【期末章节复习】一元函数的导数及其应用-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
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| 名称 | 【期末章节复习】一元函数的导数及其应用-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 405.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 23:18:57 | ||
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文档简介
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【期末章节复习】一元函数的导数及其应用-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 甘肃校级模拟）下列求导运算中错误的是（ ）
A．（3x）′＝3xln3 B．（）′
C．（x）′＝1 D．（sinx cosx）′＝cos2x
2．（2025春 成都校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，e） C．（e，+∞） D．（e2，+∞）
3．（2025 鹰潭模拟）函数在区间（0，2028）上的极值点个数为（ ）
A．675 B．676 C．2027 D．2028
4．（2025 安徽模拟）已知a，b∈R且b≥0，若定义，则D（a，b）的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025 泰安校级模拟）函数f（x）的大致图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则f′（x）f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，3） B．（1，3）
C．（0，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
6．（2025 建平县校级模拟）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
7．（2025春 河南月考）已知函数f（x）＝2sinx，则曲线y＝f（x）在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025 惠农区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（1）＝3，则不等式exf（x）＞ex+2e的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南宁校级期中）曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ）
A． B． C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
（多选）10．（2025春 南宁校级期中）已知直线l经过点，且与曲线y＝x3+x2相切，则直线l的方程可以为（ ）
A．y＝0 B．5x+y﹣3＝0
C．5x﹣y﹣3＝0 D．15x+125y﹣9＝0
（多选）11．（2025春 广西期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）的图象关于点对称
C．若方程f（x）＝k有三个实数根，则
D．过原点有两条直线与曲线y＝f（x）相切
三．填空题（共3小题）
12．（2025 甘肃校级模拟）设f（x）＝x32x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
13．（2025 泰安校级模拟）已知，a∈{﹣1，1}，g（x）＝b﹣x，b∈{1，2，3，4}，使f（x）＞g（x）恒成立的有序数对（a，b）有 对．
14．（2025春 南宁校级期中）设点A在直线上，点B在函数f（x）＝lnx的图象上，则|AB|的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 武功县校级模拟）已知函数f（x）＝ea（x﹣1）﹣2ax+lnx（a＞0），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+（2e﹣3）y+1＝0垂直．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）不存在极值．
16．（2025 江西模拟）已知函数．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
17．（2025 安康模拟）设函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．
（1）当时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性．
18．（2025春 沭阳县校级期中）已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex﹣x．
（1）若f（x）在x＝1处的瞬时变化率为﹣1，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）在区间[0，1]上的最值；
（3）若a＝0，对于曲线f（x）的任意一条切线，都存在曲线g（x）＝x+2bsinx的某条切线和它垂直，求实数b的取值范围．
19．（2025 天津模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣2lnx．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对 x∈[1，3]，都有f（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，若 x1，x2且满足0＜x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2），求证：（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0．
【期末章节复习】一元函数的导数及其应用-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D C D A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 CD ACD AD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 甘肃校级模拟）下列求导运算中错误的是（ ）
A．（3x）′＝3xln3 B．（）′
