模拟冲刺试题 2025年中考数学复习备考

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模拟冲刺试题
2025年中考数学复习备考
一、单选题
1．将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ）
A． B．1 C． D．3
2．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象向左平移1个单位长度后，所得新一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的面积为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．9
4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当，，在同一条直线上时，（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
7．如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．2
10．如图，在正方形中，连接，点在上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．若，点是的中点，则的长度为（ ）
A．8 B．10 C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝ ．
13．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ．
14．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．

15．若关于的分式方程有增根，则实数的值是 ．
16．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
17．如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则 ．
三、解答题
18．（1）计算：
（2）化简：
19．某商家为了推广产品，决定在甲、乙两个直播间中选取一个开展直播带货，数据分析平台提供了某一星期内甲、乙两个直播间的日带货量和日观看人数的数据：
甲、乙两个直播间日观看人数统计表
星期 人数（万人） 直播间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
甲 455
乙
该商家市场营销部对所给数据作了如下处理：
名称 数据 直播间 直播间日观看人数（万人） 直播间日带货量（件）
平均数 众数 平均数 方差
甲 97
乙 97
根据以上信息，回答以下问题：
(1)上表中________；___________（填“<”“>”或“=”）．
(2)假如你是该商家市场营销部经理，你会选择哪个直播间？请说明理由．
20．如图，，且．
(1)请用直尺和圆规作出的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)连接，若，求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状．
22．九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长为米，已知，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯的高度．
23．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据．
时间 5 10 15 20 25 …
水量 17 32 47 a 77 …
(1)探究：根据上表中的数据，请判断和 （，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值；
(2)应用：
①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？
②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
(3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
25．如图（1），菱形中，，点E为对角线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上．
【猜想证明】
（1）问：与有怎样的数量关系？请结合图（1）加以证明．
【探索发现】
（2）当时，如图（2），延长交的延长线于点G，求证：．
【拓展延伸】
（3）当时，如图（3），延长到点P，使得，连接，若，直接写出的周长最小时线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A C A B B A C
1．B
【分析】本题主要考查了数轴．结合数轴的特点，运用数轴的平移变化规律即可计算求解．
【详解】解：将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度，
即．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
利用平移的规律得到新一次函数的解析式，进一步求得A、B两点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：一次函数的图象向左平移1个单位长度后，得到一次函数，
令则，解得，
令，则，
∴，
∴的面积为：，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④．
【详解】①由图象可知：，
，故①正确；
②当时，，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故②正确；
③当时，y的值最大，此时，，
而当时，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④当时，，对称轴为直线
∴当时，，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先求解，结合将绕点A顺时针旋转得到的位置，可得，进一步即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，在同一条直线上时，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴旋转角，即，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
连接，可得，根据题意得，在中，通过即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
为的直径，
，
在中，．
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解．
【详解】解：由题意得：
一次性摸出两个球的可能性有：（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）共3种可能，其中摸到两个球的颜色相同的只有1种可能，所以其概率为；
故选B．
9．A
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，如图，连接，取的中点，连接，勾股定理求出的长，证明得到斜边上的中线得到，根据，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接．
∵正方形，边长为2，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为．
故选：A．
10．C
【分析】过点E作于点Q，作于点H，证明四边形是正方形，再证明，，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：过点E作于点Q，作于点H，
∵正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，对等角相等，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
12．5
【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可
【详解】解：由题意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键
13．6
【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6.
14．15
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：15．
15．1
【分析】先将分式方程化为整式方程，可得m=-2x+5，再由分式方程有增根，可得x=2，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘以x-2，
可得m=x-1-3（x-2），
解得m=-2x+5，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，解得x=2，
∴m=-2×2+5
∴m=1．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握当分式方程的最简公分母等于0时，产生增根是解题的关键．
16．
【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图
是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．
17．12
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及相关面积的计算，得到是解题的关键；
如图，作轴于点E，轴于点D，根据反比例函数系数k的几何意义可得，然后根据面积间的关系可得，再代入数据构建方程求解即可.
【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点D，
则（），
∵，的纵坐标分别是3和6，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：；
故答案为：12.
