期末综合试题 2024-2025学年下期初中数学人教版八年级下册

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期末综合试题 2024-2025学年下期
初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．7，24，25 D．，，
3．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为S，将从扭动到，则四边形面积为（ ）
A．S B． C． D．
4．使二次根式有意义的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
6．某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元 5 10 20 50 100
人数 4 16 15 9 6
则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ）
A．10，20.6 B．20，16 C．10，30.6 D．20，10
7．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣5，0） C．（1，0） D．（0，﹣1）
8．如图，函数()和()的图象相交于点A，则不等式＞的解集为（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
9．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
10．如图，菱形对角线交于点O，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B．设运动时间是x秒，的长度是y米，右图反映了y随x变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ）

A．点H与点N、点Q的纵坐标相同 B．的最小值为米
C． D．的周长是16米
二、填空题
11．将直线向上平移4个单位长度后得到的直线与y轴的交点坐标为 ．
12．开封市近年来积极推行足球进校园活动，旨在提升学生们的体育运动技能，促进青少年的健康成长．下表展示了三位选手10次成绩的平均数和方差，现在需要从中挑选一名选手加入市队集训，选拔标准是成绩优秀且状态稳定，请问应该选择 同学．
甲同学 乙同学 丙同学
平均分 97 95 97
方差
13．一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里．
14．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的横坐标为 ．
15．正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(-1,5),则k=
16．如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示．
(1)当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式．
(2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米．
19．“防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出： ， ．
(2)若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人
20．在四边形中，，点为的中点，，下面是两位同学的对话．请你选择一位同学的说法，并进行证明．
21．如图所示，直线与直线相交于点C，并且与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；
(2)求的面积．
22．如图所示，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，且，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长．
(1)试判定的形状，并说明理由；
(2)求船体移动距离的长度．
23．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
(1)求证：；
(2)E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
24．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
25．在正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作（点在直线的下方），且，连接．
(1)【动手操作】
在图①中画出线段，；与的数量关系是：______；
(2)【问题解决】
利用（1）题画出的图形，在图②中试说明，，三点在一条直线上；
(3)【问题探究】
取的中点，连接，利用图③试求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C D A A B B
1．B
【详解】试题分析：判断一个二次根式是最简二次根式的条件是：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.据此判断，A项中被开方数4，可以写成22，能被开方，不是最简二次根式，B项中的被开方数5，符合条件，所以是最简二次根式，C项中的被开方数是分数，不符合条件，D项中的根式作分母，不符合条件，故选B.
考点：最简二次根式的定义.
2．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：一个三角形中，若较短两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．依次检验各个选项当中较短的两条线段的平方和是否等于最长的线段的平方．若相等，则此三条线段能组成直角三角形，若不相等，则此三条线段不能组成直角三角形．
【详解】解：A．，
∴4，5，6不能组成直角三角形，故不符合题意；
B．，
∴5，12，15不能组成直角三角形，故不符合题意；
C．，
∴7，24，25能组成直角三角形，故符合题意；
D．，
∴，，不能组成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
作，交于点，如图所示，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件，即可解答．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故选D．
5．C
【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、平行四边形性质等知识，由题意，根据三角形的中位线定理可得，再由平行四边形的性质可得答案，熟记三角形中位线判定与性质、平行四边形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在中，是边的中点，是对角线的中点，则是的中位线，
，解得，
在中，，
故选：C．
6．D
【分析】此题考查了中位数与众数，解题时注意：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可．
【详解】解：共有50名学生的捐款，
中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为20，20，,
中位数是；
金额10元出现的次数最多，
众数为10，
故选：D．
7．A
【分析】根据OA=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，从而求出OP的长即可．
【详解】解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=，
∴AP=AB=5，
∴OP=1，
∴P（-1，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AP是解题的关键．
8．A
【详解】解：由图象可以看出当 时，的图象在 图象的上方，
所以 的解集为.
故选：A.
