【期末章节复习】三角恒等变换-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末章节复习】三角恒等变换-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 366.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 23:22:49 | ||
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文档简介
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【期末章节复习】三角恒等变换-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 贵州期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024秋 烟台期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025 雨花区校级模拟）设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 顺德区校级月考）已知，，则cos（）的值为（ ）
A． B．
C． D．或
5．（2025春 郫都区校级月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角α的终边过点，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 郫都区校级月考）设，则有（ ）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
7．（2025春 恩施州期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即，设，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025春 江苏校级期中）若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），其中2α，α+β，，k∈Z，则tan（α+β）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 长安区校级模拟）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025 罗湖区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，则（ ）
A．函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为π
B．函数关于对称
C．函数y＝f[g（x）]的值域为[﹣1，1]
D．函数y＝|f（x）+g（x）|在上是减函数
（多选）11．（2025春 甘肃校级期中）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°
B．sin105°cos75°
C．
D．sin50°（1tan10°）＝1
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 上海校级月考）已知，则 ．
13．（2025春 南京期中）已知α、β为锐角，，，则α+β＝ ．
14．（2025 泰安模拟）已知函数的最小正周期为π，f（x）在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线交于点C，D，且|AB|＝2|CD|，则a＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 洛南县校级月考）（1）已知α、β都是锐角，若，，求sinβ的值；
（2）已知，α∈（0，π），求的值．
16．（2025春 辽宁期中）已知．
（1）求tanα的值．
（2）已知α为第四象限角．
①求sinα，cosα的值；
②求的值．
17．（2025春 萍乡期中）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，求．
18．（2025春 齐齐哈尔校级期中）已知函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若，求f（2x0）的值．
19．（2025春 敦煌市校级期中）已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心、对称轴，f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最值；
（3）当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【期末章节复习】三角恒等变换-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C A C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 贵州期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由，可得tan2α，故充分性成立；
由，整理可得3tan2α﹣8tanα﹣3＝0，解得或tanα＝3，故必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2024秋 烟台期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：已知，
结合诱导公式及二倍角公式可得：．
故选：D．
3．（2025 雨花区校级模拟）设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由，得
故sinαcosβ+cosαsinβ＝cosα，
即sin（α+β）＝sin（），
由，，
得0＜α+β＜π，0，
则α或，
即2α+β或βπ，
故2α+β或β（舍）．
故选：A．
4．（2025春 顺德区校级月考）已知，，则cos（）的值为（ ）
A． B．
C． D．或
【解答】解：由于，，故sinα，
由两角和的余弦公式得，．
故选：C．
5．（2025春 郫都区校级月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角α的终边过点，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：若角α的终边过点，则tan，
tan2α．
故选：A．
6．（2025春 郫都区校级月考）设，则有（ ）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：，
，
，
因为函数y＝sinx在上为增函数，且0°＜24°＜26°＜32°＜90°，
故sin24°＜sin26°＜sin32°，即a＜c＜b．
故选：C．
7．（2025春 恩施州期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得m，
则，
由题意得，，
∴．
故选：C．
