【期末章节复习】立体几何初步-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册（含解析）
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| 名称 | 【期末章节复习】立体几何初步-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 23:20:25 | ||
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文档简介
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【期末章节复习】立体几何初步-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 云南期中）下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体
B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面
D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
2．（2025春 贵州期中）如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则△ABC的边BC＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
3．（2025春 浙江期中）已知圆锥的轴截面顶角为θ，侧面展开扇形的圆心角为2π﹣θ，则θ为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在
4．（2025 冀州区校级模拟）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C．π D．2π
5．（2025 昭通校级模拟）已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形ABCD，AB＝4，CD＝2，则在该圆台的侧距上，从点A到C的最短路径的长度为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．3
6．（2025春 河北期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列说法中正确的是（ ）
A．若M是C1D1的中点，AM与平面BB1D1D的交点为O，则A1，O，C三点共线
B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C．若P是B1D1上的动点，则D，P，B，C1四点共面
D．若Q是AD1上的动点，则A1Q+QB的最小值是
7．（2025春 如皋市月考）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ）
A．AB和C1D1 B．EF和CC1 C．AC和A1C1 D．AC和FC1
8．（2025春 和平区校级期中）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
A．248πcm3 B．274πcm3 C．354πcm3 D．370πcm3
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 陕西校级期中）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
（多选）10．（2025春 仙游县期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥C1﹣A1B1P的体积为4
C．三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为9π
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
（多选）11．（2025春 南海区月考）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为2和4，高为，四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面，则（ ）
A．圆台的母线长为6
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为24π
D．圆台外接球的半径为4
三．填空题（共3小题）
12．（2025 回忆版）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
13．（2025春 安康期中）已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为r．若AB＝2，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ．
14．（2024秋 上虞区期末）（如图甲）P﹣ABCD是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面ABCD为平行四边形．现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过CDEF，且E，F分别为棱PA，PB的中点，设棱锥P﹣ABCD的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 陕西校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若平面PDC∩平面PAB＝l，证明：l∥AB．
16．（2025春 福州期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC﹣A1B1C1（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面BCC1B1落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．
（1）求挖掉的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求该几何体的表面积．
17．（2025春 永安市期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G分别是棱AB，BC，B1C1的中点．
（1）判断直线AG与直线EF，直线CG与平面ABB1A1的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：B1E∥平面ACG；
（3）在棱CC1上是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
18．（2025春 南海区月考）如图1，内壁光滑且透明的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4．容器厚度不计．当其水平放置时，水面恰好过AA1，BB1，CC1，DD1的中点E，F，G，H．现在固定容器一边BC于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同．容器绕BC从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱AD的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱AA1，BB1，CC1，DD1分别交于点A2，B2，C2，D2．假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动．
（1）证明：AA2+BB2是定值；
（2）已知水面A2B2C2D2是矩形面，求水面A2B2C2D2面积的取值范围．
