广东省深圳市深汕合作区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·深圳模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳模拟）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
3．（2025·深圳模拟）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·深圳模拟）如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳模拟）孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳模拟）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2025·深圳模拟）因式分解：＝ ．
10．（2025·深圳模拟）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为 ．
11．（2025·深圳模拟）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
12．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则 ．
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，，，，，则 ．
14．（2025·深圳模拟）计算：．
15．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·深圳模拟）某学校为了了解学生在课堂中的专注度，在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我的课堂时间管理”问卷调查，设计的问题：你在课堂中的专注度时间为多少？答案选项为：．，．，．，．，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查总人数为______人；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）请估计该校1600名学生中课堂专注度在20分钟及以上的人数为______人；
（4）为了提高该校学生在课堂中的专注度时间，假如你是该校学生，请给出一条合理化建议．
17．（2025·深圳模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．
（1）求每套型号的“文房四宝”的标价．
（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？
18．（2025·深圳模拟）如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接．
（1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．
19．（2025·深圳模拟）太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
20．（2025·深圳模拟）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求．
（2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求．
（3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法，可得数据384000用科学记数法表示为：．
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，准确确定a和n的值，据此即可作答．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，计算正确，符合题意；
B．，计算错误，不符合题意；
C．，计算错误，不符合题意；
D．，计算错误，不符合题意．
故选A．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、单项式除法、同底数乘法法则逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 设绳子长x尺，木长y尺，
由题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据题意直接列出方程组即可。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【分析】根据作图可得，结合角平分线性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形中，，垂足为，
∴，，
∴，，
∵点在线段上，过点作，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（不合题意舍弃）．
故选：D．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得、，过点作，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，再根据边之间的关系可得，，再根据三角形面积化简即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有 8 种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有 3 种结果，所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
【分析】
位似三角形一定是相似三角形，且位似比等于相似比，又相似三角形的周长比等于相似比即可．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
连接，交于点，过点作轴，
根据对称可得，
∴，，
∴，
∵，则，
解得：，
∵，则，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正切定义可得OB，再根据勾股定理可得AB，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，再根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，即，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，则，，根据正弦定义可得CH，再根据勾股定理可得AH，根据边之间的关系可得BH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BG，DG，再根据边之间的关系可得AG，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】 根据零指数幂，二次根式性质，负整数指数幂，三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
16．【答案】（1）50
（2）解：由（1）可知本次调查总人数为50人，
所以本次调查选择选项的人数为（人），
故补充条形统计图如下图所示：
（3）1024
（4）解：按时作息，保证休息时间．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意可知，本次调查选择选项的人数为19人，所占百分比为，
所以本次调查总人数为（人），
故答案为：50．
（3）解：（人）
故答案为：1024．
【分析】（1）用选项的人数除以选项所占的百分比即可得到调查的学生的总数；
（2）根据（1）中所求总人数，先求出选项的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用全校总人数乘以、选项所占的百分数即可求解；
（4）可从多方面作答，例如保证充足的睡眠等，答案不唯一，合理即可．
（1）解：根据题意可知，本次调查选择选项的人数为19人，所占百分比为，
所以本次调查总人数为（人），
故答案为：50．
（2）解：由（1）可知本次调查总人数为50人，
所以本次调查选择选项的人数为（人），
故补充条形统计图如下图所示：
（3）解：（人）
故答案为：1024．
（4）解：按时作息，保证休息时间．（答案不唯一，合理即可）
17．【答案】（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校至少买了y套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
18．【答案】（1）①②，③
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得BD，再根据，结合三角形及扇形面积即可求出答案.
（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）由图可得，设抛物线的表达式的表达式为，再根据待定系数法将点A坐标点代入表达式即可求出答案.
（3）过点作轴交于点，根据题意可得点为焦点，坐标为，根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，分情况讨论：当点在轴右边时，设，将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案；当点在轴左边时，点的横坐标为，即，即可求出答案.
