（期末培优卷）期末常考易错培优卷-2024-2025学年五年级下学期数学北师大版（含解析）

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2024-2025学年五年级下学期数学期末常考易错培优卷
考试时间：90分钟；试卷总分：100分；
学校： 班级： 姓名： 成绩：
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、填空题。（每空1分，共20分）
1．小狗站在百米跑道的终点，看到起点有一个像是它主人的人向它走来。它盯着看了5秒，确定那就是主人，于是它以3米/秒的速度向主人跑去，若主人的行走速度是2米/秒，则小狗跑了( )秒和主人相遇。
2．长方体纸盒的两个面如图所示。这个纸盒的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。
3．《西游记》是统编小学语文软材推荐的必读书目之一。笑笑已经读了90页，占这本书的，这本《西游记》共( )页。
4．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。
5．把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了。原来正方体木块的表面积是( )，体积是( )。
6．集邮可以加深我们对不同国家、地区、动植物、历史事件等的了解。小周和爸爸都喜欢集邮，爸爸收集了80张邮票，如果爸爸取出自己邮票的给小周，那么两人邮票同样多，原来小周有( )张邮票。
7．工程队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天一共修了全长的，第二天比第一天多修了全长的。
8．苗圃中的一些苗木很珍贵，园艺工人买了一根20m长的绳子将一些珍贵的苗木保护起来，捆绑沉香苗用去，捆绑一棵紫檀苗用去了m，还剩下绳子( )m。
9．甲数是乙数的，乙数是丙数的，（甲乙丙数均不为0）甲乙两数相比，把( )看作单位“1”，乙丙两数相比，应把( )看作单位“1”，如果甲数是100，那么丙数是( )。
10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
×( ) ÷1( )×1 ÷( )
11．如果（a、b、c均大于0）。那么a、b、c这三个数中最大的数是( )，最小的数是( )。
12．某校六年级有学生144人，五年级有学生166人，五、六年级的学生人数正好占全校学生人数的，这个学校一共有( )名学生。
二、判断题。（每题1分，共5分）
13．若将60升水倒入一个从里面量棱长是5分米的正方体容器中，则这时水的高度是3分米。( )
14．分数除法的计算方法中蕴含着转化思想。( )
15．五（一）班学生的平均身高是1.48米，小明的身高可能等于1.48米。( )
16．点A在点B西偏北30°方向上，则点B在点A北偏西30°方向上。( )
17．长方体的展开图中，最多可以出现4个正方形。( )
三、选择题。（每题1分，共8分）
18．如果（与均不等于0），那么关于与的关系，描述正确的是（ ）。
A． B． C．无法判断
19．学习长方体的体积时，同学们用7个体积是1立方米的小正方体像下图这样摆一摆。三个长方体中体积最大的是（ ）。
A． B． C．
20．学校的位置在淘气家北偏东方向900米处，则淘气家在学校（ ）。
A．东偏北30°方向900米处 B．西偏南30°方向900米处
C．东偏北60°方向900米处 D．南偏西30°方向900米处
21．巧克力原本是苦的，用糖能减轻苦味。某厂商新推出一款58元/盒的巧克力，有两种优惠方式。方式一：超过3盒的部分享六九折优惠；方式二：买四赠一。奇奇准备买6盒，选择什么优惠方式更划算？（ ）
A．方式一 B．方式二 C．一样划算 D．无法确定
22．如图，将一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加（ ）。
A．600 B．1200 C．40 D．无法确定
23．汽车4S店统计上半年燃油轿车和新能源轿车的销售变化情况，应该选用（ ）。
A．条形统计图 B．复式条形统计图 C．复式折线统计图 D．都可以
24．一本书有x页，笑笑看了，刚好看了60页。这本书有多少页？根据题意列方程，正确的是（ ）。
A． B． C． D．
25．如果A×＝B÷＝C×，且A、B、C均不为0，那么这三个数相比，（ ）。
A．A最大 B．B最大 C．C最大 D．一样大
四、计算题。（共25分）
26．口算。（共8分）


