期末模拟检测卷二
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在四边形ABCD中，∠A+∠B＝∠C+∠D．下列说法正确的是（ ）
A．AB∥CD
B．AD∥BC
C．AB∥CD且AD∥BC
D．AB，CD与AD，BC都不平行
5．（3分）如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．16 C．50 D．41
6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知第二次降价的百分率是第一次的2倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315
B．560 （1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315
D．560 （1﹣x）（1﹣2x）＝315
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，当x1＜x2＜x3时，则下列判断正确的是（ ）
A．若x1+x2＜0，则y2 y3＞0
B．若y1 y3＜0，则x2 x3＞0
C．若x2+x3＜0，则y1 y2＞0
D．若y2 y3＜0，则x1 x3＞0
8．（3分）如图，△ABC中，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝8，BC＝10，则EF长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
9．（3分）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2
10．（3分）如图，已知点E在线段AB上，AE＝a，AD＝b（b＞a），∠A＝∠B＝90°，△ADE≌△BEC．连接DC，设DC＝c，下面三个结论：
①；②2b＞c；③．
正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ ．
12．（3分）某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：
年龄（单位：岁） 13 14 15 16
频数（单位：名） 4 16 x 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 ．（请填入正确的序号）
①平均数
②中位数
③方差
④众数
13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BH⊥AD于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
15．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时∠ABC'＝120°，则点C的对应点C′的坐标为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，D是AC的中点，E是BC上一点，将△DEC沿DE折叠得到△DEC'，连接BC'，当△BEC′是直角三角形时，CE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）； （2）．
18．（6分）如图是6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．（1）找出格点D，连结CD，AD，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点P作一条直线l，使直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积．
19．（8分）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
20．（8分）某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
测试成绩统计分析表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差（分2）
甲 95 4
乙 95 5
（1）求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分．
（2）为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
21．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+5）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）若方程有一个实数根是5，求方程的另一个根．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1和反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣2，m），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若实数t满足：当x＝t时，；当x＝t+1时，，求t的取值范围．
23．（12分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝4，求OE的长．
24．（12分）已知正方形ABCD的边长是7，点E为正方形内一动点．
（1）当点E在对角线BD上时．
①如图1，连结AE，CE，求证：AE＝CE．
②若AE＝5，点F是正方形ABCD边上一点，当AE＝EF时，求线段DF的长．
（2）如图2，若BE＝7，点P是线段BE上一点，当BP＝5时，求DE+CP的最小值．
(
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)期末模拟检测卷二
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答．
【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、2，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、10，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）在四边形ABCD中，∠A+∠B＝∠C+∠D．下列说法正确的是（ ）
A．AB∥CD
B．AD∥BC
C．AB∥CD且AD∥BC
D．AB，CD与AD，BC都不平行
【分析】根据四边形ABCD内角和为360°可得∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行可知AD∥BC．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC．
故选：B．
5．（3分）如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．16 C．50 D．41
【分析】根据勾股定理求出AC＝5即可得出答案．
【解答】解：如图，
根据勾股定理得出：AC5，
∴EC＝AC＝5，
∵CE2＝EF2+FC2，
∴阴影部分的面积是52+52＝50．
故选：C．
6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知第二次降价的百分率是第一次的2倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315
B．560 （1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315
D．560 （1﹣x）（1﹣2x）＝315
【分析】根据某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知第二次降价的百分率是第一次的2倍，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
560 （1﹣x）（1﹣2x）＝315，
故选：D．
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，当x1＜x2＜x3时，则下列判断正确的是（ ）
