6.4三元一次方程组巩固强化练习（含解析）

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6.4三元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A． B． C． D．
2．如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（ ）
A． B． C． D．
4．一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（ ）
A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元
5．已知方程组，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
7．有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
8．请认真观察，动脑子想一想，图中的“？”表示的数是（ ）

A．70 B．160 C．240 D．420
9．小李在某电商平台上选择了甲，乙，丙三种商品，当购物车内选件甲，件乙，件丙时显示价格为元；当选件甲，件乙，件丙时显示价格为元，那么购买甲，乙，丙各一件时显示价格为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
10．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
11．解方程组若要使运算简便，可先消未知数（ ）
A． B． C． D．以上说法都不对
12．已知方程组，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．不确定
二、填空题
13．有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种．
14．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ．
15．代数式，当时值为；当时值为；当时值为，则这个代数式是 ．
16．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 元．
17．类比学习，探究新知：三元一次方程组解法的基本指导思想是 ，方法有 ．
三、解答题
18．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2)若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
19．解方程组：
20．解下列方程或方程组
(1)
(2)
(3)
21．已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
22．解方程（组）
(1)
(2)
(3)．
23．解下列方程组：
(1)
(2)
24．阅读材料：
已知方程组，求的值．
解法一：由原方程组，得
，得．③
把③代入①，得
．
所以．
解法二：
将原方程组整理得
，得③
把③代入①，得．
请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值．
《6.4三元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D C C A A C A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】设其中有a个0，b个1，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可．
【详解】解：由，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，设其中有a个0，b个1，c个2，则；
由，可得；
由，可得；
联立得到，
解得，
∴在 ，， 中，取值为的个数为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键．
2．B
【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，
根据题意可得：，
整理得：，
得：，
即个“□”与个“○”的质量相等，
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．
根据矩阵定义列方程组求解即可．
【详解】解：由题意得：，
①×2+②得：，
∵为定值，
∴．
故选：D．
4．D
【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题．
可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择．
【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元，
则
解得
都是自然数，
或或或或或
，
随z的增大而减小，
∴当，即时，住宿的总费用最低，为，
故选：D．
5．C
【分析】把三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：，
①＋②＋③，得：
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【详解】
解：设1个“”， “”，“”的质量分别为，
∴，
∴，
∴，
即：与1个“”质量相等的“”的个数为2；
故选C．
7．A
【分析】设甲件元、乙件元、丙件元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设甲件元、乙件元、丙件元，根据题意得，
，两个式子相加得，，
∴，即甲、乙、丙三种商品各件共需元，
故选：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键．
8．A
【分析】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．根据题意可得，求解即可得到答案．
【详解】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．
根据题意，得
，得
．
组成方程组，得
．
解得
．
将代入，得
．
解得
．
原方程组的解为．
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．
9．C
【分析】设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由题意得： ，
由①+②得： ，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，
由题意得： ，
由①+②得： ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，正确列出方程组并求出是解决问题的关键．
10．A
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组．
根据三元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意；
B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
D.，不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选A．
11．C
【分析】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．观察观察未知数x，y，z的系数的绝对值最小公倍数，从而可确定先消去系数的绝对值最小公倍数最小的未知数．
【详解】解：观察未知数x的系数的绝对值分别是5，2，7，其最小公倍数为70，
观察未知数y的系数的绝对值分别是7，，，其最小公倍数为105，
观察未知数z的系数的绝对值分别是6，3，2，其最小公倍数为6，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去z，
故选：C．
12．C
【分析】将3x+7y+z=22乘以2减去5x+13y+z=32即可得到解答．
【详解】解：由题意得：
将3x+7y+z=22乘以2得：6x+14y+2z=44，
再将其减去5x+13y+z=32得：x+y+z=12，
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解决此题的关键．
13．8
【分析】首先假设出三个盒子里的球数，得出，，得出一个盒子的球数后，再进行分析推理．本题考查的是三元一次方程的应用，加法原理与乘法原理，根据题意得出的值，再根据的值进行分析是解决问题的关键．
【详解】解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值．
①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法；
②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法；
③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法；
④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法；
⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法．
综上所求，故有8种不同放法．
故答案为：8．
14．
【分析】此题主要考查了球场上的积分问题，设设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据题意列方程组即可解题．
【详解】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场，
列方程为：，
故答案为：．
15．
【分析】将x的值代入代数式中，解三元一次方程组即可．
【详解】解：分别将，，代入得：
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．利用消元法，把三元变二元，二元变一元是解题的关键．
16．40
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设练习本一本元，笔一支元，橡皮一块元，先根据题意列出三元一次方程组，利用等式的性质得的值，最后求出的值即可得到答案．
【详解】解：设练习本一本元，笔一支元，橡皮一块元，
由题意，得，
②①，得．
．
（元．
故答案为：40．
17． 消元 代入法、加减法
【解析】略
18．(1)
(2)由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【分析】（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元，根据题意列出方程组，解方程组，进而求得答案．
【详解】（1）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各天，根据题意可知
解得：
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为元．
．
解之得∶．
因为工期要求不超过20天完成全部工程，
由(1)知可选甲或乙．
甲的费用为，
乙的费用为．
答∶由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
19．
【详解】解：由①×2＋②，得5x＋8y＝7④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组得
把代入①，得3＋3×（－1）＋2x＝2，
解得z＝1
故原方程组的解为
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键．
（1）按照移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（3）利用加减消元求解即可．
【详解】（1）解：
解得：，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
∴原方程的解为：；
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴原方程组的解为：．
21．(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
【详解】（1），
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查解三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，掌握方法与步骤是解决问题的关键．
（1）利用解一元一次方程的步骤与方法求得方程的解即可；
（2）利用加减消元法求得方程组的解即可；
（3）利用消元法把方程化为二元一次方程组，进一步求得方程组的解，代入原方程中的一个方程，进一步求得原方程组的解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
①②得，，
解得：，
代入①得，，
解得：，
所以原方程组的解为；
（3）解：，
①②得，④，
②③得，，
解得：，
代入④得，，
解得：，
把，代入②得，，
解得：，
所以原方程组的解为．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解三元一次方程组；
（1）采用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）把三元转换成二元，再利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，得，解得．
把代入①，
得，
解得．
故原方程组的解为
（2）解：，得④
，得⑤
联立④⑤，得
解得
把代入①，得，
解得．
故原方程组的解为
24．
【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组．
【详解】解：解法一：
，
由得：，
把代入得：，
∴；
解法二：
由题意，将原方程整理得：
，
得：，
得：，
解得：．
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