得，，
直线为，
设与平行，与抛物线只有一个公共点的直线l为，
由，
得，
由，
解得，
直线l的解析式为，经过点．
是使以为底边的三角形面积最大的点．
（3）解：①利用对称和斜边上的中线构图．
如图1，当时，，．
此时符合；
显然，符合．
②利用互余和全等构图．
如图2，当时，
，，，
设，则，
，
，
代入解析式，得，
整理，得．
解得或，
；
③利用一线三等角构图．
如图2，当时，
，，，
设，则，
，
代入解析式，得，
整理，得，
解得或，
；
综上，点的坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
10．(1)
(2)S取得最大值为6，此时
(3)点Q纵坐标n的取值范围为：或
【分析】（1）先求解，，可得，，再利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）先求解直线的解析式为，设，则，而，可得，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）求解抛物线对称轴为直线，设Q点坐标为，①如图2：当为直角时，设交x轴于点H，②如图3：当为直角时，③当为直角时，再分别求解三种情况下的的坐标，进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，，
∵a、b分别是一元二次方程的两个根，且，
∴，，
∴，，
依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1：设直线的解析式为，
把、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则
∵，则，
∴，
∴当时，S取得最大值为6，此时；
（3）解：由可得其对称轴为直线，
设Q点坐标为，
①如图2：当为直角时，设交x轴于点H，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴可设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
②如图3：当为直角时，
过点Q作直线轴交y轴于点N，过点A作直线轴交于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
③当为直角时，
此时：，
∴可设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
综上所述，以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，点Q纵坐标n的取值范围为：或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出得到；过点P作轴于Q，由题意得，，则，，证明，得到，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）过点G作轴于T，求出，，；证明，得到，再由，得到，解直角三角形得到，则，；可得直线解析式为，即可求出；设直线交y轴于L，可求出，同理可得直线解析式为；根据，得到点M为的中点，则点M的纵坐标为，求出，得到点K的坐标为，同理可得直线解析式为，据此联立直线和直线解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：把代入到中得：，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴；
如图所示，过点P作轴于Q，
∵点P是第一象限抛物线上一点，点P的横坐标为t，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点G作轴于T，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∵轴，轴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，设直线交y轴于L，
∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为；
∵，
∴点M为的中点，
∵轴，点K在上，
∴点K的纵坐标为3，
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点K的横坐标为，
∴点K的坐标为，
同理可得直线解析式为，
联立，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明求出，解（3）的关键在于构造相似三角形进而求出．
12．(1)
(2)存在，
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：，
，
代入，得：
，
解得：；
∴此函数的解析式为；
（2）解：存在．的面积最大为，
如图1，过点作轴于点，交于点，
设的解析式为，将代入，得：，
∴直线解析式为，
设点的坐标为，
则点的坐标为，
，
∴，
∴当时，此时，的面积最大为；
（3）如图2，抛物线对称轴为，
①以为边，则，且．
设，则，
，解得，
当时，；当时，；
故或；
②以为对角线，则与互相平分，
设
的中点
．
把代入，得．
，
综上所述，或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)