A．若x1+x2＜0，则y2 y3＞0
B．若y1 y3＜0，则x2 x3＞0
C．若x2+x3＜0，则y1 y2＞0
D．若y2 y3＜0，则x1 x3＞0
【分析】由k＜0可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项一—分析即可．
【解答】解：在反比例函数中，k＜0，图象在第二四象限，
当x1＜x2＜x3时，若x1+x2＜0，则|x1|＞|x2|且x1＜0＜x2或x1＜x2＜0，
故y2 y3＜0或y2 y3＞0 故A错误；
若y1 y3＜0 则x1＜0＜x2＜x3或x1＜x2＜0＜x3，故B错误；
若x2+x3＜0则|x2|＞|x3|且x1＜x2＜0＜x3或x1＜x2＜x3＜0，故y1 y2＞0，故C正确；
若 y2 y3＜0则x1＜x2＜0＜x3，则x1 x3＜0，故D错误；
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝8，BC＝10，则EF长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，进而求出EF．
【解答】解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，AB＝8，
∴DFAB＝4，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝10，
∴DEBC＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝5﹣4＝1，
故选：B．
9．（3分）如表是某同学求代数式x2﹣3x的值的情况，根据表格可知方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x2﹣3x … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2
【分析】由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，据此可得答案．
【解答】解：由表知，当x＝0或x＝3时，x2﹣3x＝0，
所以方程x2﹣3x＝0的根是x＝0或x＝3，
故选：C．
10．（3分）如图，已知点E在线段AB上，AE＝a，AD＝b（b＞a），∠A＝∠B＝90°，△ADE≌△BEC．连接DC，设DC＝c，下面三个结论：
①；②2b＞c；③．
正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的性质得出DE＝CE，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵△ADE≌△BEC，
∴DE＝CE，∠ADE＝∠BEC，BE＝AD＝b，BC＝AE＝a，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝a2+b2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝DE2+CE2＝2a2+2b2，
∴c2＝2a2+2b2，
即，故①正确；
过C作CF⊥AD于F，则四边形ABCF是矩形，
∴CF＝AB＝a+b，AF＝BC＝a，
∴DF＝AD﹣AF＝a﹣b，
∵CF+DF＞CD，
∴b﹣a+a+b＞c，
即2b＞c，故②正确；
∵（a﹣b）2＝b2﹣2ab+a2＞0，
∴b2+a2＞2ab，
∴，
∴c2＞4ab，
∴，故③正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ 7 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
【解答】解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2） 180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：7．
12．（3分）某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：
年龄（单位：岁） 13 14 15 16
频数（单位：名） 4 16 x 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 ②④ ．（请填入正确的序号）
①平均数
②中位数
③方差
④众数
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：4+16+10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；
故答案为：②④．
13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BH⊥AD于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 96 ．
【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×6＝12，
∴菱形ABCD的面积AC BD16×12＝96，
故答案为：96．
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＝ax2+bx+c＞0．
故答案为：﹣1＜x＜3
15．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时∠ABC'＝120°，则点C的对应点C′的坐标为 （4，2） ．
【分析】根据正方形、平行四边形的性质以及直角三角形的边角关系求出OD′，AD′，进而得出OE，C′E即可．
【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥x轴于点E，
∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵∠ABC′＝120°，
∴∠D′AB＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△OAD′中，OA＝2，∠D′AO＝60°，
∴OD′OA＝2，AD′＝2OA＝4，
∵AD′∥BC′，
∴∠D′AO＝∠C′BE＝60°，
∵∠AOD′＝∠BEC′＝90°，AD′＝BC′，
∴△AOD′≌△BEC′（AAS），
∴OA＝BE＝2，
∴OE＝OB+BE＝OB+OA＝AB＝AD′＝4，
∴点C′的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，D是AC的中点，E是BC上一点，将△DEC沿DE折叠得到△DEC'，连接BC'，当△BEC′是直角三角形时，CE的长为 3或6 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当∠EC′B＝90°时，由∠DC′E+∠EC′B＝180°，证得D，C′，B共线，再根据勾股定理求得BD10，再次运用勾股定理在Rt△BEC′中求得CE；如图2中，当∠BEC′＝90°时，由折叠得∠CED＝∠DEC′＝45°，从而求得△CDE是等腰直角三角形求解即可．
【解答】解：如图1，当∠EC′B＝90°时，
∵∠C＝∠BC′E＝90°，
∴∠DC′E+∠EC′B＝180°，
∴D，C′，B共线，
∵AC＝12，
∴CD＝DA＝6，
∴BD10，
设CE＝EC′＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BEC′中，则有BE2＝BC′2+EC′2，
即（8﹣x）2＝x2+（10﹣6）2，
解得x＝3，
∴CE＝3；
如图2中，当∠BEC′＝90°时，∠CED＝∠DEC′＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝∠C′DE＝45°，
∴CD＝CE＝6，
综上所述，满足条件的CE的值为3或6，
故答案为：3或6．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式
＝4；
（2）原式＝23
．
18．（6分）如图是6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．（1）找出格点D，连结CD，AD，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点P作一条直线l，使直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积．