C．（x）′＝1 D．（sinx cosx）′＝cos2x
【解答】解：，，．
故选：C．
2．（2025春 成都校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，e） C．（e，+∞） D．（e2，+∞）
【解答】解：根据f（x）＝ex﹣ax，可得导函数f′（x）＝ex﹣a，
若a≤0，导函数f′（x）＞0，函数f（x）在R单调递增，此时至多有一个零点，舍去；
若a＞0，令导函数f′（x）＝0，解得x＝lna，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）单调递增；
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，
因此当x＝lna时，函数取得极小值，也时最小值f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，
又根据x→+∞时，f（x）→+∞；x→﹣∞时，f（x）→+∞，
要使得函数f（x）＝ex﹣ax恰有两个零点，则满足a﹣alna＜0，即lna＞1，
解得a＞e，所以实数a的取值范围为（e，+∞）．
故选：C．
3．（2025 鹰潭模拟）函数在区间（0，2028）上的极值点个数为（ ）
A．675 B．676 C．2027 D．2028
【解答】解：因为，
所以，
为了找到极值点，我们需要解方程f'（x）＝0，即．
这个方程比较复杂，我们可以通过分析f（x）的形式来确定极值点的个数．
因为函数f（x）是x和的乘积，
正弦型函数的周期为，在每个周期内，正弦函数有两个零点，一个最大值和一个最小值，
因此，函数f（x）在每个周期内将有两个极值点（一个极大值和一个极小值），
现在，我们需要确定在区间（0，2028）内有多少个周期，
由于每个周期的长度为6，区间（0，2028）内的周期数为：，
每个周期内有2个极值点，因此在338个周期内有338×2＝676个极值点，
因此，函数在区间（0，2028）上的极值点个数为676．
故选：B．
4．（2025 安徽模拟）已知a，b∈R且b≥0，若定义，则D（a，b）的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：设A（a，ea），，
设F为抛物线y2＝4x的焦点，D（0，1），
则点B（b，2）在抛物线y2＝4x上，F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，
过点B作BC垂直于直线x＝﹣1，垂足为点C，
由抛物线的性质可知，|BC|＝|BF|＝b+1，
所以，
对于曲线y＝ex，
求导得y′＝ex，
所以在点D（0，1）处的切线斜率为k＝e0＝1，
所以在点D（0，1）处的切线方程为y＝x+1，与之垂直的直线方程为y＝﹣x+1，恰好通过点F，
所以，
所以D（a，b）的最小值为1．
故选：D．
5．（2025 泰安校级模拟）函数f（x）的大致图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则f′（x）f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，3） B．（1，3）
C．（0，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
【解答】解：由图像可知，在（﹣∞，0）与（3，+∞）上，f（x）＜0，
在（0，3）上，f（x）＞0，
在（﹣∞，1）上，f'（x）＞0，在（1，+∞）上，f'（x）＜0，
因为f′（x）f（x）＞0，所以f′（x），f（x）同号，
综上：在（0，1）∪（3，+∞）区间上，f′（x），f（x）同号．
故选：C．
6．（2025 建平县校级模拟）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
【解答】解：函数，f′（x）＝x2﹣2x+a，
若f（x）在R递增，则x2﹣2x+a≥0在R恒成立，
可得Δ＝4﹣4a≤0，解得a≥1，
故选：D．
7．（2025春 河南月考）已知函数f（x）＝2sinx，则曲线y＝f（x）在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为f（x）＝2sinx，所以f′（x）＝2cosx，
所以，
所以所求切线方程为．
故选：A．
8．（2025 惠农区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（1）＝3，则不等式exf（x）＞ex+2e的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）
【解答】解：不等式exf（x）＞ex+2e exf（x）﹣ex＞2e，
设g（x）＝exf（x）﹣ex（x∈R），
因为f（x）+f′（x）＞1，
所以g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]＞0恒成立，
所以y＝g（x）在定义域R上单调递增．
故原不等式可转化为exf（x）﹣ex＞2e，又f（1）＝3，
所以g（1）＝ef（1）﹣e＝2e，
所以g（x）＞g（1），所以x＞1，故不等式exf（x）＞ex+2e的解集为（1，+∞）．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南宁校级期中）曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ）
A． B． C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
【解答】解：，设切点坐标为（x0，y0），且切线的斜率为1，所以，解得x0＝±1，
当x0＝1时，f（1）＝﹣1，切点的坐标为（1，﹣1），
当x0＝﹣1时，f（1）＝1，切点的坐标为（﹣1，1）．
故选：CD．
（多选）10．（2025春 南宁校级期中）已知直线l经过点，且与曲线y＝x3+x2相切，则直线l的方程可以为（ ）
A．y＝0 B．5x+y﹣3＝0
C．5x﹣y﹣3＝0 D．15x+125y﹣9＝0
【解答】解：因为y＝x3+x2的导数为y′＝3x2+2x，
设切点为（t，t3+t2），则切线斜率为k＝3t2+2t，
所以切线方程为y﹣（t3+t2）＝（3t2+2t）（x﹣t），又切线过点，
所以﹣（t3+t2）＝（3t2+2t）（t），解得a，1，0，
所以代入切线方程整理得切线方程为15x+125y﹣9＝0或5x﹣y﹣3＝0或y＝0．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 广西期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）的图象关于点对称
C．若方程f（x）＝k有三个实数根，则
D．过原点有两条直线与曲线y＝f（x）相切
