模拟预测试题 2025年中考数学复习备考

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模拟预测试题 2025年中考数学复习备考
一、单选题
1．-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过154亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．某校为进行校园文化建设，拟从以下4个动画人物图像中随机选用2幅制作海报，则其中至少有一幅是哪吒的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
4．据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过100000人次和17000辆次，同比增长、，均处于历史最高位．其中“170000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
10．如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在射线BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．因式分解 ．
12．如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．
13．某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：
树苗平均高度（单位：m） 方差
甲苗圃 1.8 0.2
乙苗圃 1.8 0.6
丙苗圃 2.0 0.5
丁苗圃 2.0 0.2
请你帮采购小组出谋划策，应选购 苗圃的树苗．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为 ．
15．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据：，）
16．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ．
17．如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时， ．
三、解答题
18．计算：
19．先化简，再代入求值：，其中．
20．如图，为的外接圆，且为的直径．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
21．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ．
(2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3)简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
22．广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．
(1)求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？
(2)该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？
23．定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”．
探究问题：
探究1：“智慧数”一定是什么数？
假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）．
可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论．
讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数．
探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？
我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类．
所以我们把这些“智慧数”分成两类，
表一 情况1：是奇数分析结论①3是“智慧数”②5是“智慧数”③7是“智慧数”④9是“智慧数”………
表二 情况2：n是4的倍数分析 结论⑤8是“智慧数”⑥12是“智慧数”⑦16是“智慧数”⑧20是“智慧数”………
情况1：n是奇数 观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数且a、b的值均为连续的正整数． 猜想：所有奇数都是“智慧数” 验证：设，（且k为整数） ∵． ∴是“智慧数”． 又∵， ∴，即表示所有奇数（1除外） ∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”． 应用： （1）请直接填空：∵， ∴11是“智慧数”． 情况2：n是4的倍数 观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a与b的差都为2． 猜想：所有4的倍数都是“智慧数” （2）请仿照情况1证明以上猜想． 应用： （3）请直接填空：∵， ∴24是“智慧数”．
实际应用：
（4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，己知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数图像上的一点，以点P为圆心，长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接．
(1)求证：P为线段的中点；
(2)若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移若干个单位长度后与相切，求平移后的直线的表达式．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、两点，点在直线上，将直线绕点C逆时针旋转，交坐标轴于I、G两点，直线上两点D、H关于点C对称，轴于点F，交直线于点E．
(1)求点A的坐标；
(2)设，令，求y的最大值；
(3)当（2）中的y取最大值时，将绕点H顺时针旋转，使点C的对应点落在x轴上，点E的对应点为点，求证：轴．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D A C A D A C
1．A
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了整式的乘法，积的乘方，整式的加法，完全平方公式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据整式的乘法，积的乘方，整式的加法，完全平方公式一一判断即可．
【详解】解：A、，故符合题意；
B、、不是同类项，不可以合并项，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
列表格得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【详解】解：令四幅海报分别为A、B、C、D，哪吒海报为A，
列出表格如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可知，一共有12种情况，至少有一幅是哪吒的情况有6种，
∴至少有一幅是哪吒的概率，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解．
【详解】解：如图所示，
∵直线，，
∴，
∵直线，
∴．
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当时，，得，
要使得，只需，即：一次函数在的图象的下方，
由函数图象可知，关于x的不等式的解集为，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴
；
故选：A．
8．D
【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题．
【详解】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
9．A
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由折叠的性质得，，，，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，即可求出的长．
【详解】解：由折叠的性质得，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选： A．
10．C
【分析】本题主要研究与重叠部分面积和之间的函数关系．需要分情况讨论：当时，重叠部分就是，通过相似三角形和的性质求出的面积表达式，发现是二次函数且抛物线开口向上，随增大而增大，时取得最大值．当时，重叠部分是四边形，其面积通过的面积减去的面积得到．同样利用相似三角形和以及和的性质求出面积表达式，是二次函数且抛物线开口向下，进而确定最大值及函数图象．本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质．解题关键在于根据的取值范围分情况讨论重叠部分的形状，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，进而得到面积表达式，再依据二次函数的系数判断开口方向、求最值，从而确定函数图象．
【详解】解：当时，与重叠部分的面积为的面积．
，即，
解得．
．
，
∴抛物线开口向上．当时，S随x的增大而增大．当时，S有最大值，最大值为4．当时，与重叠部分的面积为四边形的面积，如图所示．由，则．
，
．
，即，
解得．
．
，