8．（2025春 江苏校级期中）若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），其中2α，α+β，，k∈Z，则tan（α+β）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，设，则，
所以sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），即sinx＝cos（x+y）siny，
所以sinx＝（cosxcosy﹣sinxsiny）siny＝cosxcosysiny﹣sinxsin2y，
所以cosxcosysiny﹣sinxsin2y﹣sinx＝cosxcosysiny﹣sinx（1+sin2y）＝0，
因为α+βkπ，k∈Z，所以cosx≠0，
将方程两边除以cosx得cosysiny﹣tanx（1+sin2y）＝0，
所以tanx，
令2y＝θ，k＝tanx，
所以k，则sinθ＝k（3﹣cosθ），
所以3k＝kcosθ+sinθsin（θ+φ），
其中tanφ＝k，又sin（θ+φ）≤1，
所以3k，解得k，
所以tan（α+β）的最大值为．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 长安区校级模拟）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，
将等式两边平方，可得1+2sinθcosθ＝1+sin2θ，
所以sin2θ＝2sinθcosθ0，故A正确；
所以sinθ＞0，cosθ＜0，
所以sinθ﹣cosθ，故B正确；
由，解得sinθ，cosθ，
则tanθ，故C正确；
因为∈（0，），可得sin，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（2025 罗湖区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，则（ ）
A．函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为π
B．函数关于对称
C．函数y＝f[g（x）]的值域为[﹣1，1]
D．函数y＝|f（x）+g（x）|在上是减函数
【解答】解：由已知，
因为，所以函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为π，故A正确；
因为正切函数的对称中心为，k∈Z，
当k＝﹣1时，y＝tanx的对称中心为，故B正确；
因为y＝f[g（x）]＝sin（cosx），
设t＝cosx，所以y＝sint，t∈[﹣1，1]，因为y＝sint在t∈[﹣1，1]上单调递增，所以值域为[﹣sinl，sinl]，
所以y＝sin（cosx）的值域为[﹣sinl，sinl]，故C错误；
，
设，因为，所以，
所以，，
因为当时，，所以，
又当时，单调递增，所以在上单调递减，
即在上是减函数，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025春 甘肃校级期中）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°
B．sin105°cos75°
C．
D．sin50°（1tan10°）＝1
【解答】解：A，cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝cos28°cos32°﹣sin28°sin32°＝cos（28°+32°）＝cos60°，即A正确；
B，sin105°cos75°＝sin75°cos75°sin150°，即B错误；
C，tan（45°+15°）＝tan60°，即C正确；
D，sin50°（1tan10°）＝sin50°（1 ）＝sin50°
＝sin50° sin50° 1，即D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 上海校级月考）已知，则 ．
【解答】解：由，
所以
．
故答案为：．
13．（2025春 南京期中）已知α、β为锐角，，，则α+β＝ ．
【解答】解：已知，
又β为锐角，
故，
故，
故，
又α、β为锐角，
故α+β∈（0，π），
故．
故答案为：．
14．（2025 泰安模拟）已知函数的最小正周期为π，f（x）在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线交于点C，D，且|AB|＝2|CD|，则a＝ ．
【解答】解：因为
．
又函数最小正周期为π，且ω＞0，所以ω＝1，，
当时，，所以0，
，的草图如下：
函数f（x）图象关于直线对称．
设|CD|＝2t，则，，，
所以，
可化为，
由二倍角公式可得，，
解得或（舍去）．
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 洛南县校级月考）（1）已知α、β都是锐角，若，，求sinβ的值；
（2）已知，α∈（0，π），求的值．
【解答】解：（1）∵已知α、β都是锐角，且，
∴，0＜α+β＜π，
∵，
∴，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα；
（2）因为①，
所以，即，所以，
又α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＞0，故，
故，所以②，
由①②解得，
所以，，
故．
16．（2025春 辽宁期中）已知．
（1）求tanα的值．
（2）已知α为第四象限角．
①求sinα，cosα的值；
②求的值．
【解答】解：（1）由，
得3tan2α﹣8tanα﹣3＝（3tanα+1）（tanα﹣3）＝0，解得或3；
（2）①由题意得，且sinα＜0，cosα＞0，
由得
②
．
17．（2025春 萍乡期中）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，求．
【解答】解：（1）已知．
则cosα；
（2）若，
则，
则．
18．（2025春 齐齐哈尔校级期中）已知函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若，求f（2x0）的值．
【解答】解：（1）f（x）＝sinx（cosx+sinx）sinxcosx+sin2x
cos2x＝sin（2x），
故函数f（x）的值域为[﹣2，2]；
（2）若sin（2x0），
因为，
所以，且sin（2x0），
所以cos（2x0），
所以sin（）＝2sin（2x0）cos（2x0）＝2，
cos（）＝2cos2（2x0）﹣1＝2，
则f（2x0）＝sin（4x0）＝sin（4x0）sin（4x0）cos（4x0）
．
19．（2025春 敦煌市校级期中）已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心、对称轴，f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最值；
（3）当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得f（x），
令，解得，即对称中心为，
令，解得，即对称轴为，k∈Z，
由，可得，即增区间为；
（2）当时，可得，