【解答】解：f′（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），
当x＞3或x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
故f（x）在（﹣∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，即x＝1和x＝3为函数的极值点，A正确；
令f″（x）＝2x﹣4＝0可得x＝2，
因为f（2），B错误；
因为f（1），f（3）＝0，
当x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
若方程f（x）＝k有三个实数根，则0＜k，C错误；
当原点为切点时，k＝f′（0）＝3，此时切线方程为y＝3x，
当原点不是切点时，设切点为（a，f（a）），a≠0，
则k＝f′（a）＝a2﹣4a+3，
解得a＝3，此时直线为y＝0，D正确．
故选：AD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 甘肃校级模拟）设f（x）＝x32x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 （7，+∞） ．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝0
解得：x＝1或
当x∈时，f'（x）＞0，
当x∈时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max＝{f（），f（2）}max＝7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）＝7．
故答案为：（7，+∞）
13．（2025 泰安校级模拟）已知，a∈{﹣1，1}，g（x）＝b﹣x，b∈{1，2，3，4}，使f（x）＞g（x）恒成立的有序数对（a，b）有 4 对．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
要想f（x）＞g（x）恒成立，
只需恒成立，
只需恒成立，
设，
所以当a＝﹣1时，，
当0＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞3时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（3）＝4﹣2ln3，使f（x）＞g（x）恒成立的b可取1；
所以当a＝1时，，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（1）＝4，使f（x）＞g（x）恒成立的b可取1，2，3，
所以（a，b）一共有（1，1），（﹣1，1），（1，2），（1，3），共4对．
故答案为：4．
14．（2025春 南宁校级期中）设点A在直线上，点B在函数f（x）＝lnx的图象上，则|AB|的最小值为 ．
【解答】解：设切点为（x0，lnx0），则切线与平行，
即有，所以，所以切点为，
当B点为切点时，点B到直线距离最小，
由点到直线的距离公式有，
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 武功县校级模拟）已知函数f（x）＝ea（x﹣1）﹣2ax+lnx（a＞0），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+（2e﹣3）y+1＝0垂直．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）不存在极值．
【解答】解：（1）导函数，那么，
根据题知，，整理得aea﹣2a﹣e+2＝0，
令函数t（a）＝aea﹣2a﹣e+2（a＞0），那么导函数t'（a）＝（a+1）ea﹣2，
令函数H（a）＝（a+1）ea﹣2，那么导函数H'（a）＝（a+2）ea＞0，
因此t'（a）在（0，+∞）上单调递增，
又因为t'（1）＝2e﹣2＞0，t'（0）＝﹣1＜0，因此 a0∈（0，1），使得t'（a0）＝0．
当a∈（a0，+∞）时，t'（a）＞0，t（a）单调递增；
当a∈（0，a0）时，t'（a）＜0，t（a）单调递减，
又因为t（0）＝2﹣e＜0，因此t（a0）＜0，因此t（a）在（0，+∞）上仅有一个零点，
又t（1）＝0，因此a＝1．
（2）证明：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
导函数．
令函数g（x）＝xex﹣1﹣2x+1（x＞0），那么导函数g'（x）＝（x+1）ex﹣1﹣2．
令函数h（x）＝（x+1）ex﹣1﹣2（x＞0），那么导函数h'（x）＝（x+2）ex﹣1＞0，
因此函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝0，
因此当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即导函数g'（x）＞0；
当x∈（0，1）时，h（x）＜0，即导函数g'（x）＜0，
所以g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（1）＝0，即f'（x）≥0，
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故f（x）在（0，+∞）上不存在极值．
16．（2025 江西模拟）已知函数．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣x2+x﹣e2，
所以f′（x）＝lnx﹣2x+2，
因为f（e）＝2e﹣2e2，f′（e）＝3﹣2e，所以切点为（e，2e﹣2e2），
则所求曲线的切线方程为y﹣（2e﹣2e2）＝（3﹣2e）（x﹣e），即（3﹣2e）x﹣y﹣e＝0．
（2）因为，
所以其定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx﹣ax+a．
因为f（x）在x＝1处取得极大值，
所以f′（1）＝ln1﹣a+a＝0，且f′（x）在x＝1处两侧的值异号．
①当a≤0时，f′（x）在（0，+∞）上单调递增，而f′（1）＝0，
所以在（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
则f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意．
②当a＞0时，
（ⅰ）若a＞1，设g（x）＝f′（x）＝lnx﹣ax+a，则，
当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减．
因为g（1）＝f′（1）＝ln1﹣a+a＝0，所以在上，g（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，+∞）上，g（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意．
