圆柱的体积 圆柱的表面积应用题重点考点 冲刺练 2025年小学数学小升初会考复习备考

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圆柱的体积 圆柱的表面积应用题重点考点 冲刺练
2025年小学数学小升初会考复习备考
1．一个圆柱的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱的底面周长。已知长方形的面积是251.2平方厘米，圆柱的底面半径是2厘米，求圆柱的高是多少厘米。
2．青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！）
3．学校有一个圆柱形的水池，从里面量直径是6米，深是1.5米。
（1）如果在水池内壁和底面抹上水泥，抹水泥工人费为每平方米30元，一共需要人工费多少元？
（2）学校要往水池注入1米深的水用来养鱼，求注入的水的体积。
4．如图三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。（计算时π取3.14，单位：厘米）
（1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？
（2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。
（3）你有什么发现？
5．羽毛球的羽毛顶端围成的圆形直径为6厘米。3个同样的羽毛球紧紧摞好叠放起来高14厘米，5个这样的羽毛球紧紧摞好叠放起来高19厘米（如图1）。商家要把10个这样的羽毛球摞好装在一个圆柱形的包装盒内（如图2）。
（1）这个包装盒的高度至少是多少厘米？（不计包装盒的厚度）
（2）这个包装盒所用的包装材料至少是多少平方厘米？（不计接缝）
（3）这个包装盒的体积至少是多少立方厘米？
6．阅读下面材料并解决问题。
党的二十大报告提到：“生态环境保护发生历史性、转折性、全局性变化，我们的祖国天更蓝、山更绿、水更清。”各城市把垃圾分类作为城市整治的一项重要工作来抓，投入人力、物力、财力，完善基础设施，加强宣传引导，增强群众主体意识，有力推进了垃圾分类合理，切实改善人民的环境。为了更好地开展垃圾分类，五好社区计划做20个相同的无盖圆柱形垃圾桶，每个垃圾桶的底面直径是1米，高是6分米。
（1）做这些垃圾桶至少需铁皮多少平方分米？
（2）这20个垃圾桶刚好都装满，一共能装多少立方米垃圾？
7．如图，一个圆柱体木材被截去5cm后，圆柱的表面积减少了47.1cm2，求原来圆柱体的表面积是多少cm2？
8．阅读并解答。
古希腊的阿基米德是历史上最杰出的数学家之一。按照他生前的遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形。
圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触。
当圆柱容球时，球的直径、圆柱的高、圆柱的底面直径都相等，球的表面积正好是圆柱表面积的，球的体积也是圆柱体积的。
（1）当圆柱容球时，如果球的表面积是113.04平方厘米，那么圆柱的表面积是多少？
（2）当圆柱容球时，如果r＝3厘米，请求出球的体积。
9．把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？
10．有甲、乙两个圆柱，表面积都是90；底面积也相等，每个底面的面积都是15。如果把这两个圆柱接起来，成为一个大圆柱。
（1）这个大圆柱的侧面积是多少cm2？
（2）这个大圆柱的表面积是多少cm2？
11．如图，把一个高10厘米的圆柱沿底面直径垂直切成两部分，这两部分的表面积之和比原来增加了200平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（结果可用含有的式子表示）
12．早在2000多年前，我国古代劳动人民就会用自己的方法计算各种物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体积的计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是说，用底面周长的平方乘高，再除以12，可以求出圆柱的体积。
（1）如果一个圆柱的底面周长是20厘米，高是10厘米，你能用上面的方法算出这个圆柱的体积吗？（得数保留整立方厘米）
（2）如果用现在的方法计算这个圆柱的体积，计算结果是多少立方厘米？（提示：计算时可以先保留进行约分和计算，最后再用3.14代入，得数保留整立方厘米。）
13．陀螺是一种传统的儿童玩具，如今它已成为一种体育项目。如图形状的陀螺，上面呈圆柱形，下面呈圆锥形。圆柱的底面半径为4厘米，高5厘米；圆锥部分的高为6厘米。
（1）给陀螺的圆柱形部分涂上红色，圆锥形部分涂上黄色，那么涂红色部分的面积有多大？
（2）这个陀螺的体积是多少立方厘米？
14．花瓶是插花的重要一部分，不同的花瓶要选择不同的鲜切花。插花时，如何选对花瓶，主要考虑三要素：口径，高度、体积。花瓶的高度一般约为花束长度的40%至60%，淘气想为朋友们购买下面两种花瓶。
（1）淘气微信钱包里有120元，买了2个长方体花瓶后，剩下的钱能买多少个圆柱花瓶？
（2）将圆柱花瓶中高10厘米的营养液倒入长方体花瓶中，这时营养液的水面高度约是多少厘米？（结果保留一位小数）
