【期末章节复习】一次函数（含答案）-2024-2025学年数学八年级下册人教版

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【期末章节复习】一次函数-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2025 上栗县二模）升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 兴隆县期中）如图，是一次函数y＝kx+b的图象，从图象上可以观察到，方程kx+b＝1的解是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．0
3．（2025春 迁安市期中）琪琪同学家住3楼，每两个楼层之间的台阶数是20阶，台阶的高度为15cm/阶．每次琪琪都要爬楼梯回家，她上升的垂直高度y（cm）与走过的台阶阶数x（阶）之间的关系下列说法不正确的是（　　）
A．常量是3楼、20阶、15cm
B．当琪琪走过10阶台阶时，上升的高度为150cm
C．y（cm）与x（阶）的函数关系式：y＝15x
D．琪琪每次上楼回到家时，走过的台阶数最少为60阶
4．（2025 南阳一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．客人距离厨房门口450cm
B．慧慧比聪聪晚出发15s
C．聪聪的速度为15cm/s
D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm
5．（2025春 泌阳县期中）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则k1与k2的大小关系是（　　）
A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1≥k2
6．（2025 方城县一模）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．关于运动员高强度运动后，下列说法错误的是（　　）
A．运动后20min时，采用慢跑放松与静坐休息体内血乳酸浓度相同
B．运动后120min内，静坐休息可使体内血乳酸浓度一直处于下降状态
C．慢跑30min可基本消除疲劳
D．为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑方式来放松
7．（2025春 修水县期中）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣3，0），B（0，4）两点，则不等式kx+b≥0的解集是（　　）
A．x≥﹣3 B．﹣3＜x＜4 C．x≤﹣3 D．x≥4
8．（2025 辉县市二模）如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x，点P到AB的距离为m，到CD的距离为n，且（当点P与点C重合时，y＝0），点P运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B． C．10 D．6
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 资中县期中）函数中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
10．（2025春 巴彦县月考）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+n﹣2是正比例函数，则m+n的值为 　 　 ．
11．（2025春 衡山县期中）已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（2，﹣3），则二元一次方程组的解是 　 　 ．
12．（2025春 福鼎市期中）已知一次函数y1＝mx+3m﹣1（m≠0），y2＝k（x﹣2）+2（k≠0），若无论x取何值，始终有y2＞y1，则m的取值范围是　 　 ．
13．（2025 永州模拟）已知函数，当﹣3≤x≤3时，y的最大值是　 　 ．
14．（2025春 邯郸期中）如图①，已知动点P在长方形ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接AP，记点P的运动时间为t（秒），△ABP的面积为S．图②是S关于t的函数图象，则线段AB的长为 　 　 ，a的值为 　 　 ．
15．（2025春 龙海区期中）如图，观察两个一次函数图象，当x的取值范围是 　 　 时，y1＜y2．
16．（2025春 陵川县期中）如图，已知函数y＝mx+n和y＝px+q的图象交于点M，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解为　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025春 江夏区校级月考）某市A，B两个蔬菜基地得知黄岗C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，用含x的代数式填空，结果要化简；
C D 总计/t
A
　 　
　 　
200
B x
　 　
300
总计/t 240 260 500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
18．（2025春 阳城县期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，D是直线AB上的一点，DC⊥x轴于点C，且AB＝DB．
（1）求证：△AOB≌△DCB．
（2）求点D的坐标．
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得点P与x，y轴的距离之和为9，且点P在第二象限内，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025春 衡山县期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线C——D——E——F所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段AB所示．
（1）小李到达甲地后，小张再经过 　 　 小时到达乙地，小张骑自行车的速度是 　 　 千米/时．
（2）小张出发几小时与小李相遇？
（3）若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）
20．（2025春 宝山区校级月考）如图，已知点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴负半轴上，且S△ABC＝6，点P为直线BC上一点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若△OBP的面积为5，求点P的坐标．