（ⅱ）若a＝1，f′（x）＝lnx﹣x+1＝lnx﹣（x﹣1），
令φ（x）＝lnx﹣（x﹣1），则，
当x＞1时，φ′（x）＜0，即函数φ（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上为减函数，
当0＜x＜1，φ′（x）＞0，即函数φ（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（0，1）上为增函数，
所以φ（x）＝lnx﹣（x﹣1）≤φ（1）＝0，当且仅当x＝1时取到等号，
所以f′（x）＝lnx﹣x+1＝lnx﹣（x﹣1）≤0
则在x∈（0，+∞）上，f（x）为减函数，所以x＝1不是极值点，不符合题意．
（iii）若0＜a＜1，，
当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
g（x）在上单调递增，在上单调递减．
因为g（1）＝f′（1）＝ln1﹣a+a＝0，所以在（0，1）上，g（x）＜0，f（x）单调递减，
在上，g（x）＞0，f（x）单调递增，则函数f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上，a＞1，即a的取值范围为（1，+∞）．
17．（2025 安康模拟）设函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．
（1）当时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性．
【解答】解：（1）当时，，则，
则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f'（0）＝1，
因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．
（2）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
当a＞0时，，
令g（x）＝2ax2+2ax+1（x＞﹣1），则g（x）在上单调递减，在上单调递增，
因此，g（x）的最小值为．
当0＜a≤2时，，则f'（x）≥0，此时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．
当a＞2时，令g（x）＝0，得．
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0f（x）单调递增．
综上，当0＜a≤2时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
当a＞2时，f（x）在，上单调递增，
在，上单调递减．
18．（2025春 沭阳县校级期中）已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex﹣x．
（1）若f（x）在x＝1处的瞬时变化率为﹣1，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）在区间[0，1]上的最值；
（3）若a＝0，对于曲线f（x）的任意一条切线，都存在曲线g（x）＝x+2bsinx的某条切线和它垂直，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）根据函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex﹣x，得导函数f′（x）＝a（x+1）ex﹣（a+1）ex﹣1，
由于函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率为﹣1，
因此f′（1）＝﹣1，即2ae﹣（a+1）e﹣1＝﹣1，
因此a＝1．
（2）当a＝1时，函数f（x）＝xex﹣2ex﹣x，导函数f′（x）＝（x﹣1）ex﹣1，
当x∈[0，1]，因此x﹣1＜0，又因为ex＞0，
因此（x﹣1）ex﹣1＜0，即f′（x）＜0，
因此函数f（x）在[﹣2，﹣1]，[0，1]上单调递减，
因此当x＝0时，函数f（x）取到最大值f（0）＝﹣2；
当x＝1时，函数f（x）取到最小值f（1）＝﹣e﹣1．
（3）当a＝0时，函数f（x）＝﹣ex﹣x，那么导函数f′（x）＝﹣ex﹣1，
由于ex＞0，因此﹣ex﹣1＜﹣1，
因此，
由于函数g（x）＝x+2bsinx，因此导函数g′（x）＝1+2bcosx，
由于﹣1≤cosx≤1，
因此1+2bcosx∈[1﹣2|b|，1+2|b|]，即导函数g′（x）∈[1﹣2|b|，1+2|b|]，
由于f（x）的任意一条切线，都存在g（x）＝x+2bsinx的某条切线和它垂直，
因此（0，1） [1﹣2|b|，1+2|b|]，
所以，解得或，
所以实数b的取值范围．
19．（2025 天津模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣2lnx．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对 x∈[1，3]，都有f（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，若 x1，x2且满足0＜x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2），求证：（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2lnx，
f（1）＝1，f′（x）＝2x，
k＝f′（1）＝0，
所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝1．
（2）由题意f（x）max，f′（x）＝2ax，
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝a恒成立，所以a≤0，
②当a＞0时，f′（x）＞0，x，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
当1，a≥1时，f（x）在[1，3]上单调递增，
f（x）max＝f（3），a，舍去，
当3，0＜a时，f（x）在[1，3]上单调递减，f（x）max＝f（1），a，所以0＜a，
当13，a＜1时，f（x）在[1，]上单调递减，[，3]上单调递增，
所以，a，所以a，
综上，a的取值范围为（﹣∞，]．
（3）证明：因为x1+x2＞0，要证（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0，只需证明x1+x2，
由（2）可知0＜x1x2，要证x1+x2，只需证明x2x1，
因为x2，x1，且函数f（x）在（，+∞）上单调递增，
所以只需证明f（x2）＞f（x1），
又因为f（x2）＝f（x1），即证f（x1）＞f（x1），
令g（x）＝f（x）﹣f（x）（0＜x），
即g（x）＝ax2﹣2lnx﹣a（x）2+2ln（x）＝4x﹣4﹣2lnx+2ln（x），