∴抛物线开口向下．当时，S有最大值．观察图象可知只有C符合题意，
故选：C
11．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法．
12．2
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，
∴，
∴，
由的几何意义可得 ，，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：2．
13．丁
【分析】本题考查了方差的意义，平均数的意义，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好，根据方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的平均高度，进而确定选购哪家的树苗．
【详解】解：由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；
又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．
故答案为：丁．
14．75°．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ADB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABD的度数，继而求得∠BAD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝15°，
∴∠ABD＝∠ACD＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°．
故答案为75°．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
15．14．
【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可．
【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算．
16．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二次函数，根据总利润单件利润销售量，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
故，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系及切线的性质，解直角三角形，一次函数的性质，含30度角的直角三角形等知识点，通过解直角三角形找出是解题的关键．过点作直线于点，由直线的解析式可得出，根据切线的性质结合解直角三角形即可得出、、、…、的值，代入即可得出结论．
【详解】解：过点作直线于点，如图所示．
∵直线解析式为，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得：，
同理：可求出，，…，
∴，
故答案为：．
18．5
【分析】按照乘方，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂的性质化简，进行计算即可解答
【详解】解：原式
【点睛】此题考查算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，解题关键在于掌握运算法则
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图、圆周角定理、切线的性质，等腰直角三角形的判定．
（1）利用尺规作图以点为圆心为半径画弧，交的延长线于点，再作线段的垂直平分线交线段的延长线于点，直线即为所求；
（2）根据可知，根据等边对等角可得，根据切线的性质可知，所以，所以可证是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：如下图所示，
以点为圆心为半径画弧，交的延长线于点，
分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于两点，
过两交点作直线交的延长线于点C，
直线即为所求．
（2）解：为等腰直角三角形．
理由如下：
，
，
为的直径．
，
，
为的切线，
，
，
，
为等腰直角三角形．
21．(1)、、
(2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用树状图法求解即可．
【详解】（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
22．(1)每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
(2)应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
【分析】此题考查了分式方程、一次函数的应用，准确列出方程和一次函数是关键．
（1）设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．据此列方程并解方程检验即可；
（2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．列出函数解析式并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，
根据题意，得，解得，
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意．
（元）．
答：每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元．
（2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．
根据题意，得
．
，
随x的增大而增大．
根据题意，得，
解得，
当时，最小，最小，
（株），
答：应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元．
23．（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40
【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答．
（1）根据定义进行解答即可；
（2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论；
（3）根据定义进行解答即可；
（4）根据即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴11是“智慧数”，
故答案为：；
（2）验证：设（，且k为整数）
∵
∴是“智慧数”
又∵
∴，即表示所有4的倍数（4除外）
∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”
（3）∵，
∴24“智慧数”，
故答案为：；
（4），
这个直角三角形纸片的周长是或
故答案为：24或40
24．(1)见解析
(2)点的坐标为
(3)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，一次函数图像的平移，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）圆周角定理的推论，得到为的直径，进而得到，即可得证；
（2）过点作，设点的坐标为，得到，，利用锐角三角函数进行求解即可；
（3）过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线，求出直线的解析式，求出的长，过点作于点，得到，锐角三角函数求出的长，即求出平移距离，根据平移规则，求出平移后的直线的表达式即可．
【详解】（1）解：点A，O，B在上，且，
为的直径，
又；
为线段的中点．
（2）过点作，
设点的坐标为，则，．
∵，
∴
，
，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
（3）如图，过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线．
由（2）可得：，，
，，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得
直线的表达式为，
如图，过点作于点，则，．
，
，
，
，
，
．
直线是由直线向上平移个单位长度得到的．
直线的函数表达式为．
25．(1)
(2)最大值45
(3)见解析
【分析】（1）设直线为，将、，可求得直线的解析式 ，再求得；
（2）先利用正切求得，再证明，从而可得，进而求得与，就可求得，
再设直线的解析式为， 根据点和点，求出直线解析式为，然后设，可用表示出点的坐标，再用表示出与，接着利用对称性求得用表示出，从而可得，再求出当时，有最大值45；
（3）当有最大值时，，此时、，利用线段的中点可求得，设设，根据旋转的性质得到关于的方程求出的坐标，从而可求得与，再求得，再利用旋转的性质得出，从而可得，就有，从而可得，就可得，从而可判定轴．
【详解】（1）解：设直线为，
将、代入得，
，，
，
令，即，
，
（2）解：过点作于点，如图所示：
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
求得过点和点的直线解析式为，
则，，
，，
、H关于点C对称，，
，
，
当时，有最大值45；
（3）解：当有最大值时，，此时、，
由，，
，
作出如图，过点作轴于点，
设，由旋转知，，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
，，
∴，，
，
，
，
，
由旋转知，
，
，
，
，
轴．
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