21．（2025春 宝山区校级月考）如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P．
（1）求直线AQ的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形BPFO是直角梯形，求点F的坐标．
（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．
22．（2025春 巴南区月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，OB＝2OD＝4，直线CD与直线AB交于点E，点E的纵坐标为2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P为直线CD上一点，且在直线AB上方，连接AP，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接PQ、EQ，求的PQ+EQ最小值；
（3）如图3，y轴上是否存在一点N，使∠NAO＝∠BAO，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C A B A A
一．选择题（共8小题）
1．（2025 上栗县二模）升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知，随着时间的增大，上升的国旗离旗杆顶端的距离越来越小，
故只有选项A符合题意．
故选：A．
2．（2025春 兴隆县期中）如图，是一次函数y＝kx+b的图象，从图象上可以观察到，方程kx+b＝1的解是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．0
【解答】解：由图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝1的交点坐标A为（2，1），
则方程kx+b＝1的解为x＝2；
故选：C．
3．（2025春 迁安市期中）琪琪同学家住3楼，每两个楼层之间的台阶数是20阶，台阶的高度为15cm/阶．每次琪琪都要爬楼梯回家，她上升的垂直高度y（cm）与走过的台阶阶数x（阶）之间的关系下列说法不正确的是（　　）
A．常量是3楼、20阶、15cm
B．当琪琪走过10阶台阶时，上升的高度为150cm
C．y（cm）与x（阶）的函数关系式：y＝15x
D．琪琪每次上楼回到家时，走过的台阶数最少为60阶
【解答】解：常量是3楼、20阶、15cm，
∴A正确，不符合题意；
当琪琪走过10阶台阶时，上升的高度为15×10＝150（cm），
∴B正确，不符合题意；
y（cm）与x（阶）的函数关系式为y＝15x，
∴C正确，不符合题意；
琪琪每次上楼回到家时，走过的台阶数最少为20×（3﹣1）＝40（阶），
∴D不正确，符合题意．
故选：D．
4．（2025 南阳一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．客人距离厨房门口450cm
B．慧慧比聪聪晚出发15s
C．聪聪的速度为15cm/s
D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm
【解答】解：A、由图象知，客人距离厨房门口450cm，A选项正确，不符合题意；
B、慧慧比聪聪晚出发15s，B选项正确，不符合题意；
C、慧慧提速前的速度是，则提速后速度为30cm/s，
故提速后慧慧行走所用时间为：，
∴m＝31，
∴聪聪的速度为，C选项不正确，符合题意；
D、由条件可知OD表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，
设OD的解析式为y1＝kx（k≠0），图象经过点（31，310），
∴310＝31k，
解得，k＝10，
∴OD的解析式为y1＝10x，
当0≤x≤15时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当x＝15（s）时，y1＝10×15＝150（cm），
当15＜x≤31时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，
∵当x＝31时，y1＝310（cm），y2＝450（cm），
∴y2﹣y1＝450﹣310＝140（cm）＜150（cm）；
∵，
∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为150cm，
∴D选项正确，不符合题意；
故选：C．
5．（2025春 泌阳县期中）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则k1与k2的大小关系是（　　）
A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1≥k2
【解答】解：如图所示，
在两个图象上分别取横坐标为mm＜0，的两个点A和B，
则A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2．
故选：A．
6．（2025 方城县一模）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．关于运动员高强度运动后，下列说法错误的是（　　）
A．运动后20min时，采用慢跑放松与静坐休息体内血乳酸浓度相同
B．运动后120min内，静坐休息可使体内血乳酸浓度一直处于下降状态
C．慢跑30min可基本消除疲劳
D．为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑方式来放松
【解答】解：A．运动后20min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同，正确，不符合题意；
B．运动后120min内静坐休息，可使体内血乳酸浓度一直处于下降状态，错误，符合题意；
C．慢跑30min，血乳酸浓度在50mg/L可基本消除疲劳，正确，不符合题意；
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确，不符合题意．
故选：B．
7．（2025春 修水县期中）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣3，0），B（0，4）两点，则不等式kx+b≥0的解集是（　　）
A．x≥﹣3 B．﹣3＜x＜4 C．x≤﹣3 D．x≥4
【解答】解：由图象可以看出，不在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值为x≥﹣3，
∴不等式kx+b≥0的解集是x≥﹣3．
故选：A．
8．（2025 辉县市二模）如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x，点P到AB的距离为m，到CD的距离为n，且（当点P与点C重合时，y＝0），点P运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B． C．10 D．6