注意到g（）＝0，
因为g′（x）＝44 4 0，
则g（x）在（0，）上单调递减，所以g（x）＞g（）＝0，在x∈（0，）恒成立，
所以x1+x2，即满足（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0．
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【期末章节复习】一元函数的导数及其应用-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 甘肃校级模拟）下列求导运算中错误的是（ ）
A．（3x）′＝3xln3 B．（）′
C．（x）′＝1 D．（sinx cosx）′＝cos2x
2．（2025春 成都校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，e） C．（e，+∞） D．（e2，+∞）
3．（2025 鹰潭模拟）函数在区间（0，2028）上的极值点个数为（ ）
A．675 B．676 C．2027 D．2028
4．（2025 安徽模拟）已知a，b∈R且b≥0，若定义，则D（a，b）的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025 泰安校级模拟）函数f（x）的大致图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则f′（x）f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，3） B．（1，3）
C．（0，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
6．（2025 建平县校级模拟）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
7．（2025春 河南月考）已知函数f（x）＝2sinx，则曲线y＝f（x）在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025 惠农区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（1）＝3，则不等式exf（x）＞ex+2e的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南宁校级期中）曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ）
A． B． C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
（多选）10．（2025春 南宁校级期中）已知直线l经过点，且与曲线y＝x3+x2相切，则直线l的方程可以为（ ）
A．y＝0 B．5x+y﹣3＝0
C．5x﹣y﹣3＝0 D．15x+125y﹣9＝0
（多选）11．（2025春 广西期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）的图象关于点对称
C．若方程f（x）＝k有三个实数根，则
D．过原点有两条直线与曲线y＝f（x）相切
三．填空题（共3小题）
12．（2025 甘肃校级模拟）设f（x）＝x32x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
13．（2025 泰安校级模拟）已知，a∈{﹣1，1}，g（x）＝b﹣x，b∈{1，2，3，4}，使f（x）＞g（x）恒成立的有序数对（a，b）有 对．
14．（2025春 南宁校级期中）设点A在直线上，点B在函数f（x）＝lnx的图象上，则|AB|的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 武功县校级模拟）已知函数f（x）＝ea（x﹣1）﹣2ax+lnx（a＞0），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+（2e﹣3）y+1＝0垂直．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）不存在极值．
16．（2025 江西模拟）已知函数．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
17．（2025 安康模拟）设函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．
（1）当时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性．
18．（2025春 沭阳县校级期中）已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex﹣x．
（1）若f（x）在x＝1处的瞬时变化率为﹣1，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）在区间[0，1]上的最值；
（3）若a＝0，对于曲线f（x）的任意一条切线，都存在曲线g（x）＝x+2bsinx的某条切线和它垂直，求实数b的取值范围．
19．（2025 天津模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣2lnx．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对 x∈[1，3]，都有f（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，若 x1，x2且满足0＜x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2），求证：（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0．
【期末章节复习】一元函数的导数及其应用-2024-2025学年高二数学下学期人教版A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D C D A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 CD ACD AD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 甘肃校级模拟）下列求导运算中错误的是（ ）
A．（3x）′＝3xln3 B．（）′
C．（x）′＝1 D．（sinx cosx）′＝cos2x
【解答】解：，，．
故选：C．
2．（2025春 成都校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，e） C．（e，+∞） D．（e2，+∞）
【解答】解：根据f（x）＝ex﹣ax，可得导函数f′（x）＝ex﹣a，