27．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。（共6分）

28．解方程。（共6分）

29．求下面由长方体和正方体组合而成的图形的表面积和体积。（单位：cm，共5分）
五、操作题。（共6分）
30．看图回答并画一画。
（1）从小磊家出发，经过商场、阳阳家，最后到电影院，请写出行走的方向和距离。
（2）博物馆在小磊家的东偏南15°方向上，距离是800米；艺术馆在电影院的西偏南30°方向上，距离是600米，在图中标出博物馆和艺术馆的位置。
六、解答题。（每题6分，共36分）
31．成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？
32．国庆小长假期间，明明一家自驾从西安前往太原旅游，驾车行驶了全程的时遇到一个高速服务区，明明的爸爸将车开进服务区打算休息一段时间，再继续开往太原，这个高速服务区离太原还有330千米。西安到太原的路程是多少千米？
33．工程队修建高速公路需要打隧道。隧道全长5.5千米。甲工程队每个月可以推进120米，乙工程队每个月可以推进130米。如果两个工程队从两头同时开工。这条隧道几个月可以完成？
34．把一个不规则的铁块完全浸没在一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体容器中，放入铁块前水面的高度是2.3分米，放入铁块后水面上升到2.7分米，这个铁块的体积是多少立方分米？
35．奇思家与妙想家相距960米，两人同时从家里出发，奇思每分步行70米，妙想每分步行50米，出发后多长时间两人相遇？
（1）根据题中的信息写出等量关系，再列方程解答。
（2）请你改变题中的数学信息，提出一个求速度的新问题，再列方程解答。
36．有A、B两个无水的长方体容器，A容器底面是边长3厘米的正方形，B容器底面长是5厘米，宽3厘米。现在向这两个容器中注入同样多的水后，水面高度相差5厘米（水均无溢出）。这时A容器水面高度是多少厘米？
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参考答案及试题解析
1．18
【分析】设小狗跑了秒和主人相遇。根据等量关系：100米＝小狗秒跑的路程＋主人秒行的路程＋主人5秒行的路程，列出方程即可求解。
【解答】解：设小狗跑了秒和主人相遇。
3＋2＋2×5＝100
3＋2＋10＝100
5＋10＝100
5＋10－10＝100－10
5＝90
5÷5＝90÷5
＝18
小狗跑了18秒和主人相遇。
2．120 158
【分析】从题意可知：这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体长表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出它的体积和表面积。
【解答】8×5×3＝120（立方厘米）
（8×5＋8×3＋5×3）×2
＝（40＋24＋15）×2
＝79×2
＝158（平方厘米）
这个纸盒的体积是120立方厘米，表面积是158平方厘米。
3．120
【分析】把《西游记》的总页数看作单位“1”，已经读了90页，占这本书的，单位“1”未知，用已读的页数除以，求出这本《西游记》的总页数。
【解答】90÷
＝90×
＝120（页）
这本《西游记》共120页。
4．80
【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。
【解答】
（cm）
用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。
5．216 216
【分析】这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了两个正方体木块的两个面的面积，用增加的面积除以2求出正方体木块一个面的面积，即72÷2＝36（），用正方体一个面的面积乘6就是原来正方体木块的表面积；因为6×6＝36（），所以正方体木块的棱长是6cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体木块的体积。
【解答】72÷2＝36（）
6×6＝36（）
36×6＝216（）
6×6×6
＝36×6
＝216（）
所以原来正方体木块的表面积是216，体积是216。
6．60
【分析】用爸爸收集的张数乘，计算出爸爸取出的张数（也就是给小周的张数），再用爸爸原有的张数减去取出的张数计算出现在爸爸的张数，由于两人现在一样多，爸爸现在的张数就是小周现在的张数，再减去爸爸给小周的张数即可。
【解答】（张）
（张）
（张）
原来小周有60张邮票
7．；