19．（2025春 双阳区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC．
（1）求证：点E是PB的中点；
（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面EOG∥平面PCD？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
【期末章节复习】立体几何初步-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C C B B D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 云南期中）下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体
B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面
D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
【解答】解：选项A，正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，但侧棱与底面边长不一定相等，
所以正四棱柱不一定是正方体，故选项A错误；
选项B，圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故选项B错误；
选项C，面数最少的棱柱是三棱柱，共有5个面，所以一个棱柱至少有5个面，故选项C正确；
选项D，正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故选项D错误．
故选：C．
2．（2025春 贵州期中）如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则△ABC的边BC＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【解答】解：根据题意，直观图△A′B′C′中，A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，
则A′C′2，
原图中，AC∥y轴，AB∥x轴，AC＝4，AB＝2，且∠CAB＝90°，
故BC6．
故选：C．
3．（2025春 浙江期中）已知圆锥的轴截面顶角为θ，侧面展开扇形的圆心角为2π﹣θ，则θ为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在
【解答】解：由题意圆锥的轴截面顶角为θ，侧面展开扇形的圆心角为2π﹣θ，
设圆锥的母线长为l（l＞0），则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长C＝l（2π﹣θ），
因此，则，
若，则，，显然不满足，故舍去；
若，所以，所以，则，
又，不满足，故舍去；
若，令，，
则f（θ）在上单调递增，又，，
所以存在，使得f（θ0）＝0．即在上有解，
符合题意；
综上可得θ为钝角．
故选：C．
4．（2025 冀州区校级模拟）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C．π D．2π
【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，高为h，
由于圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则有2πr＝2π，
解可得r，
则圆锥的高h＝1，
故该圆锥的体积Vπr2h＝π．
故选：C．
5．（2025 昭通校级模拟）已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形ABCD，AB＝4，CD＝2，则在该圆台的侧距上，从点A到C的最短路径的长度为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．3
【解答】解：由AB＝4，CD＝2，得圆台的下底面的半径为2，上底面的半径为1，
设圆台的高为h，由圆台的体积为，得，所以，
在梯形ABCD中，则，如图，延长AD，BC，OO1交于点P，
由△PDC∽△PAB，得，所以PC＝3，
设该圆台的侧面展开图的圆心角为α，则3α＝2π，所以，
连接AC，PC，则从点A到C的最短路径为线段AC，
又PC＝3，PA＝6，，所以．
故选：B．
6．（2025春 河北期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列说法中正确的是（ ）
A．若M是C1D1的中点，AM与平面BB1D1D的交点为O，则A1，O，C三点共线
B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C．若P是B1D1上的动点，则D，P，B，C1四点共面
D．若Q是AD1上的动点，则A1Q+QB的最小值是
【解答】解：对于A，由题意，连接AD1，BC1，如图，
由于正方体ABCD﹣A1B1C1D1中C1D1∥AB，可得ABC1D1共面，
连接BD1，则AM 平面ABC1D1，
又O∈AM，则O∈平面ABC1D1，
由AM与平面BB1D1D的交点为O，
则O∈平面BB1D1D，可得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，
由C1D1∥CD∥AB，M为棱D1C1的中点，
可得D1M∥AB且，
故△OMD1∽△OAB，
于是得，即OB＝2OD1，
可得三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1，
而A1C与BD1交于BD1的中点，
所以三点A1，O，C不共线，故A错误；
对于B，以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如四面体B1﹣D1AC的体积为，故B正确；
对于C，设直线DP与直线BB1相交于点N，直线BC1在平面BB1C1C内，且不过点N，
所以由线线位置关系知，直线DP与BC1是异面直线，故C错误；
对于D，如图，
将平面A1AD1和平面BAD1展开到一个平面上，连接A1B交AD1于点Q，此时A1Q+QB最小，
在△A1AB中，A1A＝AB＝1，，由余弦定理可知，故D错误．
故选：B．
7．（2025春 如皋市月考）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ）
A．AB和C1D1 B．EF和CC1 C．AC和A1C1 D．AC和FC1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，AB和C1D1是平行直线，不符合题意；
对于B，EF和CC1是相交直线，不符合题意；
对于C，AC与A1C1是平行直线，不符合题意；
对于D，AC和FC1既不相交也不平行，是异面直线，符合题意．
故选：D．
8．（2025春 和平区校级期中）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
A．248πcm3 B．274πcm3 C．354πcm3 D．370πcm3
【解答】解：由题意花口盏及盏托是两个圆台与一个圆柱的组合体，
三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，
下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，
可得花口盏体积：，
盏托体积：，
所以组合体的体积．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 陕西校级期中）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【解答】解：对于A，如图所示，
上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误；
对于B，因为棱锥侧面全为三角形，所以若有一个面是平行四边形，则此面为底面，故该棱锥为四棱锥，B正确；