15．如图，O是圆柱上底面的圆心，一个红点速度为1厘米/秒，在相同时间内这个点可以从A点到B点或从A点到O点再到D点，如果红点从A点沿着A—B—C—D—E在圆柱表面运动，用时分钟。（π取3）
（1）圆柱的表面积是多少平方厘米？
（2）圆柱的体积是多少立方分米？
参考答案
1．18厘米
【分析】根据圆柱的底面半径是2厘米，可以求出圆柱的底面积，用长方形的面积减去圆柱的2个底面积，即可得出圆柱的侧面积，据此利用侧面积除以圆柱的底面周长，即可求出圆柱的高。
【详解】251.2－3.14×2×2×2
＝251.2－3.14×8
＝251.2－25.12
＝226.08（平方厘米）
226.08÷（3.14×2×2）
＝226.08÷12.56
＝18（厘米）
答：圆柱的高是18厘米。
【点睛】解答此题的关键是根据圆柱体的表面积与底面积，明确出这个圆柱体的侧面积，再利用侧面积公式求出圆柱的高即可解答。
2．相等
【分析】分析题目，可以假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6，则下面圆锥的高是（9－6），根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h分别算出图①和图②中的圆锥的体积，再比较大小即可。
【详解】假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6。
3.14×（4÷2）2×6×＋3.14×（4÷2）2×（9－6）×
＝3.14×22×6×＋3.14×22×3×
＝3.14×4×6×＋3.14×4×3×
＝12.56×6×＋12.56×3×
＝75.36×＋37.68×
＝25.12＋12.56
＝37.68
3.14×（4÷2）2×9×
＝3.14×22×9×
＝3.14×4×9×
＝12.56×9×
＝113.04×
＝37.68
因为37.68＝37.68，所以图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。
答：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。
3．（1）1695.6元
（2）28.26立方米
【分析】（1）求人工费需要多少钱，需要先求抹水泥的面积，实际上是求圆柱的底面积与侧面积的和，依据圆的面积公式S＝πr2，圆柱侧面积公式S＝Ch，即可求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米的费用，求出一共需要的人工费。
（2）求需要的水的体积，实际上是求底面直径为6米，高为1米的圆柱的体积，利用圆柱的体积公式V＝πr2h，即可求注入的水的体积。
【详解】（1）3.14×（6÷2）2＋3.14×6×1.5
＝3.14×32＋3.14×6×1.5
＝3.14×9＋3.14×6×1.5
＝28.26＋28.26
＝56.52（平方米）
56.52×30＝1695.6（元）
答：一共需要人工费1695.6元。
（2）3.14×（6÷2）2×1
＝3.14×32×1
＝3.14×9×1
＝28.26（立方米）
答：需要注水28.26立方米。
4．（1）①；③
（2）113.04立方厘米
（3）见详解
【分析】（1）根据r＝C÷π÷2，求出底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出各圆柱的体积，然后进行比较即可。
（2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。根据圆柱的体积公式解答。
（3）根据以上计算结果，结合圆柱体积公式，可以发现：圆柱侧面积相等时，底面周长越大，圆柱的体积就越大。
【详解】（1）①3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2
＝3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝56.52（立方厘米）
②3.14×（12.56÷3.14÷2）2×3
＝3.14×22×3
＝3.14×4×3
＝37.68（立方厘米）
③3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6
＝3.14×12×6
＝3.14×1×6
＝18.84（立方厘米）
56.52＞37.68＞18.84
答：①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小。
（2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。
如图：
3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1
＝3.14×62×1
＝3.14×36×1
＝113.04（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是113.04立方厘米。
（3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面周长越大，圆柱的体积就越大。（答案不唯一）
5．（1）31.5厘米
（2）649.98平方厘米
（3）890.19立方厘米
【分析】（1）因为3个羽毛球叠起来高14厘米，5个羽毛球叠起来高19厘米，即5－3＝2个羽毛球叠起的高度是19－14＝5厘米，那么一个叠起的羽毛球的高度为5÷2＝2.5厘米；