【分析】求两天一共修了全长的几分之几，根据加法的意义，把第一天、第二天修了全长的几分之几相加即可；求第二天比第一天多修了全长的几分之几，根据减法的意义，用第二天修了全长的分率减去第一天修了全长的分率即可。
【解答】＋
＝＋
＝
－
＝－
＝
两天一共修了全长的，第二天比第一天多修了全长的。
8．
【分析】由题可知，绳子的总长度是20m，把绳子的总长度看作单位“1”，已知捆绑沉香苗用去，则还剩下（1－），用绳子的总长度乘（1－），求出捆绑沉香苗后剩下的长度，又知捆绑一颗紫檀苗用去了m，再用剩下的绳子长度减去m，即可求出捆绑紫檀苗后剩下的长度。
【解答】20×（1－）－
＝20×－
＝10－
＝（m）
还剩下绳子m。
9．乙数 丙数 1250
【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，据此判断出单位“1”；把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的，对应的是甲数100，求单位“1”，用100÷，求出乙数，再把丙数看作单位“1”，乙数是丙数的，对应的是乙数，求单位“1”，用乙数÷，即可求出丙数。
【解答】甲数是乙数的，是把乙数看作单位“1”；
乙数是丙数的，是把丙数看作单位“1”。
100÷÷
＝100×10×
＝1000×
＝1250
甲数是乙数的，乙数是丙数的，（甲乙丙数均不为0）甲乙两数相比，把乙数看作单位“1”，乙丙两数相比，应把丙数看作单位“1”，如果甲数是100，那么丙数是1250。
10．＜ ＝ ＞
【分析】（1）一个非0的数乘一个真分数，积小于这个数；乘一个假分数，积大于或等于这个数，据此完成第一个空；
（2）一个数乘1等于它本身，一个数除以1结果也等于它本身，据此完成第二个空；
（3）一个非0的数除以一个真分数，结果大于这个数；除以一个假分数，结果小于或等于这个数，据此完成第三个空。
【解答】因为是真分数，所以×＜；
÷1＝×1；
因为是真分数，所以÷＞。
×＜；÷1＝×1；÷＞。
11．a b
【分析】设＝1，则a是的倒数，是；b是的倒数，是；c是1.比较三个数的大小即可解答。
假分数大于或等于1，真分数小于1，假分数大于真分数。据此解答。
【解答】设＝1，则a是，b是，c是1.＞1＞，那么a、b、c这三个数中最大的数是a，最小的数是b。
12．930
【分析】将五年级和六年级的人数相加，求出人数和。将全校学生人数看作单位“1”，单位“1”未知，将两个年级的人数和除以对应的分率，求出这个学校一共有多少人。
【解答】（166＋144）÷
＝310÷
＝310×3
＝930（人）
所以，这个学校一共有930名学生。
13．×
【分析】先将水的体积单位转化成立方分米，根据长方体的高＝体积÷底面积，用水的体积除以正方体容器的底面积，即可求出水的高度，据此解答。
【解答】60升＝60立方分米
60÷（5×5）
＝60÷25
＝2.4（分米）
这时水的高度是2.4分米而不是3分米。
故答案为：×
14．√
【分析】根据乘除法的互逆关系，运用转化思想方法把分数除法变成分数乘法进行计算。
【解答】除以一个分数等于乘这个分数的倒数，将分数除法变成分数乘法进行计算，所以分数除法的计算方法中蕴含着转化思想，本题说法正确。
故答案为：√
15．√
【分析】平均数是用一组数据中所有数据之和除以数据的个数得来的。通过这些全班同学身高的总和除以全班人数得到平均身高1.48米。平均身高为1.48米，小明的身高可能正好是1.48米，小明的身高也可能高于1.48米，小明的身高也可能低于1.48米，据此解答。
【解答】由分析得：
五（一）班学生的平均身高是1.48米，小明的身高可能等于1.48米，这种说法正确。
故答案为：√
16．×
【分析】点A在点B西偏北30°方向上，是以点B为观测点；点B在点A的方向是以点A为观测点，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同；由此判断。
【解答】由分析可得：点A在点B西偏北30°方向上，则点B在点A东偏南30°方向上，原题说法错误。
故答案为：×
17．×
【分析】长方体有6个面，其中只可能有两个相对的面是正方形，据此解答。
【解答】若长方体有两个相对的面是正方形时，它仍是长方体，它的展开图中会有两个正方形。若长方体有两对相对的面都是正方形，则这个长方体就成了正方体。所以说长方体的展开图中不可能有4个面是正方形。故原题说法错误。
故答案为：×
18．A
【分析】根据一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数大，当分子＞分母时，分数值＞1，进行分析。
