【期末章节复习】平行四边形（含答案）-2024-2025学年数学八年级下册人教版

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【期末章节复行四边形-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2025 海州区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的边长为（　　）
A．5cm B．7cm C．10cm D．14cm
2．（2025 商水县二模）如图，在 ABCD中，∠BAD与∠CDA的平分线相交于点O，且分别交BC于点E，F．OP为△OEF的中线．已知BF＝3，OP＝2，则 ABCD的周长为（　　）
A．12 B．17 C．28 D．34
3．（2025 鹿邑县三模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．（2025 广州二模）如图，菱形ABDC的顶点A（﹣1，0），B（3，0）在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形ABDC的面积是（　　）
A．16 B． C．12 D．
5．（2025春 右玉县期中）如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB∥CD D．∠B＝∠1
6．（2024秋 广饶县期末）如图：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH的长是（　　）
A．10 B．96
C．9.6 D．以上都不对
7．（2024秋 襄都区期末）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若AB⊥BC，且AC＝10千米，在AC上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　）
A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米
8．（2025春 金安区校级期中）如图在平行四边形中，AB＝a，BC＝b，对角线相交于O点，过O点作EO⊥BD交BC于E，则△CDE周长为（　　）
A．a+b B．ab C．2（a+b） D．2（b﹣a）
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 鱼台县期中）如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝2.5，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　 　 ．
10．（2025春 禹州市期中）在 ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠B＝68°，则∠DAE＝ 　 　 ．
11．（2024秋 永寿县校级期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠B＝60°，则A，C两点间的距离为 　 　 ．
12．（2024秋 莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边AD、CD的中点，连接MN、OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为 　 　 ．
13．（2025春 巴彦县月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于E，点F、N分别为AE、AD的中点，则FN的长度为 　 　 ．
14．（2025春 西华县期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，AB＝4，E为AD边上一点，AE＝6，连接CE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t的值为 　 　 时，△PCE为直角三角形．
15．（2025春 右玉县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC交BC于点E，若BC＝3，CD＝2，则△ABE的周长为 　 　 ．
16．（2025春 息县期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6BC＝8，点E、F、G分别是AD、BD、DC的中点，连接EG，则EG的长为 　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 惠阳区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BC边上，满足CE＝CO．若AB＝6，BC＝8，求BE的长．
18．（2025 仪征市三模）如图，四边形ABCD是菱形，点G、H在线段AC上，且AG＝GH＝HC．
（1）判断四边形DGBH的形状，并说明理由；
（2）当的值为 　 　 时，四边形ABCD是正方形（直接写出结果，不需要证明）．
19．（2025 临沧模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，四边形BECO的周长为14，求四边形BECO的面积．
20．（2025春 鱼台县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求OE的长．
21．（2025春 文水县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以3cm/s的速度向点B运动，到点B停止运动，点Q以2cm/s速度向点D运动，到点D停止运动，设运动时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形APQD是矩形？并说明理由．
（2）连接QB，当t为何值时，PQ＝BQ？
22．（2025春 忻府区期中）同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．书中的提示是：取AB的中点G，连接EG，这样易证△AGE≌△ECF后得到AE＝EF．在此基础上，请同学们探究以下问题：
（1）如图（2），点E是边BC上（除点B、C外）的任意一点，其它条件不变，AE＝EF的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
（2）如图（3），点E是BC的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，AE＝EF的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D B C C C A
一．选择题（共8小题）
1．（2025 海州区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的边长为（　　）
A．5cm B．7cm C．10cm D．14cm
【解答】解：由题意可得：，，
∴Rt△AOD中，，
即菱形的边长是5cm．
故选：A．
2．（2025 商水县二模）如图，在 ABCD中，∠BAD与∠CDA的平分线相交于点O，且分别交BC于点E，F．OP为△OEF的中线．已知BF＝3，OP＝2，则 ABCD的周长为（　　）
A．12 B．17 C．28 D．34
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠OAD+∠ODA＝90°，
∴∠AOD＝∠EOF＝90°，
∵OP是Rt△OEF的中线，
∴，
∴OP＝EP＝FP，
∵BF＝3，OP＝2，
∴BE＝BF+EP+FP＝3+2+2＝7，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵BE＝7，
∴AB＝CD＝BE＝7，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF，
∵CD＝AB＝7，BF＝3，
∴BC＝CF+BF＝7+3＝10，
ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝2×（7+10）＝34，
故选：D．
3．（2025 鹿邑县三模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD
【解答】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
B、已知四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时 ABCD为矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
C、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
D、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴不能判定 ABCD为矩形，
故该选项符合题意．
故选：D．
4．（2025 广州二模）如图，菱形ABDC的顶点A（﹣1，0），B（3，0）在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形ABDC的面积是（　　）
A．16 B． C．12 D．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△ACO中，AC＝4，AO＝1，
∴CO，
∴菱形ABDC的面积是＝AB CO＝4．
故选：B．
5．（2025春 右玉县期中）如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB∥CD D．∠B＝∠1
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是平行四边形，
还需添加一个条件是：AC＝BD或AB∥CD．
故选C．
6．（2024秋 广饶县期末）如图：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH的长是（　　）
A．10 B．96
C．9.6 D．以上都不对
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，AO＝OCAC＝8，BO＝BDBD＝6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB10，
∵S菱形ABCDAC×BD＝AB×DH，
∴16×12＝10DH，
∴DH＝9.6，
故选：C．
7．（2024秋 襄都区期末）如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若AB⊥BC，且AC＝10千米，在AC上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到B村的距离为（　　）
A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵水源D到A，C两个村庄的距离相等，
∴BDAC＝5（千米），
故选：C．
8．（2025春 金安区校级期中）如图在平行四边形中，AB＝a，BC＝b，对角线相交于O点，过O点作EO⊥BD交BC于E，则△CDE周长为（　　）
A．a+b B．ab C．2（a+b） D．2（b﹣a）
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD＝a，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝CD+BE+EC＝CD+BC，
∵CD＝a，BC＝b，
∴△CDE的周长＝a+b，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 鱼台县期中）如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝2.5，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　4.5　 ．
【解答】解：在 ABCD中，
∴AD＝BC，BC∥AD，
∴∠CBA＝∠BAE，
由条件可知∠CBA＝∠EBA，
∴∠BAE＝∠EBA，
∴BE＝AE，
∴DE＝AD+AE＝4.5，
故答案为：4.5．
10．（2025春 禹州市期中）在 ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠B＝68°，则∠DAE＝ 　22°　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝68°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣68°＝22°．
故答案为：22°．
11．（2024秋 永寿县校级期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠B＝60°，则A，C两点间的距离为 　2　 ．
【解答】解：∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB＝2，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴A，C两点间的距离为2，
故答案为：2．
12．（2024秋 莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边AD、CD的中点，连接MN、OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为 　2.5　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴∠AOD＝90°，
∵MN＝3，点M、N分别是边AD、CD的中点，
∴AC＝2MN＝6，
∴AO＝CO＝3，
∵，
∴BD＝8，
∴DO＝BO＝4，
∴，
∴，
故答案为：2.5．
13．（2025春 巴彦县月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于E，点F、N分别为AE、AD的中点，则FN的长度为 　2.5　 ．
【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，BC＝AD＝7，AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝7﹣4＝3，
∴DE5，
∵点F、N分别为AE、AD的中点，
∴FN是△ADE的中位线，
∴FNDE＝2.5．
故答案为：2.5．
14．（2025春 西华县期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，AB＝4，E为AD边上一点，AE＝6，连接CE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t的值为 　或6　 时，△PCE为直角三角形．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AD＝9，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝9，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵E为AD边上一点，且AE＝6，
∴DE＝AD﹣AE＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE5，
依题意得：BP＝t，
∴PC＝BC﹣BP＝9﹣t，
∵∠PCE＜∠BCD＝90°，