可得，可得f（x）的最大值为1，最小值为；
（3）由题意可得msinx﹣cos2x＝msinx﹣1+2sin2x，
令t＝sinx，由，可得，
原不等式等价于2t2+mt﹣1≥2有解，即在上有解，
由于在上均为减函数，
可得为减函数，
可得，可得m≥1，即实数m的取值范围为[1，+∞）．
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【期末章节复习】三角恒等变换-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 贵州期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024秋 烟台期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025 雨花区校级模拟）设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 顺德区校级月考）已知，，则cos（）的值为（ ）
A． B．
C． D．或
5．（2025春 郫都区校级月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角α的终边过点，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 郫都区校级月考）设，则有（ ）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
7．（2025春 恩施州期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即，设，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025春 江苏校级期中）若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），其中2α，α+β，，k∈Z，则tan（α+β）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 长安区校级模拟）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025 罗湖区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，则（ ）
A．函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为π
B．函数关于对称
C．函数y＝f[g（x）]的值域为[﹣1，1]
D．函数y＝|f（x）+g（x）|在上是减函数
（多选）11．（2025春 甘肃校级期中）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°
B．sin105°cos75°
C．
D．sin50°（1tan10°）＝1
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 上海校级月考）已知，则 ．
13．（2025春 南京期中）已知α、β为锐角，，，则α+β＝ ．
14．（2025 泰安模拟）已知函数的最小正周期为π，f（x）在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线交于点C，D，且|AB|＝2|CD|，则a＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 洛南县校级月考）（1）已知α、β都是锐角，若，，求sinβ的值；
（2）已知，α∈（0，π），求的值．
16．（2025春 辽宁期中）已知．
（1）求tanα的值．
（2）已知α为第四象限角．
①求sinα，cosα的值；
②求的值．
17．（2025春 萍乡期中）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，求．
18．（2025春 齐齐哈尔校级期中）已知函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若，求f（2x0）的值．
19．（2025春 敦煌市校级期中）已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心、对称轴，f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最值；
（3）当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【期末章节复习】三角恒等变换-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C A C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 贵州期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由，可得tan2α，故充分性成立；
由，整理可得3tan2α﹣8tanα﹣3＝0，解得或tanα＝3，故必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2024秋 烟台期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：已知，
结合诱导公式及二倍角公式可得：．
故选：D．
3．（2025 雨花区校级模拟）设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由，得
故sinαcosβ+cosαsinβ＝cosα，
即sin（α+β）＝sin（），
由，，
得0＜α+β＜π，0，
则α或，
即2α+β或βπ，
故2α+β或β（舍）．
故选：A．
4．（2025春 顺德区校级月考）已知，，则cos（）的值为（ ）
A． B．
C． D．或
【解答】解：由于，，故sinα，
由两角和的余弦公式得，．
故选：C．
5．（2025春 郫都区校级月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角α的终边过点，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：若角α的终边过点，则tan，
tan2α．
故选：A．
6．（2025春 郫都区校级月考）设，则有（ ）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：，
，
，
因为函数y＝sinx在上为增函数，且0°＜24°＜26°＜32°＜90°，
故sin24°＜sin26°＜sin32°，即a＜c＜b．
故选：C．
7．（2025春 恩施州期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得m，
则，
由题意得，，
∴．
故选：C．
8．（2025春 江苏校级期中）若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），其中2α，α+β，，k∈Z，则tan（α+β）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，设，则，
