广东省深圳市坪山区部分学校2024-2025学年九年级中考适应性考试数学 试卷
1．（2025·坪山模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·坪山模拟）在中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C． D．-3
3．（2025·坪山模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·坪山模拟）全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·坪山模拟）如图，，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·坪山模拟）下列选项的尺规作图，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·坪山模拟）某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是天，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·坪山模拟）位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔位于坡度的斜坡上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了达到地面处，此时测得电视塔顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知、、、在同一平面内，则该塔的高度为（ ），（结果保留整数，参考数据；，）
A．24 B．31 C．60 D．136
9．（2025·坪山模拟）一元二次方程的一个解为，则 ．
10．（2025·坪山模拟）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为 ．
11．（2025·坪山模拟）如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
12．（2025·坪山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数的图象上．若，，则 ．
13．（2025·坪山模拟）如图，已知矩形中，，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，过点B作交于点G，试求的长度 ．
14．（2025·坪山模拟）计算：．
15．（2025·坪山模拟）先化简，再求值.，其中x＝2．
16．（2025·坪山模拟）在学校组织的跳绳比赛中，每班参加的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分，现将801班和802班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次比赛中，801班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 ．
（2）将下列表格补充完整．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分）
801班 8.76 9
802班 8.76 10
（3）根据信息分析，你认为两个班哪个班成绩好一些，请说明理由．
17．（2025·坪山模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），
x（元kg）
y（kg）
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？
18．（2025·坪山模拟）如图，在中，点，分别为，的中点，连接，作与相切于点，在边上取一点，使，连接．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当，时，求的半径．
19．（2025·坪山模拟）问题初探
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，的取值范围为___________；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成的形式，确定抛物线对称轴为直线，通过和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了的取值范围；请你很据上述两名同学的分析写出的取值范围是___________；
类比分析
（2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决何题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答；已知二次函数当时，求的最大值．并写出的取值范围；
学以致用
（3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若．求的值．
20．（2025·坪山模拟）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
（3）联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的实数是，
故选：C．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.a2 a3=a5，故该选项计算不符合题意，
B.(a2)3=a6，故该选项计算不符合题意，
C.(a2b)2=a4b2，故该选项计算不符合题意，
D.a3÷a2=a，故该选项计算符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、除法及幂的乘方法则对选项逐一计算即可.
4．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：一共有6种情况发生：
1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》
2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》
3、《射雕英雄传：侠之大者》《：重启未来》
4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》
5、《封神第二部：战火西岐》《：重启未来》
6、《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》
期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是．
故选：D．
【分析】列出所有等可能的结果，根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意；
B、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意；
C、由图可知点在的角平分线上，不能确定，不符合题意；
D、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意；
故选：D．
【分析】根据垂直平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设这项工程的规定时间是x天，
∵甲队单独施工恰好在规定时间内完成，乙队单独施工，完工所需天数是规定天数的倍，
∴甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要天，
∵甲、乙队先合作天，余下的工程由甲队单独需要天完成，
∴，
故选：B．
【分析】设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，利用工作量=工作效率×工作时间即可得出方程．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，设于，
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，（），
∴，
故选：．
【分析】设于，设，则，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得DE，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，，再根据正切定义可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程可得关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点与点重合，
∴，
则，
∵ABCD是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
解方程得，
即 EB的长为．
故答案为：3
【分析】设，根据折叠性质可得，则则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴，作，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
点C在函数的图象上，
，
故答案为：．
【分析】过点C作轴，作，根据正切定义可得BO，再根据勾股定理可得AB，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点R，连接，在上截取，使，连接，如图，
∵，
∴，
∵矩形
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点R是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设，则，，
∴
∴，即．
故答案为：4．
【分析】取中点R，连接，在上截取，使，连接，根据矩形性质可得，，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据边之间的关系可得GD，AG，再根据勾股定理可得GR，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得
，则，设，则，根据勾股定理可得PQ，再代入等式，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：原式=
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
当x＝2时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
16．【答案】（1）20；
（2）9，8；
（3）从众数上看，802班的成绩较好，从中位数上看，801班的成绩较好
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）6+12+4＝20（人），
故答案为：20；
（2）801班的成绩出现次数最多的是9分，因此众数是9，
802班的学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在C等，8分，因此中位数是8，
故答案为：9，8；
【分析】（1）求出801班C等（含C等）的频数之和；
（2）根据中位数、众数的定义计算即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．【答案】（1）；
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和代入得：
解得：，
；
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将和代入关系式即可求出答案.