对于C，设圆锥母线长为l，则过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为，显然当，面积S最大，
故当圆锥的轴截面三角形顶角为钝角时，圆锥的轴截面面积不是最大的，故C错误；
对于D，根据棱台的特征可知，棱台是棱锥被平行于底面的平面截得，侧棱的延长线要交于同一点，
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 仙游县期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥C1﹣A1B1P的体积为4
C．三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为9π
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
【解答】解：对于A，由中位线可得EF∥AD1，在正方体中，AD1∥BC1，所以EF∥BC1，
所以B，C1，E，F四点共面，又因为EF≠BC1，所以截面EBC1F为梯形，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，三棱锥F﹣ACD的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积S＝4πR2＝9π，故C正确；
对于D，记CC1的中点为Q，如图所示，
若正方形BCC1B1沿着BB1展在平面ABB1A1，
在Rt△AC′Q中，AC′＝4，C′Q＝1．则，
若ABCD沿着CD展开到与平面CDD1C1重合，
在Rt△A′B′Q中，A′B′＝2，B′Q＝3，则，
综上，一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 南海区月考）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为2和4，高为，四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面，则（ ）
A．圆台的母线长为6
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为24π
D．圆台外接球的半径为4
【解答】解：∵圆台上下底面半径分别为2和4，高为，
则圆台的母线长为l，故A错误；
圆台的体积V，故B正确；
圆台的侧面积S，故C正确；
设圆台外接球球心到上底面的距离为x，可得，解得x，
则球的半径为4，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 回忆版）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
【解答】解：若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图，
则球的半径R＝4，此时4R＝16＞9，故不符合题意；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图，
则铁球半径R满足4R＝9，此时R；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图，
其中AC为轴截面对角线，O1、O2为两球球心，
分别过O1作AD的平行线，过O2作CD的平行线，两线交于点M，
设铁球半径为R，
则MO1＝8﹣2R，O2M＝9﹣2R，O1O2＝2R，
所以（9﹣2R）2+（8﹣2R）2＝4R2，
解得R或R（舍去），
故此时R．
综上，铁球半径的最大值为．
故答案为：．
13．（2025春 安康期中）已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为r．若AB＝2，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形，
因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，为，
不妨设该正六棱柱的高为h，那么有目，r取两者之中的较小者，
易得该正六棱柱的外接球半径为，
当时，，，
当，，，
所以时，取得最小值，
又因为一个等边三角形的面积为，
所以正六边形底面的面积为，
则该正六棱柱的体积为．
故答案为：．
14．（2024秋 上虞区期末）（如图甲）P﹣ABCD是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面ABCD为平行四边形．现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过CDEF，且E，F分别为棱PA，PB的中点，设棱锥P﹣ABCD的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 2 ．
【解答】解：将四棱锥补成平行六面体，如图所示：
设平行四面体的体积为V总，根据E，F分别为棱PA，PB的中点，设棱锥P﹣ABCD高为h，体积为V，
则S四边形BCMQ＝4S△BCG，由三棱柱BCG﹣ADE与平行六面体的高相同，得，
根据四棱锥P﹣ABCD与平行六面体底和高均相同，则VV总，即3V＝V总，
所以VF﹣BCGVBCG﹣ADE，
则V水VBCG﹣ADEV总3VV，
图甲中上方的小四棱锥高为h1，则，则，
故图甲中的水面高度为（1）h＝（1）×2＝2．
故答案为：2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 陕西校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若平面PDC∩平面PAB＝l，证明：l∥AB．
【解答】证明：（1）由题意，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，PM＝2MC．
在PD上取一点N，使得，
由于PM＝2MC，因此NM∥CD，且，
由于AB∥CD，AB＝2，CD＝3，故，
因此NM∥AB且NM＝AB，故四边形NMBA为平行四边形，
故BM∥AN，
BM 平面PAD，AN 平面PAD，
故BM∥平面PAD；
（2）证明：由于AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
故AB∥平面PCD，
又AB 平面PAB，平面PDC∩平面PAB＝l，
所以l∥AB．
16．（2025春 福州期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC﹣A1B1C1（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面BCC1B1落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．
（1）求挖掉的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求该几何体的表面积．
【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，高为2，
∴，
∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由（1）知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形BCC1B1的中心，设圆O半径为r，
则，得r＝2，
取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，且AE∥DO，
，OE＝1，
于是，解得DO＝6，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆的面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
∴该几何体的表面积为：
．
17．（2025春 永安市期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G分别是棱AB，BC，B1C1的中点．