18．（1）；（2）
【分析】本题主要考查实数与整式的混合运算，二次根式乘法运算，解题的关键是熟练掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则．
（1）根据负整数指数幂、绝对值性质及二次根式的乘法逐一计算可得；
（2）根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
19．(1)，
(2)甲直播间，理由见解析
【分析】本题考查求众数，方差的意义，根据众数和方差作决策．
（1）根据众数的定义，即可求出m，根据方程越小越稳定，即可判断和的大小；
（2）结合两个直播间日观看人数和日带货量的数据，进行分析即可．
【详解】（1）解：由甲、乙两个直播间日观看人数统计表可知，乙直播间周一和周四观看人数为万人，
∴，
由甲、乙两个直播间日带货量折线统计图可知，甲直播间直播间日带货量波动更小，更稳定，
∴，
故答案为：，；
（2）解：我会选择甲直播间，
理由：两个直播间日观看人数平均数相同，甲的众数大于乙的众数；两个直播间直播间日带货量平均数相同，甲的方差小于乙的方差，则甲直播间日带货量更加稳定．
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了作三角形外接圆、勾股定理、圆周角定理等知识，添加辅助线是关键．
（1）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可；
（2）过点C作于点E，如解图所示，则为等腰直角三角形．求出，，即可得到答案．
【详解】（1）解：如解图所示，即为所求．(作法不唯一)
（2）∵，
∴
∴为的直径．
∵，
∴点B也在上，
又∵，
∴，
∴
过点C作于点E，如解图所示，则为等腰直角三角形．
∴
又∵，
∴
∴．
21．(1)
(2)点F在反比例函数的图象上，四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义，即可求解；
（2）先证明，得到，设，则，由对称的性质得到，即可判断点F在反比例函数的图象上；在中，根据点为的中点，得到，由对称的性质，即可得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，
，
，
比例函数图象在第二、四象限，
，即，
反比例函数的表达式为：；
（2）解：，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
点F是点E关于直线的对称点，
，
将代入，得，左边等于右边，
点F在反比例函数的图象上，
在中，
，
点为的中点，
，
点F是点E关于直线的对称点，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，对称的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，证明三角形相似是解题的关键．
22．路灯的高度为3米．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明，求得，再利用解直角三角形列方程，即可解答，证明是解题的关键．
【详解】解：由题意，可知，
，
．
，
，即．
设，则，
在中，，
，
．
，
即，解得．
（米），即路灯的高度为3米．
23．(1)
(2)①的量筒没有装满；②81天
【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据表格中的数据特点分析即可；
（2）把代入求出y的值，与比较即可；
②求出30天的漏水量，进而可判断可供一位成年人饮用天数．
【详解】（1）∵，
∴表中的数据不符合．
观察表格， 可发现时间t每增加5分钟， 水量y增加15mL， 故可得 能正确反映水量y与时间t的函数关系．
把和代入得，
解得 ，
∴水量y与时间t的函数关系．
把代入得
（2）①把代入得
∵
∴的量筒没有装满
②∵由函数解析式可知每分钟的滴水量为，
∴30天滴水量， (天)
答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一位成年人饮用81天．
24．(1)
(2)面积的最大值为
(3)的取值范围为或
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）求出直线与抛物线的交点的坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，由此用含的式子表示的面积，结合二次函数的最值计算方法即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：当时；当时；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴，
∵抛物线与轴交于点和，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，直线的解析式为：，
联立方程组，
解得或，
∴，，
过点作轴的平行线交于点，交轴于点，
设点坐标为，
∴点，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值．
∴面积的最大值为；
（3）解：令，则，
∴点坐标为，
令，则，
解得，
∴点坐标为，
若抛物线与线段有公共点，
当时，如图所示，
则，
解得；
当时，如图所示：
则，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与一次函数图象的综合，二次函数的最值问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
25．（1），见解析；（2）见解析；（3）的周长最小时线段的长为12
【分析】（1）连接，证明，得到，，旋转，得到，等边对等角，等量代换得到，8字形得到，平行线的性质，得到，等量代换得到即可；
（2）易得四边形是正方形，连接，易得，等边对等角，等角的余角相等，推出，进而得到，作交于点H，得到，，即可得证；
（3） 在上截取，连接，证明，得到当的周长最小时，的周长最小，根据的周长为，得到当点N，E，C共线时，的周长最小，证明，得到，过点A作于点Q，利用三角函数求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：（1）．
证明：如图（1），连接，设交于点M．
四边形为菱形，
，，．
又，
，
，．
∵旋转，
，
，
，
．
又，
，
，
，
．
（2）证明：四边形是菱形，由（1）可知：，
四边形是正方形，
，．
如图（2），连接，同法（1）可得：，
．
又，，
，
．
作交于点H，则，，，
∵，
，
∵，，，
∴，
．
（3）如图（4），在上截取，连接．
，
，
．
又，
，
当的周长最小时，的周长也最小．
同（1）可知：，
的周长为，
当点N，E，C共线时，的周长最小，如图（5）．
，
，
，
．
过点A作于点Q，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形和特殊图形，是解题的关键．
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