若a≤0，导函数f′（x）＞0，函数f（x）在R单调递增，此时至多有一个零点，舍去；
若a＞0，令导函数f′（x）＝0，解得x＝lna，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）单调递增；
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，
因此当x＝lna时，函数取得极小值，也时最小值f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，
又根据x→+∞时，f（x）→+∞；x→﹣∞时，f（x）→+∞，
要使得函数f（x）＝ex﹣ax恰有两个零点，则满足a﹣alna＜0，即lna＞1，
解得a＞e，所以实数a的取值范围为（e，+∞）．
故选：C．
3．（2025 鹰潭模拟）函数在区间（0，2028）上的极值点个数为（ ）
A．675 B．676 C．2027 D．2028
【解答】解：因为，
所以，
为了找到极值点，我们需要解方程f'（x）＝0，即．
这个方程比较复杂，我们可以通过分析f（x）的形式来确定极值点的个数．
因为函数f（x）是x和的乘积，
正弦型函数的周期为，在每个周期内，正弦函数有两个零点，一个最大值和一个最小值，
因此，函数f（x）在每个周期内将有两个极值点（一个极大值和一个极小值），
现在，我们需要确定在区间（0，2028）内有多少个周期，
由于每个周期的长度为6，区间（0，2028）内的周期数为：，
每个周期内有2个极值点，因此在338个周期内有338×2＝676个极值点，
因此，函数在区间（0，2028）上的极值点个数为676．
故选：B．
4．（2025 安徽模拟）已知a，b∈R且b≥0，若定义，则D（a，b）的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：设A（a，ea），，
设F为抛物线y2＝4x的焦点，D（0，1），
则点B（b，2）在抛物线y2＝4x上，F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，
过点B作BC垂直于直线x＝﹣1，垂足为点C，
由抛物线的性质可知，|BC|＝|BF|＝b+1，
所以，
对于曲线y＝ex，
求导得y′＝ex，
所以在点D（0，1）处的切线斜率为k＝e0＝1，
所以在点D（0，1）处的切线方程为y＝x+1，与之垂直的直线方程为y＝﹣x+1，恰好通过点F，
所以，
所以D（a，b）的最小值为1．
故选：D．
5．（2025 泰安校级模拟）函数f（x）的大致图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则f′（x）f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，3） B．（1，3）
C．（0，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
【解答】解：由图像可知，在（﹣∞，0）与（3，+∞）上，f（x）＜0，
在（0，3）上，f（x）＞0，
在（﹣∞，1）上，f'（x）＞0，在（1，+∞）上，f'（x）＜0，
因为f′（x）f（x）＞0，所以f′（x），f（x）同号，
综上：在（0，1）∪（3，+∞）区间上，f′（x），f（x）同号．
故选：C．
6．（2025 建平县校级模拟）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
【解答】解：函数，f′（x）＝x2﹣2x+a，
若f（x）在R递增，则x2﹣2x+a≥0在R恒成立，
可得Δ＝4﹣4a≤0，解得a≥1，
故选：D．
7．（2025春 河南月考）已知函数f（x）＝2sinx，则曲线y＝f（x）在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为f（x）＝2sinx，所以f′（x）＝2cosx，
所以，
所以所求切线方程为．
故选：A．
8．（2025 惠农区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（1）＝3，则不等式exf（x）＞ex+2e的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）
【解答】解：不等式exf（x）＞ex+2e exf（x）﹣ex＞2e，
设g（x）＝exf（x）﹣ex（x∈R），
因为f（x）+f′（x）＞1，
所以g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]＞0恒成立，
所以y＝g（x）在定义域R上单调递增．
故原不等式可转化为exf（x）﹣ex＞2e，又f（1）＝3，
所以g（1）＝ef（1）﹣e＝2e，
所以g（x）＞g（1），所以x＞1，故不等式exf（x）＞ex+2e的解集为（1，+∞）．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南宁校级期中）曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ）
A． B． C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
【解答】解：，设切点坐标为（x0，y0），且切线的斜率为1，所以，解得x0＝±1，
当x0＝1时，f（1）＝﹣1，切点的坐标为（1，﹣1），
当x0＝﹣1时，f（1）＝1，切点的坐标为（﹣1，1）．
故选：CD．
（多选）10．（2025春 南宁校级期中）已知直线l经过点，且与曲线y＝x3+x2相切，则直线l的方程可以为（ ）
A．y＝0 B．5x+y﹣3＝0
C．5x﹣y﹣3＝0 D．15x+125y﹣9＝0
【解答】解：因为y＝x3+x2的导数为y′＝3x2+2x，
设切点为（t，t3+t2），则切线斜率为k＝3t2+2t，
所以切线方程为y﹣（t3+t2）＝（3t2+2t）（x﹣t），又切线过点，
所以﹣（t3+t2）＝（3t2+2t）（t），解得a，1，0，
所以代入切线方程整理得切线方程为15x+125y﹣9＝0或5x﹣y﹣3＝0或y＝0．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 广西期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）的图象关于点对称
C．若方程f（x）＝k有三个实数根，则
D．过原点有两条直线与曲线y＝f（x）相切
【解答】解：f′（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），
当x＞3或x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
故f（x）在（﹣∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，即x＝1和x＝3为函数的极值点，A正确；