【解答】如果（与均不等于0），说明＞1，因此。
故答案为：A
19．C
【分析】棱长1米的正方体，体积是1立方米，观察摆的小正方体，可以确定长方体的长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出各选项长方体的体积，比较即可。
【解答】A．5×2×2＝20（立方米）
B．4×3×2＝24（立方米）
C．3×3×3＝27（立方米）
27＞24＞20
三个长方体中体积最大的是。
故答案为：C
20．D
【分析】根据位置的相对性可知，淘气家与学校方向相反，角度相等，距离相等，据此解答。
【解答】以淘气家为观测点，学校在淘气家正北偏东30°方向，距离淘气家900米处，由位置的相对性可知，以学校为观测点，淘气家在学校正南偏西30°或正西偏南60°方向，两地之间的距离不变。
故答案为：D
21．B
【分析】方式一：因为奇奇买6盒，超过3盒，所以（6－3）盒享受六九折，六九折就是现价是原价的，用原价×3，求出3盒的价钱；再用原价×3×，求出超出部分3盒的钱数，再相加，求出一共需要的钱数；
方式二：买四送一，就是买四盒的钱数给五盒，奇奇买6盒，实际上付五盒的钱数，用原价×5，求出奇奇需要的钱数，再和方式一比较，即可解答。
【解答】方式一：
六九折就是现价是原价的。
58×3＋58×（6－3）×
＝58×3＋58×3×
＝174＋120.06
＝294.06（元）
方式二：
58×5＝290（元）
294.06＞290，方式二更划算。
巧克力原本是苦的，用糖能减轻苦味。某厂商新推出一款58元/盒的巧克力，有两种优惠方式。方式一：超过3盒的部分享六九折优惠；方式二：买四赠一。奇奇准备买6盒，选择方式二更划算。
故答案为：B
22．B
【分析】根据题意，结合图示可知，一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加了2个面，用30乘上20求出一个面的面积，再乘上2即可。
【解答】30×20×2
＝600×2
＝1200（）
故答案为：B
23．C
【分析】复式条形统计图和复式折线统计图都能够体现两种的对比，不同点在于条形统计图很容易能看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况。由此选择即可。
【解答】汽车4S店统计上半年燃油轿车和新能源轿车的销售变化情况，应该选用复式折线统计图。
故答案为：C
24．D
【分析】设这本书有x页，将这本书的页数看作单位“1”，这本书的页数×看了的对应分率＝看了的页数，据此列出方程解答即可。
【解答】解：设这本书有x页。
这本书有240页。
根据题意列方程，正确的是。
故答案为：D
25．A
【分析】观察算式可知，它们的得数相等，可以设得数都等于1，然后根据“因数＝积÷另一个因数”，“被除数＝商×除数”，分别求出A、B、C的值，再比较大小，找出最大的数。
【解答】设A×＝B÷＝C×＝1；
A＝1÷＝1×＝＝
B＝1×＝
C＝1÷＝1×＝＝
＞＞
即A＞C＞B。
这三个数相比，A最大。
故答案为：A
26．；；；6
；；；0
【解答】略
27．；8；
【分析】（1）根据“带着符号搬家”的方法，把原式改写为，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），把式子改为简算；
（2）先把除法改写成乘法，再运用乘法交换律简算；
（3）根据减法的性质a－（b－c）＝a＋c－b，原式改写为简算。
【解答】
＝
＝
＝1－
＝

＝
＝
＝1×8
＝8
＝
＝1－
＝
28．；；
【分析】（1）根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减，计算即可得解。
（2）根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时加，计算即可得解。
（3）等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减，计算即可得解。
【解答】
解：
解：
解：
29．1036；1512
【分析】表面积是物体所有面的面积之和，下面的长方体上面被遮挡了一个正方形的面，把正方体的上面移下来补成一个完整的长方体，这样这个组合体的表面积为下面长方体的表面积加上4个正方形的面积；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，即（25×10＋25×4＋10×4）×2＋8×8×4＝1036（）据此解答；物体所占空间的大小就是这个物体的体积，所以这个组合体的体积为长方体的体积加正方体的体积之和，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即25×10×4＋8×8×8＝1512（），据此解答。
