16.3列方程解应用问题巩固强化练习（含解析）

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16.3列方程解应用问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（ ）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
3．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
4．2021年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1.4x2 =2.3 B．1.4（1+x2）=2.3 C．1.4（1+x）2 =2.3 D．1.4（1+2x）=2.3
5．随着2023杭州亚运会吉祥物开幕，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”在电商平台上爆单，在某电商平台上9月24日的销量为5000个，9月25日和9月26日的总销量是30000个．若9月25日和26日的销量较前一天的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．2018年安徽全省生产总值比2017年增长8.02%，2017年比2016年增长8.5%．设安徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．（1+x）2＝8.02%×8.5%
B．（1+2x）2＝8.02%×8.5%
C．（1+2x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%）
D．（1+x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%）
7．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
9．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为(　　)
A．25 B．36 C．25或36 D．－25或36
10．在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（　　）
A．39 B．40 C．50 D．60
12．某商品的进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天利润为750元，每件商品应降价（　　）元．
A．2 B．2.5 C．3 D．5
二、填空题
13．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为 ．
14．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： .
15．国庆节期间，某公园以“盛世华菊·傲芳染秋”为主题举办菊花文化节，在一块长12，宽8的矩形草地上，设计了一个菊花花坛如图所示（阴影区域部分），所占面积为矩形草地面积的一半，其中菊花花坛占矩形各边的宽度相等，若设这一宽度为，则可列方程为 ．
16．当 时，代数式的值等于－9.
17．根据题意，列出方程：
（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为
（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为
三、解答题
18．如图，在一块长为7米，宽为6米的长方形花坛里，栽种同样宽度的两条粉色花带，剩余部分栽种黄色花，要使栽种黄色花的面积为30平方米，求粉色花带的宽应为多少米？
19．如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300km．
问：(1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？
(2)若轮船进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？(结果精确到0.01h)
20．如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的？
21．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
22．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
23．列方程解应用题：某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季的总营业额要达到9100万元，求该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率．
24．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
《16.3列方程解应用问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C D D A C C C
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【详解】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500-20x)(10+x)=6000，
整理，得x2-15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
2．B
【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
∴AQ=2，，，
的面积是面积的，
，
整理得，
解得，
当s时，的面积是面积的．
故选择B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键．
3．D
【分析】本题一元二次方程的应用，设为米，则平行于墙的一边长为米，依题意即可列出方程，正确用含的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键．
【详解】解：设为米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得，，
故选：．
4．C
【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设平均每月的增长率为，那么根据题意可用表示11月份新冠疫苗接种量，从而得出方程．
【详解】解：设平均每月的增长率为，
那么根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握平均增长率问题的一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
5．D
【分析】直接利用已知分别求出9月25日和26日的销量进而得出等式求出方程．
【详解】解：设9月25日和26日的销量较前一天的平均增长率为x，
9月25日销量为，
9月26日的销量为，
由于9月25日和9月26日的总销量是30000个，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是解题的关键．
6．D
【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，根据已知可以得出方程．
【详解】解：如果设徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，
那么根据题意得：（1+x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%），
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7．A
【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打场球，每个球队都打场球，并且都重复一次，根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【详解】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．
8．C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．C
【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为.
由题意，得，解得.∴ 这个两位数为或.故选C.
10．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均降低率问题，熟练掌握是解决问题的关键，其中a是起始量，b是终止量，x是平均降低率，n是降低次数．
根据“2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，”可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】根据题意得：，
即
故选：C．
11．B
【详解】设九（1）班共有x人，根据题意得：
x（x-1）=780，
解得x1=40，x2=-39（舍去），
即九（1）班共有40名学生，
故选B．
12．D
【详解】试题解析：设应降价x元，根据题意得：
(100+10x)(30 20 x)=750，
解得：
则每件商品应降价5元；
故选D.
13．x（x﹣1）=36
【详解】试题解析：设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，
由题意得，x（x﹣1）=36，
故答案是：x（x﹣1）=36．
14．(x+1)2=25
【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.
