【期末章节复习】平面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教版A版（2019）必修第二册）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末章节复习】平面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教版A版（2019）必修第二册）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 497.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 23:21:36 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
【期末章节复面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教版A版（2019）必修第二册）
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 长沙期末）在△ABC中，已知bcosA＝acosB，判断△ABC的形状（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
2．（2024秋 锦州期末）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
3．（2013春 红山区校级期末）在边长为1的正三角形ABC中， （ ）
A． B． C． D．
4．（2018春 城关区校级期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝5，则（2） （ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
5．（2024春 科尔沁区校级期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春 资溪县校级期末）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024秋 北京校级期末）已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
8．（2019秋 闵行区校级期末）已知平面直角坐标系内的两个向量（1，2），（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成λμ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东校级月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025 鹰潭模拟）已知向量（2，3），（﹣4，m），则（ ）
A．若⊥，则
B．若m＝1，则
C．若（）∥，则m＝6
D．若m＝2，则在方向上的投影向量的坐标为
（多选）11．（2025 毕节市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），则（ ）
A．
B．△ABC的周长的最大值为
C．当b最大时，△ABC的面积为
D．b﹣c的取值范围为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 朝阳区校级三模）已知，且，则 ．
13．（2025春 安康期中）已知向量（1，﹣5），（x，6），满足⊥（2），则x＝ ．
14．（2025春 松江区校级月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，，用向量、表示 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东校级月考）已知向量．
（1）求与的夹角；
（2）求．
16．（2024秋 沈阳校级期末）如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
17．（2025春 广东月考）已知向量，，．
（1）互为_____；（直接填写所有符合题意的序号）
①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．
（2）证明（1）中你所选择的结论；
（3）判断能否作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，并说明理由．
18．（2025 开福区校级一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）＝a．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
19．（2025 河北模拟）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+B）＝cos（B+C）．
（1）若b＝c，求A；
（2）若a，b，c成等差数列，b＝2，求△ABC的面积．
【期末章节复面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教版A版（2019）必修第二册）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D D D B A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD AD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 长沙期末）在△ABC中，已知bcosA＝acosB，判断△ABC的形状（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：因为在△ABC中，bcosA＝acosB，
由正弦定理可知，sinBcosA＝sinAcosB，
所以sin（A﹣B）＝0，
因为A，B是三角形内角，
所以A＝B，三角形是等腰三角形．
故选：D．
2．（2024秋 锦州期末）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），
∴（1，m﹣1），
∵（）∥，
∴，
解得m＝﹣1．
故选：A．
3．（2013春 红山区校级期末）在边长为1的正三角形ABC中， （ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
故选：D．
4．（2018春 城关区校级期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝5，则（2） （ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【解答】解：∵已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝5，
∴2×5×cos120°＝﹣5，
故（2） 22×4+5＝13，
故选：D．
5．（2024春 科尔沁区校级期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选：D．
6．（2023春 资溪县校级期末）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（，1），D（0，1），