∴当△PCE是直角三角形时，有以下两种情况：
①当∠PEC＝90°时，过点P作PF⊥AD于点F，如图1所示：
∴∠PFA＝∠PFE＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形PFAB是矩形，
∴PF＝AB＝4，AF＝BP＝t，
∴EF＝AE﹣AF＝6﹣t，
在Rt△PEF和△PCE中，由勾股定理得：PE2＝PF2+EF2＝PC2﹣CE2，
∴42+（6﹣t）2＝（9﹣t）2﹣52，
解得：t；
②当∠CPE＝90°时，如图2所示：
∴∠CPE＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴四边形PEDC是矩形，
∴PC＝DE＝3，
∴9﹣t＝3，
解得：t＝6，
综上所述：当t为或6时，△PAE为直角三角形．
故答案为：或6．
15．（2025春 右玉县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC交BC于点E，若BC＝3，CD＝2，则△ABE的周长为 　5　 ．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴AB＝CD＝2，O为AC的中点，
∵EO⊥AC，
∴EO为AC的中垂线，
∴AE＝EC，
∵BC＝3，AB＝2，
∴△ABE的周长为＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝5，
故答案为：5．
16．（2025春 息县期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6BC＝8，点E、F、G分别是AD、BD、DC的中点，连接EG，则EG的长为 　5　 ．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴，
∵点E、G分别是AD、DC的中点，
∴EG是△DAC的中位线，
∴，
故答案为：5．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 惠阳区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BC边上，满足CE＝CO．若AB＝6，BC＝8，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC10，
∴CO＝AOAC＝5，
∵CE＝CO，
∴CE＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣5＝3．
18．（2025 仪征市三模）如图，四边形ABCD是菱形，点G、H在线段AC上，且AG＝GH＝HC．
（1）判断四边形DGBH的形状，并说明理由；
（2）当的值为 　　 时，四边形ABCD是正方形（直接写出结果，不需要证明）．
【解答】解：（1）四边形DGBH的形状是菱形，理由如下：
四边形ABCD是菱形，如图1连接AC，交BD于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵点E，F在直线BD上，AG＝GH＝HC，
∴OA﹣AG＝OC﹣OH，
∴OG＝OH，
∴四边形DGBH是平行四边形，
∵BD⊥GH，
∴四边形DGBH是菱形；
（2）解：当时，四边形ABCD是正方形；理由如下：
当四边形ABCD是正方形时，则AC＝BD，AC⊥BD，
设AC＝BD＝6a，
则AO＝CO＝BO＝DO＝3a，AG＝GH＝CH＝2a，
∴，
在直角三角形DOH中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
19．（2025 临沧模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，四边形BECO的周长为14，求四边形BECO的面积．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形BECO是平行四边形，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，矩形BECO的周长为14，
∴，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得OB2+OC2＝BC2＝25，
∴2OC OB＝（OC+OB）2﹣（OB2+OC2）＝49﹣25＝24，
∴OC OB＝12，
∴矩形BECO的面积为12．
20．（2025春 鱼台县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求OE的长．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DCA，∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴．
∵AB＝6，BD＝8，
∴．
在Rt△AOB中，AB＝6，OB＝4，
由勾股定理得：，
∴．
21．（2025春 文水县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以3cm/s的速度向点B运动，到点B停止运动，点Q以2cm/s速度向点D运动，到点D停止运动，设运动时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形APQD是矩形？并说明理由．
（2）连接QB，当t为何值时，PQ＝BQ？
【解答】解：（1）当t为时，四边形APQD是矩形，理由如下：
由题意知，CQ＝2t cm，AP＝3t cm，则DQ＝CD﹣CQ＝（13﹣2t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝13cm，AB∥CD，∠D＝90°，
当AP＝DQ时，四边形APQD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴平行四边形APQD是矩形，
∴3t＝13﹣2t，
解得：t，
即t为时，四边形APQD是矩形；
（2）由题意知，CQ＝2t cm，AP＝3t cm，
则PB＝AB﹣AP＝（13﹣3t）cm，
如图，过Q作QE⊥AB于点E，则∠QEB＝90°，
∵PQ＝BQ，
∴BEPB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠QEB＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴BE＝CQ＝2t cm，
∴2t（13﹣3t），
解得：t，
∴当t为时，PQ＝BQ．
22．（2025春 忻府区期中）同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．书中的提示是：取AB的中点G，连接EG，这样易证△AGE≌△ECF后得到AE＝EF．在此基础上，请同学们探究以下问题：
（1）如图（2），点E是边BC上（除点B、C外）的任意一点，其它条件不变，AE＝EF的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
（2）如图（3），点E是BC的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，AE＝EF的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）AE＝EF的结论还成立，理由如下．
如图，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF，
∴AE＝EF；
（2）AE＝EF的结论还成立，理由如下．
理由如下：如图，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
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