令f″（x）＝2x﹣4＝0可得x＝2，
因为f（2），B错误；
因为f（1），f（3）＝0，
当x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
若方程f（x）＝k有三个实数根，则0＜k，C错误；
当原点为切点时，k＝f′（0）＝3，此时切线方程为y＝3x，
当原点不是切点时，设切点为（a，f（a）），a≠0，
则k＝f′（a）＝a2﹣4a+3，
解得a＝3，此时直线为y＝0，D正确．
故选：AD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 甘肃校级模拟）设f（x）＝x32x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 （7，+∞） ．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝0
解得：x＝1或
当x∈时，f'（x）＞0，
当x∈时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max＝{f（），f（2）}max＝7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）＝7．
故答案为：（7，+∞）
13．（2025 泰安校级模拟）已知，a∈{﹣1，1}，g（x）＝b﹣x，b∈{1，2，3，4}，使f（x）＞g（x）恒成立的有序数对（a，b）有 4 对．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
要想f（x）＞g（x）恒成立，
只需恒成立，
只需恒成立，
设，
所以当a＝﹣1时，，
当0＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞3时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（3）＝4﹣2ln3，使f（x）＞g（x）恒成立的b可取1；
所以当a＝1时，，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（1）＝4，使f（x）＞g（x）恒成立的b可取1，2，3，
所以（a，b）一共有（1，1），（﹣1，1），（1，2），（1，3），共4对．
故答案为：4．
14．（2025春 南宁校级期中）设点A在直线上，点B在函数f（x）＝lnx的图象上，则|AB|的最小值为 ．
【解答】解：设切点为（x0，lnx0），则切线与平行，
即有，所以，所以切点为，
当B点为切点时，点B到直线距离最小，
由点到直线的距离公式有，
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 武功县校级模拟）已知函数f（x）＝ea（x﹣1）﹣2ax+lnx（a＞0），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+（2e﹣3）y+1＝0垂直．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）不存在极值．
【解答】解：（1）导函数，那么，
根据题知，，整理得aea﹣2a﹣e+2＝0，
令函数t（a）＝aea﹣2a﹣e+2（a＞0），那么导函数t'（a）＝（a+1）ea﹣2，
令函数H（a）＝（a+1）ea﹣2，那么导函数H'（a）＝（a+2）ea＞0，
因此t'（a）在（0，+∞）上单调递增，
又因为t'（1）＝2e﹣2＞0，t'（0）＝﹣1＜0，因此 a0∈（0，1），使得t'（a0）＝0．
当a∈（a0，+∞）时，t'（a）＞0，t（a）单调递增；
当a∈（0，a0）时，t'（a）＜0，t（a）单调递减，
又因为t（0）＝2﹣e＜0，因此t（a0）＜0，因此t（a）在（0，+∞）上仅有一个零点，
又t（1）＝0，因此a＝1．
（2）证明：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
导函数．
令函数g（x）＝xex﹣1﹣2x+1（x＞0），那么导函数g'（x）＝（x+1）ex﹣1﹣2．
令函数h（x）＝（x+1）ex﹣1﹣2（x＞0），那么导函数h'（x）＝（x+2）ex﹣1＞0，
因此函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝0，
因此当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即导函数g'（x）＞0；
当x∈（0，1）时，h（x）＜0，即导函数g'（x）＜0，
所以g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（1）＝0，即f'（x）≥0，
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故f（x）在（0，+∞）上不存在极值．
16．（2025 江西模拟）已知函数．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣x2+x﹣e2，
所以f′（x）＝lnx﹣2x+2，
因为f（e）＝2e﹣2e2，f′（e）＝3﹣2e，所以切点为（e，2e﹣2e2），
则所求曲线的切线方程为y﹣（2e﹣2e2）＝（3﹣2e）（x﹣e），即（3﹣2e）x﹣y﹣e＝0．
（2）因为，
所以其定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx﹣ax+a．
因为f（x）在x＝1处取得极大值，
所以f′（1）＝ln1﹣a+a＝0，且f′（x）在x＝1处两侧的值异号．
①当a≤0时，f′（x）在（0，+∞）上单调递增，而f′（1）＝0，
所以在（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
则f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意．
②当a＞0时，
（ⅰ）若a＞1，设g（x）＝f′（x）＝lnx﹣ax+a，则，
当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减．
因为g（1）＝f′（1）＝ln1﹣a+a＝0，所以在上，g（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，+∞）上，g（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意．
（ⅱ）若a＝1，f′（x）＝lnx﹣x+1＝lnx﹣（x﹣1），
令φ（x）＝lnx﹣（x﹣1），则，
当x＞1时，φ′（x）＜0，即函数φ（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上为减函数，