（2）由题意可得w关于x的二次函数，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，解方程可得或，结合x的取值范围即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和代入得：
解得：，
；
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元．
18．【答案】（1）直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）设的半径为，则
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OE，过点O作于点P，再根据切线性质可得，再根据三角形中位线定理可得，则，再根据矩形判定定理可得四边形ODCE是矩形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设的半径为，则，再根据三角形中位线定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可额AC，则，再根据全等三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1），
解：（2），对称轴是．
①当，即时，
时，有最大值，；3分
②当，即时，
时，有最大值，；4分
③当，即时，
i．，即，
，
当时，有最大值，，
ii．，即，
．
时，有最大值，，
综上，；
（3）对称轴直线是，
①当时，
，
，
解得（舍）；
②当，即时，
，
，
解得（舍）；
③当，即时，
i．，即，
；
；
，
．
解得（舍）．
ii．，即，
；
，
．
解得（舍）．
综上，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
即的取值范围为；
②二次函数的图象为
由图象可知，当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
即的取值范围为；
故答案为：
【分析】（1）①根据二次函数的性质即可求出答案.
②画出图象，结合二次函数性质即可求出答案.
（2）分情况讨论：①，②，即，③当，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，当，即时，当，即时，根据二次函数的性质即可求出答案.
20．【答案】（1） ，
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，则，，，，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据勾股定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（4）点，均在直线上，点在点的左侧，，分情况讨论：①当点在边上时，过点A作于点，过点作于点，根据等边三角形性质可得，，，再根据30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，由①知，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得∽，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
1 / 1广东省深圳市坪山区部分学校2024-2025学年九年级中考适应性考试数学 试卷
1．（2025·坪山模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025·坪山模拟）在中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C． D．-3
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的实数是，
故选：C．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
3．（2025·坪山模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.a2 a3=a5，故该选项计算不符合题意，
B.(a2)3=a6，故该选项计算不符合题意，
C.(a2b)2=a4b2，故该选项计算不符合题意，
D.a3÷a2=a，故该选项计算符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、除法及幂的乘方法则对选项逐一计算即可.
4．（2025·坪山模拟）全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：一共有6种情况发生：
1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》
2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》
3、《射雕英雄传：侠之大者》《：重启未来》
4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》
5、《封神第二部：战火西岐》《：重启未来》
6、《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》
期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是．
故选：D．
【分析】列出所有等可能的结果，根据概率公式即可求出答案.
5．（2025·坪山模拟）如图，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．（2025·坪山模拟）下列选项的尺规作图，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意；
B、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意；
C、由图可知点在的角平分线上，不能确定，不符合题意；
D、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意；
故选：D．
【分析】根据垂直平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·坪山模拟）某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是天，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设这项工程的规定时间是x天，
∵甲队单独施工恰好在规定时间内完成，乙队单独施工，完工所需天数是规定天数的倍，
∴甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要天，
∵甲、乙队先合作天，余下的工程由甲队单独需要天完成，
∴，
故选：B．
【分析】设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，利用工作量=工作效率×工作时间即可得出方程．
8．（2025·坪山模拟）位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔位于坡度的斜坡上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了达到地面处，此时测得电视塔顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知、、、在同一平面内，则该塔的高度为（ ），（结果保留整数，参考数据；，）
A．24 B．31 C．60 D．136
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，设于，
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，（），
∴，
故选：．
【分析】设于，设，则，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得DE，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，，再根据正切定义可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·坪山模拟）一元二次方程的一个解为，则 ．
【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程可得关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
10．（2025·坪山模拟）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点与点重合，
∴，
则，
∵ABCD是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
解方程得，
即 EB的长为．
故答案为：3
【分析】设，根据折叠性质可得，则则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2025·坪山模拟）如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12．（2025·坪山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在函数的图象上．若，，则 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴，作，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
点C在函数的图象上，
，
故答案为：．
【分析】过点C作轴，作，根据正切定义可得BO，再根据勾股定理可得AB，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．（2025·坪山模拟）如图，已知矩形中，，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，过点B作交于点G，试求的长度 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点R，连接，在上截取，使，连接，如图，
∵，
∴，
∵矩形
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点R是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设，则，，
∴
∴，即．
故答案为：4．
【分析】取中点R，连接，在上截取，使，连接，根据矩形性质可得，，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据边之间的关系可得GD，AG，再根据勾股定理可得GR，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得
，则，设，则，根据勾股定理可得PQ，再代入等式，解方程即可求出答案.