（1）判断直线AG与直线EF，直线CG与平面ABB1A1的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：B1E∥平面ACG；
（3）在棱CC1上是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线AG与直线EF是异面直线，直线CG与平面ABB1A1相交；
（2）证明：取AC的中点为H，连接GH，EH，如图，
∵E、H、G分别是棱AB、AC、A1C1的中点，
∴EH∥BC且，B1G∥BC且，
∴EH∥B1G且EH＝B1G，
∴四边形EHGB1是平行四边形，∴EB1∥GH，
∵GH 平面ACG，B1E 平面ACG，∴B1E∥平面ACG；
（3）当点N为棱CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1．
证明：如图，
∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC
∵AC∥A1C1，∴EF∥A1C1，
∵EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1，
∵N，F分别是棱CC1，BC的中点，∴NF∥BC1，
∵NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，∴NF∥平面A1BC1，
∵EF∩NF＝F，∴平面NEF∥平面A1BC1．
18．（2025春 南海区月考）如图1，内壁光滑且透明的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4．容器厚度不计．当其水平放置时，水面恰好过AA1，BB1，CC1，DD1的中点E，F，G，H．现在固定容器一边BC于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同．容器绕BC从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱AD的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱AA1，BB1，CC1，DD1分别交于点A2，B2，C2，D2．假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动．
（1）证明：AA2+BB2是定值；
（2）已知水面A2B2C2D2是矩形面，求水面A2B2C2D2面积的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为水的部分在旋转过程中，四棱柱ABFE﹣CDGH的底面积与四棱柱ABB2A2﹣DCC2D2的高为4的棱柱，
因为水的体积为定值，所以ABFE与底面ABB2A2A的面积相等且为定值，而底面梯形ABB2A2的高AB也为定值，
所以底面梯形ABB2A2中，AA2+BB2是定值；
（2）根据题意可得水面A2B2C2D2面积为B2C2×C2D2＝4C2D2，
又水的体积为正方体的体积的一半，所以C2D2∈（4，），
所以水面A2B2C2D2面积的取值范围为（16，）．
19．（2025春 双阳区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC．
（1）求证：点E是PB的中点；
（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面EOG∥平面PCD？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，
AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝EO，PD 平面PBD，
∴PD∥EO，
∴，∴点E是PB的中点．
（2）存在点G，使得平面EOG∥平面PCD，此时，
∵，∴G为BC中点，
∵点O是BD的中点，∴CD∥GO
又CD 平面PCD，GO 平面PCD，
∴GO∥平面PCD，
由（1）知PD∥EO，同理可得，EO∥平面PCD，
又EO∩GO＝O，EO，GO 平面EOG，
∴在棱BC上存在点G，使得平面EOG∥平面PCD，．
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【期末章节复习】立体几何初步-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 云南期中）下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体
B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面
D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
2．（2025春 贵州期中）如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则△ABC的边BC＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
3．（2025春 浙江期中）已知圆锥的轴截面顶角为θ，侧面展开扇形的圆心角为2π﹣θ，则θ为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在
4．（2025 冀州区校级模拟）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C．π D．2π
5．（2025 昭通校级模拟）已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形ABCD，AB＝4，CD＝2，则在该圆台的侧距上，从点A到C的最短路径的长度为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．3
6．（2025春 河北期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列说法中正确的是（ ）
A．若M是C1D1的中点，AM与平面BB1D1D的交点为O，则A1，O，C三点共线
B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C．若P是B1D1上的动点，则D，P，B，C1四点共面
D．若Q是AD1上的动点，则A1Q+QB的最小值是
7．（2025春 如皋市月考）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ）
A．AB和C1D1 B．EF和CC1 C．AC和A1C1 D．AC和FC1
8．（2025春 和平区校级期中）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
A．248πcm3 B．274πcm3 C．354πcm3 D．370πcm3
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 陕西校级期中）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
（多选）10．（2025春 仙游县期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥C1﹣A1B1P的体积为4
C．三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为9π
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
（多选）11．（2025春 南海区月考）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为2和4，高为，四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面，则（ ）