设，则λ∈[0，1]，
则，
又，
则x，y＝λ，
则xy，0≤λ≤1，
则xy的取值范围是[0，]，
故选：B．
7．（2024秋 北京校级期末）已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
8．（2019秋 闵行区校级期末）已知平面直角坐标系内的两个向量（1，2），（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成λμ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量
∵（1，2），（m，3m﹣2）
由向量、不共线
解之得m≠2
所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东校级月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不共线的两个向量可以作为一组基底，判断各选项是否共线即可，
对于A，由于﹣1×（﹣1）≠0，故不共线，可以作为一组基底；
对于B，由知共线，不可以作为基底；
对于C，由于2×4≠﹣1×5，故不共线，可以作为基底；
对于D，由于，即，
故，因此，当时，此时共线，不可以作为基底．
故选：BD．
（多选）10．（2025 鹰潭模拟）已知向量（2，3），（﹣4，m），则（ ）
A．若⊥，则
B．若m＝1，则
C．若（）∥，则m＝6
D．若m＝2，则在方向上的投影向量的坐标为
【解答】解：对于A，因为向量（2，3），（﹣4，m），且⊥，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为m＝1，所以，所以，故B错误；
对于C，因为，且（）∥，所以﹣2m＝﹣4（m+3），解得m＝﹣6，故C错误；
对于D，因为m＝2，所以（﹣4，2），，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025 毕节市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），则（ ）
A．
B．△ABC的周长的最大值为
C．当b最大时，△ABC的面积为
D．b﹣c的取值范围为
【解答】解：对于A，由（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），
结合正弦定理可得（a+b）（b﹣a）＝c（b﹣c），整理得b2+c2﹣a2＝bc，
所以，结合A∈（0，π），得，故A项错误；
对于B，因为，根据余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3，
即b2+c2﹣bc＝3，所以（b+c）2＝3+3bc≤3（b+c）2，
解得（b+c）2≤12，故，当且仅当b＝c时，等号成立．
所以△ABC的周长，当b＝c时，△ABC的周长的最大值为，故B项正确；
对于C，由正弦定理得，所以b＝2sinB≤2，
当且仅当时，b取最大值，此时，，故C项正确；
对于D，由前面的结论，可得b＝2sinB，c＝2sinC．
所以，
因为，即，
所以sin（B）∈（，），可得，故D项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 朝阳区校级三模）已知，且，则 ．
【解答】解：已知，且，
则．
故答案为：．
13．（2025春 安康期中）已知向量（1，﹣5），（x，6），满足⊥（2），则x＝ 82 ．
【解答】解：向量（1，﹣5），（x，6），
则，
满足⊥（2），
则，解得x＝82．
故答案为：82．
14．（2025春 松江区校级月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，，用向量、表示 ．
【解答】解：因为，所以BE：AE：AB＝3：4：5，不妨设BE＝3，AE＝4，AB＝5，
则cos∠EBC，cos∠EBA，
则在上的投影数量为||cos∠EBC，在上的投影数量为||cos∠EBA，
所以，故．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东校级月考）已知向量．
（1）求与的夹角；
（2）求．
【解答】解：（1）由于，
则，
又，则与的夹角为；
（2）向量，
则，
则．
16．（2024秋 沈阳校级期末）如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
【解答】解：（1）由题可知，
，
；
（2）证明：由．
可得，
因为，且有公共点M，
所以M，P，N三点共线．
17．（2025春 广东月考）已知向量，，．
（1）互为_____；（直接填写所有符合题意的序号）
①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．
（2）证明（1）中你所选择的结论；
（3）判断能否作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，并说明理由．
【解答】解：（1）③④；
（2）共线向量即平行向量，
对于，，有﹣2×（1，2）＝（﹣2，﹣4），
所以存在实数λ＝﹣2使得，即互为共线向量；
（3）能，理由如下：
不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，
假设存在实数m，n，使得，
展开得，可得方程组，
解得m＝n＝0，故当且仅当m＝n＝0时，成立，因此向量不共线，
可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量．
18．（2025 开福区校级一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）＝a．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
【解答】解：（1）根据余弦定理，可得ccosB+bcosC＝c b a，
由2cosA（ccosB+bcosC）＝a，得2acosA＝a，解得cosA，
结合A∈（0，π），可得A；
（2）根据余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4，即b2+c2﹣bc＝4…①，
由三角形的面积公式，可得S△ABCbcsinA，即bc②．
根据①②组成方程组，解得b＝c＝2．
19．（2025 河北模拟）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+B）＝cos（B+C）．
（1）若b＝c，求A；
（2）若a，b，c成等差数列，b＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）根据题意可知，sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝cos（B+C），所以sinC＝cos（B+C），又因为b＝c，所以B＝C，
所以sinC＝cos（C+C），即sinC＝﹣2sin2C+1，
所以2sin2C+sinC﹣1＝（2sinC﹣1）（sinC+1）＝0，且sinC＞0，所以，
所以，所以；
（2）因为sin（A+B）＝cos（B+C），所以sinC＝cos（B+C），所以sinC＝﹣cosA＞0，所以A为钝角，所以，
又因为a，b，c成等差数列，所以a+c＝2b，因为b＝2，所以a+c＝2b，