【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OP，如图，
由题意知，当0≤x≤2时，y的值恒等于1，
∴m＝n．
∴点P的运动路径是△ADC的中位线，且CD＝2×2＝4．
∵当x＝5时，y＝0，
∴OC＝3．
由菱形的性质可得AC＝2OC，BD＝2OD，AC⊥BD，
∴AC＝2OC＝6，
∴OD．
∴BD＝2OD＝2．
∴S菱形ABCDBD AC26＝6，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 资中县期中）函数中，自变量x的取值范围是 　x≠﹣1　 ．
【解答】解：函数中，自变量x的取值范围是x+1≠0，
即x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
10．（2025春 巴彦县月考）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+n﹣2是正比例函数，则m+n的值为 　1　 ．
【解答】解：由题意得：|m|＝1，n﹣2＝0，m﹣1≠0，
解得：m＝±1，n＝2，m≠1，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴m+n＝﹣1+2＝1，
故答案为：1．
11．（2025春 衡山县期中）已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（2，﹣3），则二元一次方程组的解是 　　 ．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（2，﹣3），
∴方程组的解为．
故答案为：．
12．（2025春 福鼎市期中）已知一次函数y1＝mx+3m﹣1（m≠0），y2＝k（x﹣2）+2（k≠0），若无论x取何值，始终有y2＞y1，则m的取值范围是　m且m≠0　 ．
【解答】解：∵无论x取何值，始终有y2＞y1，
∴两条直线平行且y2在y1的上方，
∴，
解得m，
∴m的取值范围是m且m≠0．
13．（2025 永州模拟）已知函数，当﹣3≤x≤3时，y的最大值是　﹣3　 ．
【解答】解：由题意得，k，
∴y随着x的增大而减小，
∵﹣3≤x≤3，
∴当x＝﹣3时，y最大为．
故答案为：﹣3．
14．（2025春 邯郸期中）如图①，已知动点P在长方形ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接AP，记点P的运动时间为t（秒），△ABP的面积为S．图②是S关于t的函数图象，则线段AB的长为 　3　 ，a的值为 　　 ．
【解答】解：根据点（5，a）可以得到BC＝5，S△ABC＝a，
∴，即，
∴，
当P在CD上时，S不变，
∴CD＝8﹣5＝3，
∵ABCD为长方形，
∴AB＝CD＝3，
∴，
∴，
故答案为：3，．
15．（2025春 龙海区期中）如图，观察两个一次函数图象，当x的取值范围是 　x＞2　 时，y1＜y2．
【解答】解：当x＞2时，y1的图象在y2的图象下方，即y1＜y2，
故答案为：x＞2．
16．（2025春 陵川县期中）如图，已知函数y＝mx+n和y＝px+q的图象交于点M，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解为　　 ．
【解答】解：由图可知：函数y＝mx+n和y＝px+q的交点M的坐标为（2，3）；
因此关于x，y的二元一次方程组的解为：．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．（2025春 江夏区校级月考）某市A，B两个蔬菜基地得知黄岗C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，用含x的代数式填空，结果要化简；
C D 总计/t
A
　240﹣x　
　x﹣40　
200
B x
　300﹣x　
300
总计/t 240 260 500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【解答】解：（1）由题意得：A调往C地（240﹣x）吨，调往D地200﹣（240﹣x）＝（x﹣40）吨，B调往D地（300﹣x）吨，
故答案为：240﹣x，x﹣40，300﹣x；
（2）w与x之间的函数关系式为w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，
由题意，得，
∴40≤x≤240，
在w＝2x+9200中，
∵k＝2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，总运费最小，
此时调运方案为：A调往C地200吨，调往D地0吨，B调往C地40吨，调往D地260吨；
（3）由题意得w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+（15﹣m）x+18（300﹣x）＝（2﹣m）x+9200，
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小，
当m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变，
当2＜m＜15时，x＝240总费用最小，
其调运方案如下：A调往C地0吨，调往D地200吨，B调往C地240吨，调往D地60吨．
18．（2025春 阳城县期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，D是直线AB上的一点，DC⊥x轴于点C，且AB＝DB．
（1）求证：△AOB≌△DCB．
（2）求点D的坐标．
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得点P与x，y轴的距离之和为9，且点P在第二象限内，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵DC⊥x轴于点C，
∴∠DCB＝90°＝∠AOB，
在△AOB和△DCB中，
，
∴△AOB≌△DCB（AAS）；
（2）解：在y＝﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝3，
∴A（0，6），B（3，0），
∴OA＝6，OB＝3，
由（1）知△AOB≌△DCB，
∴OA＝CD＝6，OB＝BC＝3，
∴OC＝OB+BC＝3+3＝6，
∴D（6，﹣6）；
（3）解：在直线AB上存在一点P，使得点P与x，y轴的距离之和为9，且点P在第二象限内，理由如下：
设P（m，﹣2m+6），
∵点P在第二象限内，
∴，
解得m＜0，
∵点P与x，y轴的距离之和为9，
∴|﹣2m+6|+|m|＝9，
