华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习

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华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定
同步练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
答案：C
解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判 ( http: / / www.21cnjy.com )定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．
分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
2．对角线互相平分且相等的四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
答案：B
解答：∵该四边形的对角线互相平分，∴该四边形是平行四边形，又∵该平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形是矩形，故选B．
分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．
3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等
答案：D
解答：对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．
分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．
4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC 　　C．AC＝BD 　　　D．AB＝BC
答案：C
解答：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选C．
分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（　　）
A．平行四边形 　　B．矩形 　　C．菱形 　D．正方形
答案：B
解答：如下图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．
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分析：根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD一定是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
答案：B
解答：对角线相等的平行四边形是矩形．
分析：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD 　C．∠ABC＝90° 　　　D．∠1＝∠2
答案：C
解答：A中是邻边相等，不可判定平行四边形ABCD是菱矩形；B中是对角线互相垂直，不可判定平行四边形ABCD是矩形；C中是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D中是对角线平分对角，不可判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．
分析：本题主要应用的知识点为，矩形的判定：①对角线相等且相互平分的四边形为矩形；②一个角是90度的平行四边形是矩形．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　）
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A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BD 　　D．AB＝AD
答案：A
解答：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．
分析：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．
9．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
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A．4 　　　　B．4.8 　　C．5.2 　　D．6
答案：B
解答：如图，连接PA，∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴，∴∠BAC＝90°，又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，AP＝EF，当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵AB AC＝BC AP，即AP＝＝＝4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选B．
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分析：先由矩形的判定定理推知四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．
10．下列命题错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
答案：C
解答：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．
分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）
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A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 　　D．先增大后减少
答案：C
解答：如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．
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分析：连接CP，先判断出四边形C ( http: / / www.21cnjy.com )FPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
12．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：C
解答：①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．
分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．
13．下列关于矩形的说法中正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形
答案：B
解答：矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；
故选B．
分析：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
14．对角线 　的平行四边形是矩形（ ）
A．互相垂直且平分 B．互相平分 C．互相垂直 D．相等
答案：D
解答：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选D．
分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
15．在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的周长（　　）
A．　　　　 B．　　　　　C．　　　 D．
答案：A
解答：如下图所示，延长BC、AD交于O，∵∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B＝∠CDO＝90°，∠O＝30°，∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2AB＝8，CO＝2CD＝4，由勾股定理得：，，∴，，∴AB＋AD＋DC＋BC＝，故选A．
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分析：延长BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．
二、填空题
16．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 　　（只填一个）．
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答案：∠ABC＝90°或AC＝BD（不唯一）
解答：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC＝90°或AC＝BD，故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．
分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
17．对角线 　的四边形是矩形．
答案：相等且互相平分
解答：根据矩形的判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故填“相等且互相平分”．
分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线又相等故为矩形．
18．如图，在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　　　　　　．（填上你认为正确的一个答案即可）
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答案：∠A＝90°
解答：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°．
分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
19．如图所示，已知平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD是矩形的有（填写序号）　 　．
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答案：①④
解答：能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
分析：矩形是特殊的平行四边形，矩形有 ( http: / / www.21cnjy.com )而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为　 　度时，四边形ABFE为矩形．
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答案：60
解答：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC，又因为AC＝AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°．
分析：本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC， ( http: / / www.21cnjy.com )点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
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（1）求证：△AEF≌△BED；
答案：
解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）．
（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．
答案：四边形AFBD是矩形
解答：证明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．
分析：（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．
22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
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（1）求证：BD＝CD；
答案：
解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD．
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
答案：四边形AFBD是矩形
解答：四边形AFBD是矩形，理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AF＝BD，又∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．
分析：（1）先由AF∥BC，利用平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．由于AF ( http: / / www.21cnjy.com )平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
23．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．
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（1）求证：OE＝OD；
答案：
解答：证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED的中点．∴OE＝OD．
（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．
答案：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形
解答：解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．
分析：（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC＝AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．
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答案：
解答：证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∵点E是BC的中点，∴EC＝BE＝AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形．．
分析：先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC＝90°即可判断出四边形AECD是矩形．
25．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
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（1）求证：△ABF≌△ECF；
答案：
解答：证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠AEC，又∵CE＝CD，∴AB＝CE，在△ABF和△ECF中，，∴△ABF≌△ECF（AAS）．
（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理
答案：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形
解答：解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥DC，AB＝DC，∴∠BCE＝∠D，AB∥EC，又∵CE＝DC，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠AFC＝∠FEC＋∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形．
分析：（1）由四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形，CE＝DC，易证得∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，则可证得△ABF≌△ECF；（2）首先根据四边形ABCD是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．
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