（4）根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，即，再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
20．【答案】解：（1）由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得，
；
（3）如图，当点在线段上，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段延长线上，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由翻折可得，根据矩形性质可得，再根据正弦定义可得DC，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据正弦定义设，根据勾股定理可得EC，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上，过点作交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得FM，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当点在线段延长线上，过点作交的延长线于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市深汕合作区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·深圳模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025·深圳模拟）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
3．（2025·深圳模拟）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法，可得数据384000用科学记数法表示为：．
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，准确确定a和n的值，据此即可作答．
4．（2025·深圳模拟）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，计算正确，符合题意；
B．，计算错误，不符合题意；
C．，计算错误，不符合题意；
D．，计算错误，不符合题意．
故选A．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、单项式除法、同底数乘法法则逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·深圳模拟）如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．（2025·深圳模拟）孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 设绳子长x尺，木长y尺，
由题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据题意直接列出方程组即可。
7．（2025·深圳模拟）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【分析】根据作图可得，结合角平分线性质即可求出答案.
8．（2025·深圳模拟）如图，菱形中，，垂足为，点在线段上，过点作，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形中，，垂足为，
∴，，
∴，，
∵点在线段上，过点作，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（不合题意舍弃）．
故选：D．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得、，过点作，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，再根据边之间的关系可得，，再根据三角形面积化简即可求出答案.
9．（2025·深圳模拟）因式分解：＝ ．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．（2025·深圳模拟）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有 8 种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有 3 种结果，所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·深圳模拟）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
【分析】
位似三角形一定是相似三角形，且位似比等于相似比，又相似三角形的周长比等于相似比即可．
12．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
连接，交于点，过点作轴，
根据对称可得，
∴，，
∴，
∵，则，
解得：，
∵，则，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正切定义可得OB，再根据勾股定理可得AB，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，再根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，即，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，则，，根据正弦定义可得CH，再根据勾股定理可得AH，根据边之间的关系可得BH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BG，DG，再根据边之间的关系可得AG，再根据勾股定理即可求出答案.
14．（2025·深圳模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】 根据零指数幂，二次根式性质，负整数指数幂，三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
16．（2025·深圳模拟）某学校为了了解学生在课堂中的专注度，在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我的课堂时间管理”问卷调查，设计的问题：你在课堂中的专注度时间为多少？答案选项为：．，．，．，．，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查总人数为______人；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）请估计该校1600名学生中课堂专注度在20分钟及以上的人数为______人；
（4）为了提高该校学生在课堂中的专注度时间，假如你是该校学生，请给出一条合理化建议．
【答案】（1）50
（2）解：由（1）可知本次调查总人数为50人，
所以本次调查选择选项的人数为（人），
故补充条形统计图如下图所示：
（3）1024
（4）解：按时作息，保证休息时间．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意可知，本次调查选择选项的人数为19人，所占百分比为，
所以本次调查总人数为（人），
故答案为：50．
（3）解：（人）
故答案为：1024．
【分析】（1）用选项的人数除以选项所占的百分比即可得到调查的学生的总数；
（2）根据（1）中所求总人数，先求出选项的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用全校总人数乘以、选项所占的百分数即可求解；
（4）可从多方面作答，例如保证充足的睡眠等，答案不唯一，合理即可．
（1）解：根据题意可知，本次调查选择选项的人数为19人，所占百分比为，
所以本次调查总人数为（人），
故答案为：50．
（2）解：由（1）可知本次调查总人数为50人，
所以本次调查选择选项的人数为（人），
故补充条形统计图如下图所示：
（3）解：（人）
故答案为：1024．
（4）解：按时作息，保证休息时间．（答案不唯一，合理即可）
17．（2025·深圳模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．
（1）求每套型号的“文房四宝”的标价．
（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？
【答案】（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校至少买了y套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
18．（2025·深圳模拟）如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接．
（1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①②，③
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得BD，再根据，结合三角形及扇形面积即可求出答案.
（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
19．（2025·深圳模拟）太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）由图可得，设抛物线的表达式的表达式为，再根据待定系数法将点A坐标点代入表达式即可求出答案.
（3）过点作轴交于点，根据题意可得点为焦点，坐标为，根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，分情况讨论：当点在轴右边时，设，将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案；当点在轴左边时，点的横坐标为，即，即可求出答案.
（4）根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，即，再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
20．（2025·深圳模拟）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求．
（2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求．
（3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求．
【答案】解：（1）由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得，
；
（3）如图，当点在线段上，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段延长线上，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由翻折可得，根据矩形性质可得，再根据正弦定义可得DC，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据正弦定义设，根据勾股定理可得EC，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上，过点作交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得FM，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当点在线段延长线上，过点作交的延长线于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
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