A．圆台的母线长为6
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为24π
D．圆台外接球的半径为4
三．填空题（共3小题）
12．（2025 回忆版）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
13．（2025春 安康期中）已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为r．若AB＝2，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ．
14．（2024秋 上虞区期末）（如图甲）P﹣ABCD是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面ABCD为平行四边形．现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过CDEF，且E，F分别为棱PA，PB的中点，设棱锥P﹣ABCD的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 陕西校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若平面PDC∩平面PAB＝l，证明：l∥AB．
16．（2025春 福州期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC﹣A1B1C1（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面BCC1B1落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．
（1）求挖掉的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求该几何体的表面积．
17．（2025春 永安市期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G分别是棱AB，BC，B1C1的中点．
（1）判断直线AG与直线EF，直线CG与平面ABB1A1的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：B1E∥平面ACG；
（3）在棱CC1上是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
18．（2025春 南海区月考）如图1，内壁光滑且透明的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4．容器厚度不计．当其水平放置时，水面恰好过AA1，BB1，CC1，DD1的中点E，F，G，H．现在固定容器一边BC于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同．容器绕BC从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱AD的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱AA1，BB1，CC1，DD1分别交于点A2，B2，C2，D2．假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动．
（1）证明：AA2+BB2是定值；
（2）已知水面A2B2C2D2是矩形面，求水面A2B2C2D2面积的取值范围．
19．（2025春 双阳区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC．
（1）求证：点E是PB的中点；
（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面EOG∥平面PCD？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
【期末章节复习】立体几何初步-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C C B B D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 云南期中）下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体
B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面
D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形
【解答】解：选项A，正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，但侧棱与底面边长不一定相等，
所以正四棱柱不一定是正方体，故选项A错误；
选项B，圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故选项B错误；
选项C，面数最少的棱柱是三棱柱，共有5个面，所以一个棱柱至少有5个面，故选项C正确；
选项D，正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故选项D错误．
故选：C．
2．（2025春 贵州期中）如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则△ABC的边BC＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【解答】解：根据题意，直观图△A′B′C′中，A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，
则A′C′2，
原图中，AC∥y轴，AB∥x轴，AC＝4，AB＝2，且∠CAB＝90°，
故BC6．
故选：C．
3．（2025春 浙江期中）已知圆锥的轴截面顶角为θ，侧面展开扇形的圆心角为2π﹣θ，则θ为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在
【解答】解：由题意圆锥的轴截面顶角为θ，侧面展开扇形的圆心角为2π﹣θ，
设圆锥的母线长为l（l＞0），则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长C＝l（2π﹣θ），
因此，则，
若，则，，显然不满足，故舍去；
若，所以，所以，则，
又，不满足，故舍去；
若，令，，
则f（θ）在上单调递增，又，，
所以存在，使得f（θ0）＝0．即在上有解，
符合题意；
综上可得θ为钝角．
故选：C．
4．（2025 冀州区校级模拟）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C．π D．2π
【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，高为h，
由于圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则有2πr＝2π，
解可得r，
则圆锥的高h＝1，
故该圆锥的体积Vπr2h＝π．
故选：C．
5．（2025 昭通校级模拟）已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形ABCD，AB＝4，CD＝2，则在该圆台的侧距上，从点A到C的最短路径的长度为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．3
【解答】解：由AB＝4，CD＝2，得圆台的下底面的半径为2，上底面的半径为1，
设圆台的高为h，由圆台的体积为，得，所以，
在梯形ABCD中，则，如图，延长AD，BC，OO1交于点P，
由△PDC∽△PAB，得，所以PC＝3，
设该圆台的侧面展开图的圆心角为α，则3α＝2π，所以，
连接AC，PC，则从点A到C的最短路径为线段AC，
又PC＝3，PA＝6，，所以．