用3个羽毛球叠起来的高度减去2个叠起的羽毛球的高度，求出一个羽毛球的高度。
把10个这样的羽毛球摞好装在一个圆柱形的包装盒内，那么10个这样的羽毛球的高度等于一个羽毛球的高度加上（10－1）个叠起的羽毛球的高度，据此求出包装盒的高度。
（2）求这个包装盒所用的包装材料至少的面积，就是求圆柱的表面积，根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。
（3）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据计算求出这个包装盒的体积。
【详解】（1）（19－14）÷2
＝5÷2
＝2.5（厘米）
14－2×2.5
＝14－5
＝9（厘米）
9＋（10－1）×2.5
＝9＋9×2.5
＝9＋22.5
＝31.5（厘米）
答：这个包装盒的高度至少是31.5厘米。
（2）3.14×6×31.5＋3.14×（6÷2）2×2
＝18.84×31.5＋3.14×32×2
＝593.46＋3.14×9×2
＝593.46＋56.52
＝649.98（平方厘米）
答：这个包装盒所用的包装材料至少是649.98平方厘米。
（3）3.14×（6÷2）2×31.5
＝3.14×32×31.5
＝3.14×9×31.5
＝28.26×31.5
＝890.19（立方厘米）
答：这个包装盒的体积至少是890.19立方厘米。
6．（1）5338平方分米；
（2）9.42立方米
【分析】（1）已知圆柱形垃圾桶无盖，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出做一个这样的垃圾桶需要铁皮的面积，然后再乘20即可。
（2）根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详解】（1）1米＝10分米
（3.14×10×6＋3.14×（10÷2）2）×20
＝（31.4×6＋3.14×25）×20
＝（188.4＋78.5）×20
＝266.9×20
＝5338（平方分米）
答：做这些垃圾桶至少需铁皮5338平方分米。
（2）6分米＝0.6米
3.14×（1÷2）2×0.6
＝3.14×0.25×0.6
＝0.785×0.6
＝0.471（立方米）
0.471×20＝9.42（立方米）
答：一共能装9.42立方米垃圾。
【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．202.53cm2
【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱体木材截去5cm，圆柱的表面积减少了47.1cm2，表面积减少的是高5cm的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：，据此可以求出圆柱的底面周长，再根据圆柱的表面积公式：，把数据代入公式解答。
【详解】47.1÷5＝9.42（cm）
9.42×20＋3.14×（9.42÷3.14÷2）2×2
＝188.4＋3.14×2.25×2
＝188.4＋14.13
＝202.53（cm2）
答：原来圆柱体的表面积是202.53cm2。
【点睛】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．（1）169.56平方厘米
（2）113.04立方厘米
【分析】（1）根据当圆柱容球时，球的表面积正好是圆柱表面积的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，用球的表面积除以就是圆柱的表面积；
（2）当圆柱容球时，球的体积是圆柱体积的，据此先求出圆柱的体积，根据圆柱的体积＝h，代入数据计算出圆柱的体积，再根据分数乘法的意义，用圆柱的体积乘就是球的体积。
【详解】（1）113.04
＝113.04
＝169.56（平方厘米）
答：圆柱的表面积是169.56平方厘米。
（2）3.14×32×（3×2）
＝3.14×9×6
＝28.26×6
＝169.56
＝113.04（立方厘米）
答：球的体积是113.04立方厘米。
9．301.44平方厘米
【详解】侧面积：8×3.14×8＝25.12×8＝200.96（平方厘米）
底面积：（平方厘米）
表面积：200.96＋50.24×2＝200.96＋100.48＝301.44（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是301.44平方厘米。
【分析】在正方体里削最大的圆柱，那么正方体的棱长就是圆柱的底面直径，也是圆柱的高。已知圆柱的底面直径与高就可以求出圆柱的侧面积、底面积、表面积。
10．（1）120
（2）150
【分析】（1）用一个圆柱的表面积减去两个底面积就是一个圆柱的侧面积，乘2即可求出大圆柱的侧面积；
（2）用大圆柱的侧面积加上两个底面积就是大圆柱的表面积。
【详解】（1）（90－15×2）×2
＝（90－30）×2
＝60×2
＝120（）
答：这个大圆柱的侧面积是120cm2。
（2）120＋15×2
＝120＋30
＝150（）
答：这个大圆柱的表面积是150cm2。
【点睛】本题考查圆柱的表面积和侧面积，解答本题的关键是掌握圆柱的表面积和侧面积计算公式。
11．150π平方厘米