【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24，
即：（x+1） 2 =25．
故答案为（x+1） 2 =25．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法.
15．
【分析】根据题意，两个三角形的面积和也是为矩形草地面积的一半，根据三角形面积公式可求解．
【详解】根据题意，∵菊花花坛所占面积为矩形草地面积的一半，
∴两个三角形的面积和也是为矩形草地面积的一半，
依题意，得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把求不规则图形的面积转化为求三角形的面积是解题的关键.
16．-1
【详解】根据题意得：-2（x+3）-5=-9，
去括号得：-2x-6-5=-9，
解得：x=-1，
故答案是：-1.
17． x（6－x）=［10（6－x）+x］ x（x－3）=20
【分析】（1）如果设个位数字为x，那么十位数字为6-x，根据题意可得出方程；
（2）设这个三角形这条边长为xcm，则这条边上的高为（x-3）cm，根据题意可得出方程．
【详解】解：（1）设这个两位数个位数字为 ，则十位数字为 ，则由题意可列方程为 .
故答案为：x（6－x）=［10（6－x）+x］；
（2）设这条边的长度为 cm，则这条边上的高为 cm，由三角形面积公式可列方程为 .
故答案为：.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到相应的等量关系．
18．1米
【分析】设粉色花带的宽为x米，则剩余部分可合成长（7-x）米，宽（6-x）米的长方形，根据栽种黄色花的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【详解】解：设粉色花带的宽为x米，则剩余部分可合成长（7-x）米，宽（6-x）米的长方形，
依题意得：（7-x）（6-x）=30，
整理得：x2-13x+12=0，
解得：x1=1，x2=12（不合题意，舍去）．
答：粉色花带的宽应为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（1）会；（2）8.3
【分析】（1）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出，即可判断是否受台风影响；（2）根据（1）中台风影响的时间即可确定进入台风影响区的时间．
【详解】（1）轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区．
如图，设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=30x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=300km，
∴AE=400-30x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-30x）2+（300-20x）2=2002，
解得：，（舍去），
答：轮船受到台风影响的时间是8.3—19.3小时．
（2）由（1）可知，当经8.3小时时轮船就进入台风影响区.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
20．依次将正方形四个角剪去直角边长分别为和的直角三角形即可．
【分析】本题中易证四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1 x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是正方形A1B1C1D1的面积，然后根据正方形A1B1C1D1的面积为原来正方形面积的，来列方程求解．
【详解】解：∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1.
∵∠AA1D1＋∠AD1A1＝90°，∠AA1D1＋∠BA1B1＝90°，
∴∠AD1A1＝∠BA1B1.
同理可得∠AD1A1＝∠BA1B1＝∠DC1D1＝∠CB1C1.
又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，
∴AA1＝DD1.
设AD1＝x，那么AA1＝DD1＝1－x.
在Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得A1D12＝x2＋(1－x)2，
∴正方形A1B1C1D1的面积＝A1D12＝x2＋(1－x)2＝×1×1，
解得x1＝，x2＝，
答：依次将正方形四个角剪去直角边长分别为和的直角三角形即可．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积＝各部分面积之和；剩余面积＝原面积 剪去的面积．
21．（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
【详解】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了人，
或（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）（人．
答：第三轮将又有448人被传染．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
22．
【分析】设道路的宽为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：道路的宽为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
23．该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率是20%．
【分析】设该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率为x，根据题意找出等量关系列方程进行求解即可得．
【详解】解：设该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，
解得x1＝0.2或x2＝﹣3.2（不合题意，舍去），
则该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率是20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．
24．（1）6；（2）9支
【分析】根据赛制为单循环形式场，即可求解；
（2）设有 支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1） （场），
答：共进行6场比赛；
（2）设有 支球队参加比赛，根据题意得：
，
解得： （不合题意，舍去），
答：有9支球队参加比赛．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
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