【分析】（1）利用网格的特点找到点D使得AD平行且等于BC即可．
（2）利用平行四边形的对称性，找到对角线AC、BD的交点O，过点P、O作直线l交AD于点E即可．
【解答】解：（1）取格点D，使AD平行且等于BC，即可得到平行四边形ABCD．
（2）连接AC、BD交于点O，过点P、O作直线l交AD于点E，直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积．
19．（8分）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【分析】（1）由题意可得出答案；
（2）设有x人报名参赛，列出方程，解方程可得出答案；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得出，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，得5个人需比赛的局数为；
（2）小哲说的有道理，
理由如下：设有x人报名参赛，
由题意得，
整理得 x2﹣x﹣140＝0，解得，不为整数．
∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得，
，
整理得 x2﹣3x+2n﹣138＝0，
解得．
当n＝4 时，x＝13，符合题意，
∴共有13名参赛者报名本次比赛．
20．（8分）某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
测试成绩统计分析表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差（分2）
甲 95
95
4
乙
95.5
95 5
（1）求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分．
（2）为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式以及中位数的定义解答即可；
（2）较甲乙两人成绩的平均数、方差和中位数，可得答案．
【解答】解：（1）这6次测试中，甲的中位数为95.5（分），
乙的平均分为：（97+98+91+95×2+94）＝95（分），
故答案为：95.5，95；
（2）建议选甲参加市小数学家评比，理由如下：
虽然乙的平均数比甲高，但甲6次测试成绩的方差比乙小，且甲每次的成绩稳中有进，所以建议选甲参加市小数学家评比．（答案不唯一）．
21．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+5）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）若方程有一个实数根是5，求方程的另一个根．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）根据方程的解的定义求出m的值，可得结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×3m
＝m2+10m+25﹣12m
＝m2﹣2m+25
＝（m﹣1）2+24，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）解：∵方程一个根为5，
∴25﹣5（m+5）+3m＝0，
∴m＝0，
∴方程为x2﹣5x＝0，
∴x1＝0，x2＝5，
∴另一个根为0．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1和反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣2，m），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若实数t满足：当x＝t时，；当x＝t+1时，，求t的取值范围．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出m，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题．
（2）利用数形结合的数学思想，得出关于t的不等式，据此可解决问题．
【解答】解：（1）将点A坐标代入y＝x+1得，
m＝﹣2+1＝﹣1，
所以点A的坐标为（﹣2，﹣1），
将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2，
所以反比例函数的解析式为y．
（2）将x＝1代入y得，
y＝2，
所以点B的坐标为（1，2）．
由函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即x+1，
当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即x+1．
又因为当x＝t时，；当x＝t+1时，，
所以t＜﹣2或0＜t＜1，或﹣2＜t+1＜0或t+1＞1，
所以﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．
23．（12分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即可求证；
（2）在Rt△ACE中，OE是斜边AC的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠ABO＝∠ACE，
∴∠ABO+∠CAE＝90°，
∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，平行四边形ABCD是菱形，
∵，BD＝4，
∴，
∴在Rt△AOB中，，
∵O是线段AC的中点，
在Rt△ACE中，OE是斜边AC的中线，且AC＝12，OA＝OC，
∴．
24．（12分）已知正方形ABCD的边长是7，点E为正方形内一动点．
（1）当点E在对角线BD上时．
①如图1，连结AE，CE，求证：AE＝CE．
②若AE＝5，点F是正方形ABCD边上一点，当AE＝EF时，求线段DF的长．
（2）如图2，若BE＝7，点P是线段BE上一点，当BP＝5时，求DE+CP的最小值．
【分析】（1）①证明△ABE≌△CBE，从而得出结论；
②当点F在AD上时，作EG⊥AD于G，在Rt△AEG中，根据勾股定理得出EG2+（7﹣EG）2＝52，求得EG的长，进一步得出点F在正方形四条边上时，DF的值；
（2）在BC上取一点Q，使BQ＝BP＝5，连接DQ，可证得△EBQ≌△CBP，从而EQ＝CP，从而得出DE+CP＝DE+EQ≥DQ，当D、E、Q共线时，DE+EQ最小，最小值是DQ，进一步得出结果．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CAD＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
②解：如图1，
作EG⊥AD于G，作EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDC＝45°，
∴∠DEC＝∠EDC＝45°，
∴DG＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝AD﹣DG＝7﹣EG，
∵AG2＝AE2，
∴EG2+（7﹣EG）2＝52，
∴EG＝3或4，
当EG＝3时，AG＝4时，
∵AE＝EF，
∴AF＝2AG＝8＞7，故舍去，
当点F在AB上时，
AF＝2AH＝2AG＝6，
∴DF，
当点F在CD上时，由（1）知，
点F在C点处，此时DF＝7，
当点F在BC上时，此时CF＝2CW＝2DG＝6，
DF，
当EG＝4时，
点F在AD上时，AG＝3，
∴AF＝2AG＝6，DF＝AD﹣AF＝1，
点F在AB上时，AF＝2EG＝8＞7，故舍去，
当点F在CD上时，点F仍在点C处，DF＝7，
当点F在BC上时，AF＝2EG＝8＞7，故舍去，
综上所述：DF＝1或或7；
（2）解：如图2，
在BC上取一点Q，使BQ＝BP＝5，连接DQ，
∵BC＝BE＝7，∠EBQ＝∠CBP，
∴△EBQ≌△CBP（SAS），
∴EQ＝CP，
∴DE+CP＝DE+EQ≥DQ，
当D、E、Q共线时，DE+EQ最小，最小值是DQ，
在Rt△DCQ中，CD＝7，CQ＝BC﹣BQ＝7﹣5＝2，
∴DQ，
∴DE+CP的最小值为
(
1
)