根据正弦定理得sinA+sinC＝2sinB，sinA+sinC＝2sin（A+C），所以，
所以cosC+sinC＝2cos2C＝2（cosC+sinC）（cosC﹣sinC），C为锐角，所以cosC+sinC＞0，
所以，左右平方得，所以，
由正弦定理得，所以，所以，
所以，
所以△ABC的面积为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【期末章节复面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教版A版（2019）必修第二册）
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 长沙期末）在△ABC中，已知bcosA＝acosB，判断△ABC的形状（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
2．（2024秋 锦州期末）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
3．（2013春 红山区校级期末）在边长为1的正三角形ABC中， （ ）
A． B． C． D．
4．（2018春 城关区校级期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝5，则（2） （ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
5．（2024春 科尔沁区校级期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春 资溪县校级期末）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024秋 北京校级期末）已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
8．（2019秋 闵行区校级期末）已知平面直角坐标系内的两个向量（1，2），（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成λμ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东校级月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025 鹰潭模拟）已知向量（2，3），（﹣4，m），则（ ）
A．若⊥，则
B．若m＝1，则
C．若（）∥，则m＝6
D．若m＝2，则在方向上的投影向量的坐标为
（多选）11．（2025 毕节市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），则（ ）
A．
B．△ABC的周长的最大值为
C．当b最大时，△ABC的面积为
D．b﹣c的取值范围为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 朝阳区校级三模）已知，且，则 ．
13．（2025春 安康期中）已知向量（1，﹣5），（x，6），满足⊥（2），则x＝ ．
14．（2025春 松江区校级月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，，用向量、表示 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东校级月考）已知向量．
（1）求与的夹角；
（2）求．
16．（2024秋 沈阳校级期末）如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
17．（2025春 广东月考）已知向量，，．
（1）互为_____；（直接填写所有符合题意的序号）
①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．
（2）证明（1）中你所选择的结论；
（3）判断能否作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，并说明理由．
18．（2025 开福区校级一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）＝a．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
19．（2025 河北模拟）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+B）＝cos（B+C）．
（1）若b＝c，求A；
（2）若a，b，c成等差数列，b＝2，求△ABC的面积．
【期末章节复面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教版A版（2019）必修第二册）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D D D B A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD AD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 长沙期末）在△ABC中，已知bcosA＝acosB，判断△ABC的形状（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：因为在△ABC中，bcosA＝acosB，
由正弦定理可知，sinBcosA＝sinAcosB，
所以sin（A﹣B）＝0，
因为A，B是三角形内角，
所以A＝B，三角形是等腰三角形．
故选：D．
2．（2024秋 锦州期末）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），
∴（1，m﹣1），
∵（）∥，
∴，
解得m＝﹣1．
故选：A．
3．（2013春 红山区校级期末）在边长为1的正三角形ABC中， （ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
故选：D．
4．（2018春 城关区校级期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝5，则（2） （ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【解答】解：∵已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝5，
∴2×5×cos120°＝﹣5，
故（2） 22×4+5＝13，
故选：D．
5．（2024春 科尔沁区校级期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选：D．
6．（2023春 资溪县校级期末）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（，1），D（0，1），
设，则λ∈[0，1]，
则，
又，
则x，y＝λ，
则xy，0≤λ≤1，
则xy的取值范围是[0，]，
故选：B．
7．（2024秋 北京校级期末）已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
