华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习

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华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定
同步练习
一、选择题
1．下列说法中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
答案：D
解答：根据平行四边形和菱形的性质得到A、B、C均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选D．
分析：主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（　　）
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A．4 　　　 B．6 　　　C．8 　D．10
答案：C
解答：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
分析：首先由CE∥BD，DE∥A ( http: / / www.21cnjy.com )C，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
3．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和 ( http: / / www.21cnjy.com )5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（　　）
A．2 B． C．3 D．
答案：B
解答：∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积等于△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积，∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，又∵菱形ABCD的面积为AC BD＝5，∴图中阴影部分的面积为5÷2＝2.5．
分析：由四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积＝△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
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A．4 B．6 C．8 D．12
答案：C
解答：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．
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分析：在平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AC平分∠DAB，利用平分线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB＝CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
5．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE；其中正确的个数是（　　）
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A．1 　　　　B．2 　　　　C．3 　　D．4
答案：D
解答：∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确；∵四边形ACED是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∥DE，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE，故④正确；综上可得①②③④正确，共4个，故选D．
分析：先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE＝∠COD＝90°，进而判断④正确．
6．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（　　）
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A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
答案：B
解答：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴平行四边形AEDF是菱形，∴四边形AEDF周长为4AE＝16，故选B．
分析：由角平分线的定义及平行四边形的性质，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE，进而可得AE＝ED，由平行四边形的性质可得答案．
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形
D．菱形的对角线相等
答案：C
解答：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A选项错误；有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，故B选项错误；菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，故C选项正确；菱形的对角线不一定相等，故D选项错误．
分析：本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性
8．如图，O是菱形ABCD的对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形；其中正确的结论有（　　）
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
答案：B
解答：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE＝OE，∵S△ADE＝×AE×OD＝×OE×OD＝S△EOD∴S△ADE＝S△EOD；②正确，∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点，∴EF⊥OD，OE＝OF，∵OD＝OD，∴DE＝DF，同理：BE＝BF，∴四边形BFDE是菱形；③正确，∵菱形ABCD的面积＝AC·BD，又∵E、F分别是OA、OC的中点，∴EF＝AC，∴菱形ABCD的面积＝EF·BD；④不正确，由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO；⑤正确，∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD，∴△DEO≌△DFO，∴△DEF是轴对称图形；∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．
分析：此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．
9．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），四边形ABCD是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
答案：B
解答：图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选B．
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分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．
10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（　　）
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A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
答案：B
解答：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥FC，AE＝FC，ED∥BF，DE＝BF，AE∥BF，AE＝BF，∴四边形AECF为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，四边形ABFE为平行四边形，∴AF∥EC即MF∥EN，BE∥FD，即ME∥FN，∴四边形EMFN为平行四边形，又∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于M点，∴ME＝MF，∴四边形EMFN为菱形．
分析：求出四边形ABFE为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME＝MF，根据菱形的判定得出即可．
11．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相互垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
答案：B
解答：对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误；故选B．
分析：利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
12．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
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A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
答案：D
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，故A选项正确；当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，故B选项正确；当BD平分∠ABC时，易证得AB＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，故C选项正确；由排除法可得D选项错误．
分析：此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
13．下列说法中，正确的是（　　）
A．同位角相等 　　　　　　　 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线一定互相垂直 　　　D．四条边相等的四边形是菱形
答案：D
解答：两直线平行时，同位角才相等．故A选项错误；对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形的对角线相等，故B选项错误；矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故C选项错误；根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故D选项正确；故选D．
分析：本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．
14．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
答案：D
解答：由题意可得到的四边形的四条边相等，即是菱形，故选D．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；其中，正确的有（ ）
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A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
答案：A
解答：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；若AD平分∠BAC，则DE＝DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；若AD⊥BC，AB＝AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形，故④正确；所以正确的结论是①②③④．
分析：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．
二、填空题
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝　 　．
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答案：5
解答：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝AC＝DF，∴四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13－x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴，即，解得：x＝5，即BG＝5．
分析：首先可判断四边形BGFD是 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13－x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )D交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　　　　　　（写出一个即可）．
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答案：AB＝AD（答案不唯一）．
解答：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB＝AD（答案不唯一）．
分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．
18．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是　　　　　　．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
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答案：①②④
解答：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HPFD、菱形BEPG，∴①正确；∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形BEPG是平行四边形，∴PE＝BG，PG＝BE，在△BEP和△PGB中，，∴△BEP≌△PGB（SSS），∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBP＝∠GBP，∵PE∥BG，∴∠EPB＝∠GBP，∴∠EBP＝∠EPB，∴BE＝PE，∴PE＝PG，同理HP＝PF，∴四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长，∴④正确；故答案为：①②④．
分析：本题考查了菱形的性质和判定， ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是比较容易出错．
19．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD＝60゜，则重叠部分的面积是　　　　cm2．
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答案：
解答：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB＝cm，同理：BF＝cm，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝cm，∴S菱形ABCD＝AD BE＝（cm2）．
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分析：首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
20．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
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答案：
解答：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．∵AB OC＝AC BC，∴OC＝．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝，∴AD＝AB－2OB＝．
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分析：首先根据勾股定理求得AB＝5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD＝OB，CD＝CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD＝AB－2OB．
三、解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．求证：四边形ADCF是菱形；
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答案：
解答：证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵D、E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形．
分析：根据旋转可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延长线于F，DC＝2AD，AB＝BE．
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（1）求证：AD＝DE．
答案：
解答：证明：∵∠A＝∠DEB＝90°，在Rt△BDA与Rt△BDE中，，∴△BDA≌△BDE，∴AD＝DE．
（2）求证：四边形BCFD是菱形．
答案：
解答：证明：∵AD＝DE，DC＝DE＋EC＝2AD，∴DE＝EC，又∵AD∥BC，∴△DEF≌△CEB，∴DF＝BC，∴四边形BCFD为平行四边形，又∵BE⊥CD，∴四边形BCFD是菱形．
分析：（1）由，利用“HL”可证△BDA≌△BDE，得出AD＝DE；（2）由AD＝DE，DC＝DE＋EC＝2AD，可得DE＝EC，又AD∥BC，可证△DEF≌△CEB，得出四边形BCFD为平行四边形，再由BE⊥CD证明四边形BCFD是菱形．
23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．求证：四边形BCFE是菱形；
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答案：
解答：证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，∴平行四边形BCFE是菱形．
分析：由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF＝BE，则四边形BCFE是菱形．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
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（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．
答案：
解答：证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD＝∠AFB，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
答案：
解答：证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
分析：（1）首先利用SSS定理证明△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C≌△ADC可得∠BAC＝∠DAC，再证△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE；（2）首先证明∠CAD＝∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CD，再根据等角对等边可得AD＝CD，再有条件AB＝AD，CB＝CD可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形．
25．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN．
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（1）将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形ABCD是菱形；
答案：
解答：证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN，∴AR＝AS，∵AR BC＝AS CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形．
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（2）若菱形ABCD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积．
答案：27
解答：解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD＝AB＝BC=CD＝5，∵BE＝3，∴AE＝4，∴DE＝5＋4＝9，∴矩形BEDG的面积为：3×9＝27．
分析：（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．
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