故选：B．
6．（2025春 河北期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列说法中正确的是（ ）
A．若M是C1D1的中点，AM与平面BB1D1D的交点为O，则A1，O，C三点共线
B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C．若P是B1D1上的动点，则D，P，B，C1四点共面
D．若Q是AD1上的动点，则A1Q+QB的最小值是
【解答】解：对于A，由题意，连接AD1，BC1，如图，
由于正方体ABCD﹣A1B1C1D1中C1D1∥AB，可得ABC1D1共面，
连接BD1，则AM 平面ABC1D1，
又O∈AM，则O∈平面ABC1D1，
由AM与平面BB1D1D的交点为O，
则O∈平面BB1D1D，可得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，
由C1D1∥CD∥AB，M为棱D1C1的中点，
可得D1M∥AB且，
故△OMD1∽△OAB，
于是得，即OB＝2OD1，
可得三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1，
而A1C与BD1交于BD1的中点，
所以三点A1，O，C不共线，故A错误；
对于B，以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如四面体B1﹣D1AC的体积为，故B正确；
对于C，设直线DP与直线BB1相交于点N，直线BC1在平面BB1C1C内，且不过点N，
所以由线线位置关系知，直线DP与BC1是异面直线，故C错误；
对于D，如图，
将平面A1AD1和平面BAD1展开到一个平面上，连接A1B交AD1于点Q，此时A1Q+QB最小，
在△A1AB中，A1A＝AB＝1，，由余弦定理可知，故D错误．
故选：B．
7．（2025春 如皋市月考）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ）
A．AB和C1D1 B．EF和CC1 C．AC和A1C1 D．AC和FC1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，AB和C1D1是平行直线，不符合题意；
对于B，EF和CC1是相交直线，不符合题意；
对于C，AC与A1C1是平行直线，不符合题意；
对于D，AC和FC1既不相交也不平行，是异面直线，符合题意．
故选：D．
8．（2025春 和平区校级期中）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
A．248πcm3 B．274πcm3 C．354πcm3 D．370πcm3
【解答】解：由题意花口盏及盏托是两个圆台与一个圆柱的组合体，
三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，
下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，
可得花口盏体积：，
盏托体积：，
所以组合体的体积．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 陕西校级期中）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【解答】解：对于A，如图所示，
上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误；
对于B，因为棱锥侧面全为三角形，所以若有一个面是平行四边形，则此面为底面，故该棱锥为四棱锥，B正确；
对于C，设圆锥母线长为l，则过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为，显然当，面积S最大，
故当圆锥的轴截面三角形顶角为钝角时，圆锥的轴截面面积不是最大的，故C错误；
对于D，根据棱台的特征可知，棱台是棱锥被平行于底面的平面截得，侧棱的延长线要交于同一点，
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 仙游县期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥C1﹣A1B1P的体积为4
C．三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为9π
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
【解答】解：对于A，由中位线可得EF∥AD1，在正方体中，AD1∥BC1，所以EF∥BC1，
所以B，C1，E，F四点共面，又因为EF≠BC1，所以截面EBC1F为梯形，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，三棱锥F﹣ACD的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积S＝4πR2＝9π，故C正确；
对于D，记CC1的中点为Q，如图所示，
若正方形BCC1B1沿着BB1展在平面ABB1A1，
在Rt△AC′Q中，AC′＝4，C′Q＝1．则，
若ABCD沿着CD展开到与平面CDD1C1重合，
在Rt△A′B′Q中，A′B′＝2，B′Q＝3，则，
综上，一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025春 南海区月考）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为2和4，高为，四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面，则（ ）
A．圆台的母线长为6
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为24π
D．圆台外接球的半径为4
【解答】解：∵圆台上下底面半径分别为2和4，高为，
则圆台的母线长为l，故A错误；
圆台的体积V，故B正确；
圆台的侧面积S，故C正确；
设圆台外接球球心到上底面的距离为x，可得，解得x，
则球的半径为4，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 回忆版）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
【解答】解：若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图，
则球的半径R＝4，此时4R＝16＞9，故不符合题意；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图，
则铁球半径R满足4R＝9，此时R；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图，
其中AC为轴截面对角线，O1、O2为两球球心，
分别过O1作AD的平行线，过O2作CD的平行线，两线交于点M，
设铁球半径为R，
则MO1＝8﹣2R，O2M＝9﹣2R，O1O2＝2R，
所以（9﹣2R）2+（8﹣2R）2＝4R2，
解得R或R（舍去），
故此时R．
综上，铁球半径的最大值为．
故答案为：．
13．（2025春 安康期中）已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为r．若AB＝2，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形，
因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，为，
不妨设该正六棱柱的高为h，那么有目，r取两者之中的较小者，
易得该正六棱柱的外接球半径为，
当时，，，
当，，，
所以时，取得最小值，
又因为一个等边三角形的面积为，
所以正六边形底面的面积为，
则该正六棱柱的体积为．
故答案为：．