8．（2019秋 闵行区校级期末）已知平面直角坐标系内的两个向量（1，2），（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成λμ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量
∵（1，2），（m，3m﹣2）
由向量、不共线
解之得m≠2
所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东校级月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不共线的两个向量可以作为一组基底，判断各选项是否共线即可，
对于A，由于﹣1×（﹣1）≠0，故不共线，可以作为一组基底；
对于B，由知共线，不可以作为基底；
对于C，由于2×4≠﹣1×5，故不共线，可以作为基底；
对于D，由于，即，
故，因此，当时，此时共线，不可以作为基底．
故选：BD．
（多选）10．（2025 鹰潭模拟）已知向量（2，3），（﹣4，m），则（ ）
A．若⊥，则
B．若m＝1，则
C．若（）∥，则m＝6
D．若m＝2，则在方向上的投影向量的坐标为
【解答】解：对于A，因为向量（2，3），（﹣4，m），且⊥，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为m＝1，所以，所以，故B错误；
对于C，因为，且（）∥，所以﹣2m＝﹣4（m+3），解得m＝﹣6，故C错误；
对于D，因为m＝2，所以（﹣4，2），，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025 毕节市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），则（ ）
A．
B．△ABC的周长的最大值为
C．当b最大时，△ABC的面积为
D．b﹣c的取值范围为
【解答】解：对于A，由（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），
结合正弦定理可得（a+b）（b﹣a）＝c（b﹣c），整理得b2+c2﹣a2＝bc，
所以，结合A∈（0，π），得，故A项错误；
对于B，因为，根据余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3，
即b2+c2﹣bc＝3，所以（b+c）2＝3+3bc≤3（b+c）2，
解得（b+c）2≤12，故，当且仅当b＝c时，等号成立．
所以△ABC的周长，当b＝c时，△ABC的周长的最大值为，故B项正确；
对于C，由正弦定理得，所以b＝2sinB≤2，
当且仅当时，b取最大值，此时，，故C项正确；
对于D，由前面的结论，可得b＝2sinB，c＝2sinC．
所以，
因为，即，
所以sin（B）∈（，），可得，故D项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 朝阳区校级三模）已知，且，则 ．
【解答】解：已知，且，
则．
故答案为：．
13．（2025春 安康期中）已知向量（1，﹣5），（x，6），满足⊥（2），则x＝ 82 ．
【解答】解：向量（1，﹣5），（x，6），
则，
满足⊥（2），
则，解得x＝82．
故答案为：82．
14．（2025春 松江区校级月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，，用向量、表示 ．
【解答】解：因为，所以BE：AE：AB＝3：4：5，不妨设BE＝3，AE＝4，AB＝5，
则cos∠EBC，cos∠EBA，
则在上的投影数量为||cos∠EBC，在上的投影数量为||cos∠EBA，
所以，故．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东校级月考）已知向量．
（1）求与的夹角；
（2）求．
【解答】解：（1）由于，
则，
又，则与的夹角为；
（2）向量，
则，
则．
16．（2024秋 沈阳校级期末）如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
【解答】解：（1）由题可知，
，
；
（2）证明：由．
可得，
因为，且有公共点M，
所以M，P，N三点共线．
17．（2025春 广东月考）已知向量，，．
（1）互为_____；（直接填写所有符合题意的序号）
①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．
（2）证明（1）中你所选择的结论；
（3）判断能否作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，并说明理由．
【解答】解：（1）③④；
（2）共线向量即平行向量，
对于，，有﹣2×（1，2）＝（﹣2，﹣4），
所以存在实数λ＝﹣2使得，即互为共线向量；
（3）能，理由如下：
不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，
假设存在实数m，n，使得，
展开得，可得方程组，
解得m＝n＝0，故当且仅当m＝n＝0时，成立，因此向量不共线，
可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量．
18．（2025 开福区校级一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）＝a．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
【解答】解：（1）根据余弦定理，可得ccosB+bcosC＝c b a，
由2cosA（ccosB+bcosC）＝a，得2acosA＝a，解得cosA，
结合A∈（0，π），可得A；
（2）根据余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4，即b2+c2﹣bc＝4…①，
由三角形的面积公式，可得S△ABCbcsinA，即bc②．
根据①②组成方程组，解得b＝c＝2．
19．（2025 河北模拟）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+B）＝cos（B+C）．
（1）若b＝c，求A；
（2）若a，b，c成等差数列，b＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）根据题意可知，sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝cos（B+C），所以sinC＝cos（B+C），又因为b＝c，所以B＝C，
所以sinC＝cos（C+C），即sinC＝﹣2sin2C+1，
所以2sin2C+sinC﹣1＝（2sinC﹣1）（sinC+1）＝0，且sinC＞0，所以，
所以，所以；
（2）因为sin（A+B）＝cos（B+C），所以sinC＝cos（B+C），所以sinC＝﹣cosA＞0，所以A为钝角，所以，
又因为a，b，c成等差数列，所以a+c＝2b，因为b＝2，所以a+c＝2b，
根据正弦定理得sinA+sinC＝2sinB，sinA+sinC＝2sin（A+C），所以，
所以cosC+sinC＝2cos2C＝2（cosC+sinC）（cosC﹣sinC），C为锐角，所以cosC+sinC＞0，
所以，左右平方得，所以，
由正弦定理得，所以，所以，
所以，
所以△ABC的面积为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)