所以sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），即sinx＝cos（x+y）siny，
所以sinx＝（cosxcosy﹣sinxsiny）siny＝cosxcosysiny﹣sinxsin2y，
所以cosxcosysiny﹣sinxsin2y﹣sinx＝cosxcosysiny﹣sinx（1+sin2y）＝0，
因为α+βkπ，k∈Z，所以cosx≠0，
将方程两边除以cosx得cosysiny﹣tanx（1+sin2y）＝0，
所以tanx，
令2y＝θ，k＝tanx，
所以k，则sinθ＝k（3﹣cosθ），
所以3k＝kcosθ+sinθsin（θ+φ），
其中tanφ＝k，又sin（θ+φ）≤1，
所以3k，解得k，
所以tan（α+β）的最大值为．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 长安区校级模拟）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，
将等式两边平方，可得1+2sinθcosθ＝1+sin2θ，
所以sin2θ＝2sinθcosθ0，故A正确；
所以sinθ＞0，cosθ＜0，
所以sinθ﹣cosθ，故B正确；
由，解得sinθ，cosθ，
则tanθ，故C正确；
因为∈（0，），可得sin，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（2025 罗湖区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，则（ ）
A．函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为π
B．函数关于对称
C．函数y＝f[g（x）]的值域为[﹣1，1]
D．函数y＝|f（x）+g（x）|在上是减函数
【解答】解：由已知，
因为，所以函数y＝f（x）g（x）的最小正周期为π，故A正确；
因为正切函数的对称中心为，k∈Z，
当k＝﹣1时，y＝tanx的对称中心为，故B正确；
因为y＝f[g（x）]＝sin（cosx），
设t＝cosx，所以y＝sint，t∈[﹣1，1]，因为y＝sint在t∈[﹣1，1]上单调递增，所以值域为[﹣sinl，sinl]，
所以y＝sin（cosx）的值域为[﹣sinl，sinl]，故C错误；
，
设，因为，所以，
所以，，
因为当时，，所以，
又当时，单调递增，所以在上单调递减，
即在上是减函数，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025春 甘肃校级期中）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°
B．sin105°cos75°
C．
D．sin50°（1tan10°）＝1
【解答】解：A，cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝cos28°cos32°﹣sin28°sin32°＝cos（28°+32°）＝cos60°，即A正确；
B，sin105°cos75°＝sin75°cos75°sin150°，即B错误；
C，tan（45°+15°）＝tan60°，即C正确；
D，sin50°（1tan10°）＝sin50°（1 ）＝sin50°
＝sin50° sin50° 1，即D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 上海校级月考）已知，则 ．
【解答】解：由，
所以
．
故答案为：．
13．（2025春 南京期中）已知α、β为锐角，，，则α+β＝ ．
【解答】解：已知，
又β为锐角，
故，
故，
故，
又α、β为锐角，
故α+β∈（0，π），
故．
故答案为：．
14．（2025 泰安模拟）已知函数的最小正周期为π，f（x）在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线交于点C，D，且|AB|＝2|CD|，则a＝ ．
【解答】解：因为
．
又函数最小正周期为π，且ω＞0，所以ω＝1，，
当时，，所以0，
，的草图如下：
函数f（x）图象关于直线对称．
设|CD|＝2t，则，，，
所以，
可化为，
由二倍角公式可得，，
解得或（舍去）．
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 洛南县校级月考）（1）已知α、β都是锐角，若，，求sinβ的值；
（2）已知，α∈（0，π），求的值．
【解答】解：（1）∵已知α、β都是锐角，且，
∴，0＜α+β＜π，
∵，
∴，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα；
（2）因为①，
所以，即，所以，
又α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＞0，故，
故，所以②，
由①②解得，
所以，，
故．
16．（2025春 辽宁期中）已知．
（1）求tanα的值．
（2）已知α为第四象限角．
①求sinα，cosα的值；
②求的值．
【解答】解：（1）由，
得3tan2α﹣8tanα﹣3＝（3tanα+1）（tanα﹣3）＝0，解得或3；
（2）①由题意得，且sinα＜0，cosα＞0，
由得
②
．
17．（2025春 萍乡期中）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，求．
【解答】解：（1）已知．
则cosα；
（2）若，
则，
则．
18．（2025春 齐齐哈尔校级期中）已知函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若，求f（2x0）的值．
【解答】解：（1）f（x）＝sinx（cosx+sinx）sinxcosx+sin2x
cos2x＝sin（2x），
故函数f（x）的值域为[﹣2，2]；
（2）若sin（2x0），
因为，
所以，且sin（2x0），
所以cos（2x0），
所以sin（）＝2sin（2x0）cos（2x0）＝2，
cos（）＝2cos2（2x0）﹣1＝2，
则f（2x0）＝sin（4x0）＝sin（4x0）sin（4x0）cos（4x0）
．
19．（2025春 敦煌市校级期中）已知函数．
（1）求f（x）图象的对称中心、对称轴，f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最值；
（3）当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得f（x），
令，解得，即对称中心为，
令，解得，即对称轴为，k∈Z，
由，可得，即增区间为；
（2）当时，可得，
可得，可得f（x）的最大值为1，最小值为；
（3）由题意可得msinx﹣cos2x＝msinx﹣1+2sin2x，
令t＝sinx，由，可得，
原不等式等价于2t2+mt﹣1≥2有解，即在上有解，
由于在上均为减函数，
可得为减函数，
可得，可得m≥1，即实数m的取值范围为[1，+∞）．
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