【分析】“将一个圆柱体沿着底面直径切成两部分，表面积增加了200平方厘米”，就是增加了两个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形；据此可求出圆柱的底面直径，然后再根据圆柱的表面积公式进行计算。
【详解】200÷2＝100（平方厘米）
100÷10＝10（厘米）
π×10×10＋π×（10÷2）2×2
＝100π＋50π
＝150π（平方厘米）
答：原来圆柱的表面积是150π平方厘米。
【点睛】本题的关键是理解：“将一个圆柱体沿着底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了200平方厘米”，就是增加了两个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积。
12．（1）333立方厘米；
（2）318立方厘米
【分析】（1）由题意可知，圆柱的体积＝底面周长×底面周长×高÷12，把题目中的数据代入公式求出结果；
（2）先根据圆柱的底面周长求出圆柱的底面半径，再利用“”求出这个圆柱的体积，据此解答。
【详解】（1）20×20×10÷12
＝400×10÷12
＝4000÷12
≈333（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是333立方厘米。
（2）20÷÷2
＝20÷2÷
＝10÷
＝（厘米）
××10
＝××10
＝×10
＝
≈318（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是318立方厘米。
13．（1）175.84平方厘米；（2）351.68立方厘米
【分析】（1）圆柱部分涂红色部分的面积等于圆柱的一个底面积加上圆柱的侧面积，圆柱的底面积＝×半径的平方，圆柱的侧面积＝2rh，据此代入数据解答。
（2）陀螺的体积等于底面半径为4厘米，高5厘米的圆柱的体积与底面半径为4厘米，高6厘米的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝h，圆锥的体积＝h解答。
【详解】（1）3.14×＋2×3.14×4×5
＝3.14×16＋6.28×4×5
＝50.24＋25.12×5
＝50.24＋125.6
＝175.84（平方厘米）
答：涂红色部分的面积是175.84平方厘米。
（2）3.14××5＋×3.14××6
＝3.14×16×5＋2×3.14×16
＝3.14×80＋6.28×16
＝251.2＋100.48
＝351.68（立方厘米）
答：这个陀螺的体积是351.68立方厘米。
14．（1）5个；（2）10.5厘米
【分析】（1）根据单价×数量＝总价，用26.25×2即可求出2个长方体花瓶的总价，然后用120元减去2个长方体花瓶的总价，即可求出剩余的钱数，然后除以1个圆柱花瓶的单价，即可求出圆柱花瓶的个数。
（2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据求出水的体积，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积除以长再除以宽，即可求出在长方体花瓶中营养液的水面高度。
【详解】（1）26.25×2＝52.5（元）
120－52.5＝67.5（元）
67.5÷13.5＝5（个）
答：剩下的钱能买5个圆柱花瓶。
（2）3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
785÷15÷5≈10.5（厘米）
答：这时营养液的水面高度约是10.5厘米。
15．（1）72平方厘米
（2）0.048立方分米
【分析】根据题意，红点在相同时间内可以从A点到B点或从A点到O点再到D点，说明OA＋OD＝AB，即圆柱的底面直径和高相等；
如果红点从A点沿着A—B—C—D—E在圆柱表面运动，用时分钟，根据“路程＝速度×时间”可计算出运动的路程，注意单位的换算：1分钟＝60秒；
设OE长度是r厘米，也就是圆柱的底面半径是r厘米；那么AB长2r厘米，BC弧长等于底面周长的一半即（2×3r÷2）厘米，CD长2r厘米，DE长为圆心角为30°扇形的弧长即（2×3r×）厘米，据此列出方程，求出圆柱的底面半径。
（1）根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱的表面积。
（2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。
【详解】分钟＝15秒
解：设OE的长度是r厘米。
2r＋2×3r÷2＋2r＋2×3r×＝1×15
2r＋3r＋2r＋0.5r＝15
7.5r＝15
r＝15÷7.5
r＝2
圆柱的底面半径是2厘米；
圆柱的高是：2×2＝4（厘米）
（1）2×3×2×4＋3×22×2
＝2×3×2×4＋3×4×2
＝48＋24
＝72（平方厘米）
答：圆柱的表面积是72平方厘米。
（2）3×22×4
＝3×4×4
＝48（立方厘米）
48立方厘米＝0.048立方分米
答：圆柱的体积是0.048立方分米。
【点睛】解答本题的关键是根据路程＝速度×时间，求出红点从A点沿着A—B—C—D—E在圆柱表面运动的路程，再列方程计算出圆柱的底面半径，最后根据圆柱的表面积和体积公式进行解答。
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