16.2一元二次方程的解法巩固强化练习（含解析）

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16.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，关于的方程的根的情况是（ ）
A．有一正根和一负根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．没有实数根
2．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能判断
5．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
6．关于的方程有实数解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
7．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．利用配方法解方程时，将该方程化为的形式，然后利用直接开平方法求解，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．转化思想 C．整体思想 D．公理化思想
9．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
10．方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
11．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列方程中，2是其解的是（　　）
A．x2﹣4=0 B． C． D．x+2=0
二、填空题
13．已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则=
14．已知实数，满足，试求的值．
解：设，原方程可化为，即，解得．
∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”．
请根据以上阅读材料，解决问题．
（1）若实数，满足，则的值为 ．
（2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ．
15．若一元二次方程的两根分别为m与n，则 ．
16．方程x2+2x–2=0配方得到（x+m）2=3，则m= ．
17．求下列方程的解
①x2+4x+3=0
②x2+6x+5=0
③x2－2x－3=0
三、解答题
18．当x为何值时,代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等
19．解方程：．
20．选用适当的方法解下列方程
（1）3x2-7x+2=0 （2）(x+1)(x-2)=x+1 （3）
21．按要求解一元二次方程．
(1)4﹣8x+1＝0（配方法）；
(2)3+5（2x+1）＝0（公式法）；
(3)2﹣5x+2＝0．
22．解方程．
(1)3x2﹣1＝4x；
(2)（x＋4）2＝5（x＋4）．
23．解方程
(1)
(2)x2-6x+4＝0
24．在中，，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值．
《16.2一元二次方程的解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A A B D B B B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】方程的△=（4k+1）2-4×2（2k2-1）=8k+9，
∵k＞1，
∴△＞17，
∴方程有两不相等的实数根．
∴x1+x2= ＞>0，
x1·x2=＞>0 ，
∴方程的两根为正根．
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式：①一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根；②根与系数的关系为：x1+x2= ，x1·x2=．
2．C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：A． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，
∴，故该选项正确，符合题意；
D． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．A
【详解】解：∵ =12-4×1×（-2）=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
5．A
【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【详解】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
6．B
【分析】由于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要分m=2和m≠2两种情况．
【详解】（1）当m=2时，原方程变为-2x+1=0，此方程一定有解；
（2）当m≠2时，原方程是一元二次方程，
∵有实数解，
∴△=4-4（m-2）≥0，
∴m≤3．
所以m的取值范围是m≤3．
故选：B．
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于分两种情况进行讨论，错误的认为原方程只是一元二次方程．
7．D
【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】
．
故选：D．
8．B
【分析】先把一般式化为，然后两边开方，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
本题考查了解一元二次方程-配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．
【详解】利用配方法把一般式化为，再利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的转化的数学思想．
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则．
根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，
∴且．
故选：B．
10．B
【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．
【详解】解：移项，得，
两边直接开平方，得，
即或，
解得：，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
12．A
【详解】解此题时可将x=2代入各方程，然后看方程的左边的解是否等于右边．
解：将x=2分别代入各方程得：
A、x2﹣4=0，∴本选项正确；
B、x﹣2=0，是增根，∴本选项错误；
C、=3≠1，∴本选项错误；
D、x+2=4≠0，∴本选项错误；
故选A．
13．±6
【分析】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设，得： ；对于乙：设，得：，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为，求代数式的值即可.
【详解】对于甲：设
得：
对于乙：设
得：
分情况讨论：
①若乙看错了二次项系数的符号，那么
解得：，不符合题意，舍去
②若乙看错了常数项的符号，那么
解得：
则
③若乙看错了一次项项的符号，那么
解得：
则
故答案为±6
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键.
14．
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键：
（1）设，将，转化为，求出的值，进而求出的值即可；
（2）根据题意，得到，解方程即可．
【详解】解：（1）设，则：，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵一元二次方程的两根分别为，3，
∴则方程的根为或（舍去），
∴，
解得：；
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
15．
【分析】先根据根与系数的关系得，mn=2，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m与n，
根据根与系数的关系得，mn=2，
所以原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
16．1
【分析】移项，配方即可得出的值.