∴﹣2m+6+（﹣m）＝9，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，8）．
19．（2025春 衡山县期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线C——D——E——F所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段AB所示．
（1）小李到达甲地后，小张再经过 　1　 小时到达乙地，小张骑自行车的速度是 　15　 千米/时．
（2）小张出发几小时与小李相遇？
（3）若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）
【解答】解：（1）小李到达甲地后，小张再经过9﹣8＝1（小时）到达乙地，
小张骑自行车的速度是（120﹣60）÷4＝15（千米/时）．
故答案为：1，15．
（2）4+1＝5（小时），
则线段EF对应的函数关系式为y＝60﹣15（x﹣5）＝﹣15x+135（5≤x≤9），
小李骑摩托车的速度为120÷（8﹣6）＝60（千米/时），
则线段AB对应的函数关系式为y＝60（x﹣6）＝60x﹣360，
当小张与小李相遇时，得﹣15x+135＝60x﹣360，
解得x＝6.6．
答：小张出发6.6小时与小李相遇．
（3）设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为y＝60（x﹣a），
当60（x﹣a）＝60时，解得x＝a+1，
若小李想在小张修休息期间与他相遇，则4≤a+1≤5，
解得3≤a≤4，
∴小李出发的时间范围是3≤a≤4．
20．（2025春 宝山区校级月考）如图，已知点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴负半轴上，且S△ABC＝6，点P为直线BC上一点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若△OBP的面积为5，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（1，0），点B（4，0），
∴AB＝3，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABCAB OC3×OC＝6，
∴OC＝4，
∵点C在y轴负半轴上，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
（2）设P（m，m﹣4），
∵△OBP的面积为5，
∴OB |Py|4×|m﹣4|＝5，
解得m或m，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
21．（2025春 宝山区校级月考）如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P．
（1）求直线AQ的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形BPFO是直角梯形，求点F的坐标．
（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线AQ在y轴上的截距为2，
∴OQ＝2，
∴Q（0，2），
∵∠QAO＝45°，∠AOQ＝90°，
∴∠AQO＝45°＝∠QAO，
∴OA＝OQ＝2，
∴A（﹣2，0），
设直线AQ的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y＝x+2；
（2）联立得：，
解得：，
∴P（2，4），
∵四边形BPFO是直角梯形，
∴∠BOF＝∠PFO＝90°或∠BOF＝∠PFO＝90°，
当∠BOF＝∠PFO＝90°时，如图1，
则PF∥BO，
∴F（0，4）；
当∠BPF＝∠PFO＝90°时，如图2，
则OF∥BE，PF⊥BE，
∴直线OF的解析式为y＝﹣2x，
设直线PF的解析式为yx+e，把P（2，4）代入得：42+e，
解得：e＝3，
∴直线PF的解析式为yx+3，
联立得：，
解得：，
∴F（，）；
综上，点F的坐标为（0，4）或（，）．
（3）设C（0，c）（c＜0），M（m，m+2），N（n，﹣2n+8），又Q（0，2），
∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，设菱形的中心为点K，
∴分两种情况：
①当CQ为菱形对角线时，MN⊥CQ，CQ与MN互相平分，
∴，
解得：，
∴C（0，﹣10）；
②当CQ为菱形边时，BM∥CQ，BC∥PA，MQ＝CQ，如图2，过点M作MG⊥y轴于点G，
则∠MGQ＝90°，MG∥AB，
∴∠GMQ＝∠QAO＝45°，
∴△QMG是等腰直角三角形，
∴MQMGm，
∴，
解得：，
∴C（0，）；
综上，点C的坐标为（0，﹣10）或（0，）．
22．（2025春 巴南区月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，OB＝2OD＝4，直线CD与直线AB交于点E，点E的纵坐标为2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P为直线CD上一点，且在直线AB上方，连接AP，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接PQ、EQ，求的PQ+EQ最小值；
（3）如图3，y轴上是否存在一点N，使∠NAO＝∠BAO，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵OB＝2OD＝4，
∴B（0，4），D（0，﹣2），
把A（8，0），B（0，4）代入y＝kx+b得：，
解得，
∴直线AB的解析式为yx+4；
（2）由（1）得：D（0，﹣2），
在yx+4中，令y＝2得：x＝4，
∴E（4，2），
由D（0，﹣2），E（4，2）可得直线DE解析式为y＝x﹣2，
在y＝x﹣2中，令y＝0得x＝2，
∴C（2，0），
∴AC＝OA﹣OC＝8﹣2＝6，
∴S△ACE6×2＝6，
设P（m，m﹣2），
∵A（8，0），B（0，4），
∴S△AOB8×4＝16，
∵S△PAES△AOB16＝6，
∴S△ACP＝S△ACE+S△PAE＝6+6＝12，
∴6（m﹣2）＝12，
解得m＝6，
∴P（6，4）；
作点E关于x轴的对称点F（4，﹣2），连接FP交x轴于点Q，如图：
∴EQ＝FQ，
∴PQ+EQ＝PQ+FQ，
∵F，Q，P共线，
∴此时PQ+EQ最小，
∵P（6，4），F（4，﹣2），
∵FQ2，
∴PQ+EQ的最小值为2；
（3）y轴上存在一点N，使∠NAO＝∠BAO，理由如下：
如图：
∵∠BOA＝90°＝∠NOA，OA＝OA，∠NAO＝∠BAO，
∴△BOA≌△NOA（ASA），
∴OB＝ON，
∵B（0，4），
∴ON＝4，
∴N的坐标为（0，﹣4）．
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