14．（2025·坪山模拟）计算：．
【答案】解：原式=
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·坪山模拟）先化简，再求值.，其中x＝2．
【答案】解：原式
当x＝2时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
16．（2025·坪山模拟）在学校组织的跳绳比赛中，每班参加的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分，现将801班和802班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次比赛中，801班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 ．
（2）将下列表格补充完整．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分）
801班 8.76 9
802班 8.76 10
（3）根据信息分析，你认为两个班哪个班成绩好一些，请说明理由．
【答案】（1）20；
（2）9，8；
（3）从众数上看，802班的成绩较好，从中位数上看，801班的成绩较好
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）6+12+4＝20（人），
故答案为：20；
（2）801班的成绩出现次数最多的是9分，因此众数是9，
802班的学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在C等，8分，因此中位数是8，
故答案为：9，8；
【分析】（1）求出801班C等（含C等）的频数之和；
（2）根据中位数、众数的定义计算即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．（2025·坪山模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），
x（元kg）
y（kg）
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？
【答案】（1）；
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和代入得：
解得：，
；
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将和代入关系式即可求出答案.
（2）由题意可得w关于x的二次函数，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，解方程可得或，结合x的取值范围即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和代入得：
解得：，
；
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元．
18．（2025·坪山模拟）如图，在中，点，分别为，的中点，连接，作与相切于点，在边上取一点，使，连接．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当，时，求的半径．
【答案】（1）直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）设的半径为，则
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OE，过点O作于点P，再根据切线性质可得，再根据三角形中位线定理可得，则，再根据矩形判定定理可得四边形ODCE是矩形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设的半径为，则，再根据三角形中位线定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可额AC，则，再根据全等三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2025·坪山模拟）问题初探
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，的取值范围为___________；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成的形式，确定抛物线对称轴为直线，通过和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了的取值范围；请你很据上述两名同学的分析写出的取值范围是___________；
类比分析
（2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决何题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答；已知二次函数当时，求的最大值．并写出的取值范围；
学以致用
（3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若．求的值．
【答案】（1），
解：（2），对称轴是．
①当，即时，
时，有最大值，；3分
②当，即时，
时，有最大值，；4分
③当，即时，
i．，即，
，
当时，有最大值，，
ii．，即，
．
时，有最大值，，
综上，；
（3）对称轴直线是，
①当时，
，
，
解得（舍）；
②当，即时，
，
，
解得（舍）；
③当，即时，
i．，即，
；
；
，
．
解得（舍）．
ii．，即，
；
，
．
解得（舍）．
综上，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
即的取值范围为；
②二次函数的图象为
由图象可知，当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
即的取值范围为；
故答案为：
【分析】（1）①根据二次函数的性质即可求出答案.
②画出图象，结合二次函数性质即可求出答案.
（2）分情况讨论：①，②，即，③当，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，当，即时，当，即时，根据二次函数的性质即可求出答案.
20．（2025·坪山模拟）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
（3）联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
【答案】（1） ，
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，则，，，，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据勾股定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（4）点，均在直线上，点在点的左侧，，分情况讨论：①当点在边上时，过点A作于点，过点作于点，根据等边三角形性质可得，，，再根据30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，由①知，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得∽，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
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