9．B
【分析】首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°．
∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，∴∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=60°．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．B
【分析】题目主要考查函数图象及菱形的性质，根据题意，结合函数图象得出运动路线为是解题关键．
根据题意得出，结合图形确定运动路线为，得出点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置，然后利用菱形的性质及勾股定理依次判断即可．
【详解】解：根据题意，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，
∴，
根据图象得最低点P对应点O位置，运动路线为，
∴点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置，
∴点H与点N、点Q的纵坐标相同，正确，A选项不符合题意；
∵，
∴，
∴的最小值为3米，B选项错误，符合题意；
根据图象得运动时间一共是9秒，总路程为9a，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，
解得：（负值舍去），正确，C选项不符合题意；
∴，
的周长为：米，正确，D选项不符合题意；
故选：B．
11．
【分析】此题主要考查了一次函数平移变换．利用一次函数平移规律，上加下减进而得出答案．
【详解】解：将直线向上平移4个单位，则平移后直线解析式为：，
令，则．
故答案为：．
12．丙
【分析】本题主要考查了用平均数和方差作决策，根据题意要选择平均数大且方差小的同学，据此求解即可．
【详解】解：由表格可知，甲、丙同学的平均数最高，丙同学方差最小，即丙同学成绩优秀且状态稳定，即应该选择丙同学，
故答案为：丙．
13．
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的关键．
如图，为9点时两艘小船的距离，由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，为9点时两艘小船的距离，
由题意知，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
14．1348
【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：
由图可知：每翻转次，图形向右平移，
，
点向右平移即到点，
的坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．
15．-5.
【分析】把点A坐标代入解析式，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点(-1，5)，
∴5=-k，
解得k=-5，
故答案为-5．
【点睛】本题考查了待定系数法，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
16．/厘米
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形的三边关系，勾股定理，连接，交于点，连接，由正方形的性质可得关于对称，得到，进而得到，即得点和点重合时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴关于对称，
∴，
∴，
即点和点重合时，最小，最小值等于的长，
∵正方形的边长为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答．
（2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解
18．(1)
(2)30立方米
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）令，代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
∵直线过点，，
∴
解得
∴．
（2）∵，
∴当时，，解得．
答：这个月用水量为30立方米．
19．(1)，
(2)人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；
（2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500即可作出估计．
【详解】（1）解：∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴，
∵八年级A等级人数最多，
∴，
故答案为：9，10；
（2）解：（人），
答:该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有600人．
20．见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质．选择小星的说法：连接，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；选择小红的说法：根据判定即可得到结论．
【详解】证明：选择小红的说法，证明如下：
，，
四边形是平行四边形；
选择小星的说法，证明如下：
连接，
点E为的中点，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
21．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
(2)2
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）把分别代入两个函数解析式即可求出点A，B的坐标，再联立函数解析式得到点C的坐标；
（2）求出的长度，利用面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）解：由，
当时，，
∴点A的坐标为．
由，
当时，，
∴点B的坐标为．
由
得
∴点C的坐标为．
（2）由点A，B的坐标知，
∴．
22．(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）直接利用勾股定理得出的长，进而得出的形状；
（2）利用勾股定理得出的长，进而得出的长．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由题意可得，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
故船体移动距离的长度为．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明；
（2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形．
本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．
E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
24．(1)甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元
(2)最低费用为11000元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
对于，设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
对于，设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为元，
答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，
购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴且，，
解得，
根据题意得，
，
随a的增大而减小，∴时，w最小值为（元），
答：最低费用为11000元．
25．(1)见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意补全图形，结合正方形的性质可得，进而可得结论；
（2）如图，连接，先证明，可得，可知，进而可证明结论；
（3）连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可知，再证，得，取的中点，连接，则，，再证是等腰直角三角形，即，设，则，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，在正方形中，，
∵，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图②，连接．
∵四边形是正方形，
∴，，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，三点在一条直线上；
（3）连接，，
在和中
∵P是斜边的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴
取的中点，连接，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
设，则，，
∴．
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