14．（2024秋 上虞区期末）（如图甲）P﹣ABCD是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面ABCD为平行四边形．现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过CDEF，且E，F分别为棱PA，PB的中点，设棱锥P﹣ABCD的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 2 ．
【解答】解：将四棱锥补成平行六面体，如图所示：
设平行四面体的体积为V总，根据E，F分别为棱PA，PB的中点，设棱锥P﹣ABCD高为h，体积为V，
则S四边形BCMQ＝4S△BCG，由三棱柱BCG﹣ADE与平行六面体的高相同，得，
根据四棱锥P﹣ABCD与平行六面体底和高均相同，则VV总，即3V＝V总，
所以VF﹣BCGVBCG﹣ADE，
则V水VBCG﹣ADEV总3VV，
图甲中上方的小四棱锥高为h1，则，则，
故图甲中的水面高度为（1）h＝（1）×2＝2．
故答案为：2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 陕西校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）若平面PDC∩平面PAB＝l，证明：l∥AB．
【解答】证明：（1）由题意，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，PM＝2MC．
在PD上取一点N，使得，
由于PM＝2MC，因此NM∥CD，且，
由于AB∥CD，AB＝2，CD＝3，故，
因此NM∥AB且NM＝AB，故四边形NMBA为平行四边形，
故BM∥AN，
BM 平面PAD，AN 平面PAD，
故BM∥平面PAD；
（2）证明：由于AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
故AB∥平面PCD，
又AB 平面PAB，平面PDC∩平面PAB＝l，
所以l∥AB．
16．（2025春 福州期中）如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC﹣A1B1C1（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面BCC1B1落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．
（1）求挖掉的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求该几何体的表面积．
【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，高为2，
∴，
∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由（1）知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形BCC1B1的中心，设圆O半径为r，
则，得r＝2，
取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，且AE∥DO，
，OE＝1，
于是，解得DO＝6，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆的面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
∴该几何体的表面积为：
．
17．（2025春 永安市期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G分别是棱AB，BC，B1C1的中点．
（1）判断直线AG与直线EF，直线CG与平面ABB1A1的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：B1E∥平面ACG；
（3）在棱CC1上是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线AG与直线EF是异面直线，直线CG与平面ABB1A1相交；
（2）证明：取AC的中点为H，连接GH，EH，如图，
∵E、H、G分别是棱AB、AC、A1C1的中点，
∴EH∥BC且，B1G∥BC且，
∴EH∥B1G且EH＝B1G，
∴四边形EHGB1是平行四边形，∴EB1∥GH，
∵GH 平面ACG，B1E 平面ACG，∴B1E∥平面ACG；
（3）当点N为棱CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1．
证明：如图，
∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC
∵AC∥A1C1，∴EF∥A1C1，
∵EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1，
∵N，F分别是棱CC1，BC的中点，∴NF∥BC1，
∵NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，∴NF∥平面A1BC1，
∵EF∩NF＝F，∴平面NEF∥平面A1BC1．
18．（2025春 南海区月考）如图1，内壁光滑且透明的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4．容器厚度不计．当其水平放置时，水面恰好过AA1，BB1，CC1，DD1的中点E，F，G，H．现在固定容器一边BC于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同．容器绕BC从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱AD的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱AA1，BB1，CC1，DD1分别交于点A2，B2，C2，D2．假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动．
（1）证明：AA2+BB2是定值；
（2）已知水面A2B2C2D2是矩形面，求水面A2B2C2D2面积的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为水的部分在旋转过程中，四棱柱ABFE﹣CDGH的底面积与四棱柱ABB2A2﹣DCC2D2的高为4的棱柱，
因为水的体积为定值，所以ABFE与底面ABB2A2A的面积相等且为定值，而底面梯形ABB2A2的高AB也为定值，
所以底面梯形ABB2A2中，AA2+BB2是定值；
（2）根据题意可得水面A2B2C2D2面积为B2C2×C2D2＝4C2D2，
又水的体积为正方体的体积的一半，所以C2D2∈（4，），
所以水面A2B2C2D2面积的取值范围为（16，）．
19．（2025春 双阳区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC．
（1）求证：点E是PB的中点；
（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面EOG∥平面PCD？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，
AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝EO，PD 平面PBD，
∴PD∥EO，
∴，∴点E是PB的中点．
（2）存在点G，使得平面EOG∥平面PCD，此时，
∵，∴G为BC中点，
∵点O是BD的中点，∴CD∥GO
又CD 平面PCD，GO 平面PCD，
∴GO∥平面PCD，
由（1）知PD∥EO，同理可得，EO∥平面PCD，
又EO∩GO＝O，EO，GO 平面EOG，
∴在棱BC上存在点G，使得平面EOG∥平面PCD，．
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