当0＜x＜1，φ′（x）＞0，即函数φ（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（0，1）上为增函数，
所以φ（x）＝lnx﹣（x﹣1）≤φ（1）＝0，当且仅当x＝1时取到等号，
所以f′（x）＝lnx﹣x+1＝lnx﹣（x﹣1）≤0
则在x∈（0，+∞）上，f（x）为减函数，所以x＝1不是极值点，不符合题意．
（iii）若0＜a＜1，，
当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
g（x）在上单调递增，在上单调递减．
因为g（1）＝f′（1）＝ln1﹣a+a＝0，所以在（0，1）上，g（x）＜0，f（x）单调递减，
在上，g（x）＞0，f（x）单调递增，则函数f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上，a＞1，即a的取值范围为（1，+∞）．
17．（2025 安康模拟）设函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．
（1）当时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性．
【解答】解：（1）当时，，则，
则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f'（0）＝1，
因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．
（2）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
当a＞0时，，
令g（x）＝2ax2+2ax+1（x＞﹣1），则g（x）在上单调递减，在上单调递增，
因此，g（x）的最小值为．
当0＜a≤2时，，则f'（x）≥0，此时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．
当a＞2时，令g（x）＝0，得．
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0f（x）单调递增．
综上，当0＜a≤2时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
当a＞2时，f（x）在，上单调递增，
在，上单调递减．
18．（2025春 沭阳县校级期中）已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex﹣x．
（1）若f（x）在x＝1处的瞬时变化率为﹣1，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）在区间[0，1]上的最值；
（3）若a＝0，对于曲线f（x）的任意一条切线，都存在曲线g（x）＝x+2bsinx的某条切线和它垂直，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）根据函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex﹣x，得导函数f′（x）＝a（x+1）ex﹣（a+1）ex﹣1，
由于函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率为﹣1，
因此f′（1）＝﹣1，即2ae﹣（a+1）e﹣1＝﹣1，
因此a＝1．
（2）当a＝1时，函数f（x）＝xex﹣2ex﹣x，导函数f′（x）＝（x﹣1）ex﹣1，
当x∈[0，1]，因此x﹣1＜0，又因为ex＞0，
因此（x﹣1）ex﹣1＜0，即f′（x）＜0，
因此函数f（x）在[﹣2，﹣1]，[0，1]上单调递减，
因此当x＝0时，函数f（x）取到最大值f（0）＝﹣2；
当x＝1时，函数f（x）取到最小值f（1）＝﹣e﹣1．
（3）当a＝0时，函数f（x）＝﹣ex﹣x，那么导函数f′（x）＝﹣ex﹣1，
由于ex＞0，因此﹣ex﹣1＜﹣1，
因此，
由于函数g（x）＝x+2bsinx，因此导函数g′（x）＝1+2bcosx，
由于﹣1≤cosx≤1，
因此1+2bcosx∈[1﹣2|b|，1+2|b|]，即导函数g′（x）∈[1﹣2|b|，1+2|b|]，
由于f（x）的任意一条切线，都存在g（x）＝x+2bsinx的某条切线和它垂直，
因此（0，1） [1﹣2|b|，1+2|b|]，
所以，解得或，
所以实数b的取值范围．
19．（2025 天津模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣2lnx．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对 x∈[1，3]，都有f（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，若 x1，x2且满足0＜x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2），求证：（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2lnx，
f（1）＝1，f′（x）＝2x，
k＝f′（1）＝0，
所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝1．
（2）由题意f（x）max，f′（x）＝2ax，
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝a恒成立，所以a≤0，
②当a＞0时，f′（x）＞0，x，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
当1，a≥1时，f（x）在[1，3]上单调递增，
f（x）max＝f（3），a，舍去，
当3，0＜a时，f（x）在[1，3]上单调递减，f（x）max＝f（1），a，所以0＜a，
当13，a＜1时，f（x）在[1，]上单调递减，[，3]上单调递增，
所以，a，所以a，
综上，a的取值范围为（﹣∞，]．
（3）证明：因为x1+x2＞0，要证（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0，只需证明x1+x2，
由（2）可知0＜x1x2，要证x1+x2，只需证明x2x1，
因为x2，x1，且函数f（x）在（，+∞）上单调递增，
所以只需证明f（x2）＞f（x1），
又因为f（x2）＝f（x1），即证f（x1）＞f（x1），
令g（x）＝f（x）﹣f（x）（0＜x），
即g（x）＝ax2﹣2lnx﹣a（x）2+2ln（x）＝4x﹣4﹣2lnx+2ln（x），
注意到g（）＝0，
因为g′（x）＝44 4 0，
则g（x）在（0，）上单调递减，所以g（x）＞g（）＝0，在x∈（0，）恒成立，
所以x1+x2，即满足（x1+x2）2﹣2（x1+x2）＞0．
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