【详解】
故答案为1.
【点睛】考查一元二次方程配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键.
17． x1=-3，x2=-1 x1=-1，x2=-5 x1=－1，x2=3
【分析】根据因式分解法计算即可．
【详解】解：(1)x2+4x+3=0，
（x+3）（x+1）=0
x1=-3，x2=-1
(2)x2+6x+5=0
（x+1）（x+5）=0
x1=-1，x2=-5
(3). x2－2x－3=0
（x-3）（x+1）=0
x1=3，x2=-1
故答案为：x1=-3，x2=-1；x1=-1，x2=-5；x1=3，x2=-1
【点睛】本题考查解方程，解题的关键是应用因式分解法．
18．x的值为-0.4或3时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等．
【详解】试题分析：通过题目中的等量关系列方程x2-13x+12=-4x2+18，解方程即可．
试题解析：由题,x2-13x+12=-4x2+18,
整理得5x2-13x-6=0,
解得：x1=-0.4,x2=3,
∴x的值为-0.4或3时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等．
考点：解一元二次方程.
19．
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解： 方程可化为，
解得： ，
∴．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
20．（1）x=2, x= ；（2）x= 1,x=3；（3）x= 1, x=1
【分析】（1）利用因式分解求得方程的解；
（2）移项将原方程右边等于0，然后合并同类项即可求得方程的解；
（3）将原方程移项使得右边为0，然后利用平方差公式即可解得方程．
【详解】(1)∵3x 7x+2=0，
∴(3x 1)(x 2)=0，
∴3x 1=0或x 2=0，
x=2, x= ；
(2)∵(x+1)(x 2)=x+1，
∴(x+1)(x 2 1)=0，
x+1=0或x 3=0，
∴x= 1,x=3；
(3)∵(3x 2) =(2x 3) ，
∴(3x 2 2x+3)(3x 2+2x 3)=0，
∴x+1=0或5x 5=0，
∴x= 1, x=1.
【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则
21．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】(1)二次项系数化为1，常数项移到等号的另一边，同时加一次项系数一半的平方，配成完全平方式，开平方即可．
(2)先化成一般形式，确定a、b、c的值和判别式的属性，套公式计算即可．
(3)自主选择方法求解，选择因式分解法．
【详解】（1）∵4﹣8x+1＝0，
∴﹣2x+＝0，
∴﹣2x= -，
∴﹣2x+= -+1，
∴，
∴，
∴，．
（2）3+5（2x+1）＝0，
3+10x+5＝0，
在这里，a=3，b=10，c=5，△=，
∴x=，
∴，．
（3）2﹣5x+2＝0，
∴(2x-1)(x-2)=0，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．
22．(1)
(2)x1=-4，x2=1
【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；
（2）先移项得到（x+4）2-5（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解： 3x2-4x-1=0，
∵a=3，b=-4，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=16+12=28＞0．
∴，
∴
（2）解：（x+4）2=5（x+4），
（x+4）2-5（x+4）=0，
（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0或x-1=0，
∴x1=-4，x2=1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
23．(1)x1=0，x2=
(2)
【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
x（2x-1）=0，
x=0或2x-1=0，
x1=0，x2=；
（2）x2-6x+4＝0 ，
x2-6x＝-4 ，
x2-6x+9＝-4+9
（x-3）2=5，
x-3=，
；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据不同方程选择恰当的方法是解题关键．
24．
【分析】将方程转化为一般式，利用根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可．
【详解】解：原方程整理为，
设是方程的两个根，则，即，
∵，
∴，即，
由勾股定理得：，代入以上方程整理后有
．
∵c是斜边，
∴，两边开平方，得，
两边同时平方得，
，
再次将勾股定理代入得：，
，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理．熟练掌握，以及勾股定理，是解题的关键．
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