【解答】表面积：
（25×10＋25×4＋10×4）×2＋8×8×4
＝（250＋100＋40）×2＋256
＝390×2＋256
＝780＋256
＝1036（）
体积：
25×10×4＋8×8×8
＝1000＋512
＝1512（）
所以这个组合体的表面积为1036，体积为1512。
30．（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）确定路线时，注意起始点与目的地，起始点是观测点，按照“上北下南，左西右东”确定方向，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米，根据方向、角度和距离描述路线。
（2）在小磊家的东偏南15°方向上画800÷200＝4厘米长的线段，即是博物馆；
在电影院的西偏南30°方向上画600÷200＝3厘米长的线段，即是艺术馆。
【解答】（1）200×2＝400（米）
200×5＝1000（米）
200×3＝600（米）
从小磊家先向东偏北45°（或北偏东45°）方向走400米到达商场，再向东偏南30°（或南偏东60°）方向走1000米到达阳阳家，最后向东偏北60°（或北偏东30°）方向走600米到达电影院。
（2）如图：
31．75千米
【分析】设轿车每时行驶多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30千米＋货车2小时行的路程＋轿车2小时的路程，列出方程求解即可。
【解答】解：设轿车每时行驶多少千米。
30＋60×2＋2＝300
30＋120＋2＝300
150＋2＝300
150＋2－150＝300－150
2＝150
2÷2＝150÷2
＝75
答：轿车每时行驶75千米。
32．600千米
【分析】把西安到太原的路程看作单位“1”， 驾车行驶了全程的，还剩全程的（1－），剩下的路程是330千米，根据单位“1”未知，求单位“1”，用对应的数量除以对应的分率即可解答，用330÷（1－）列式解答。
【解答】330÷（1－）
＝330÷
＝330×
＝600（千米）
答：西安到太原的路程是600千米。
33．22个月
【分析】5.5千米＝5500米；设这条隧道x月可以完成；甲工程队每个月可以推进120米，x月可以推进120x米；乙工程队每个月可以推进130米，x月可以推进130x米；甲工程队推进的长度＋乙工程队推进的长度＝隧道的长度，列方程；120x＋130x＝5500，解方程，即可解答。
【解答】5.5千米＝5500米
解：设这条隧道x月可以完成。
120x＋130x＝5500
250x＝5500
250x÷250＝5500÷250
x＝22
答：这条隧道22个月可以完成。
34．8立方分米
【分析】根据题意，这个铁块的体积等于上升的水的体积，而上升的水的形状是长5分米，宽4分米，高（2.7－2.3）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。
【解答】5×4×（2.7－2.3）
＝5×4×0.4
＝8（立方分米）
答：这个铁块的体积是8立方分米。
35．（1）等量关系见详解；8分钟；
（2）见详解
【分析】（1）本题是一个行程问题中的相遇问题，运用了“路程＝速度×时间”这一数学概念。奇思和妙想同时出发相向而行，他们的路程之和等于两家之间的距离。通过设出发时间为x分钟，利用这个概念列出方程，从而求出相遇时间。
（2）这是对行程问题的拓展变形，仍然基于“路程＝速度×时间”的概念。已知路程和相遇时间，通过设奇思的速度为未知数，根据两人路程之和等于总路程来列方程，从而求出奇思的速度。
【解答】（1）等量关系：奇思步行的路程＋妙想步行的路程＝两家之间的距离
解：设出发后x分钟两人相遇，奇思步行的路程为70x米，妙想步行的路程为50x米。
70x＋50x＝960
120x＝960
120x÷120＝960÷120
x＝8
答：出发后8分钟两人相遇。
（2）新问题：奇思家与妙想家相距1200米，两人同时从家里出发，妙想每分钟步行50 米，8分钟后相遇，奇思每分钟步行多少米？
等量关系：奇思步行的路程＋妙想步行的路程＝两家之间的距离
解：设奇思每分钟步行x米。
8x＋50×8＝1200
8x＋400＝1200
8x＋400－400＝1200－400
8x＝800
8x÷8＝800÷8
x＝100
答：每分钟步行100米。（答案不唯一）
36．12.5厘米
【分析】根据“水面高度相差5厘米”可知，A容器中水的高度比B容器的高5厘米，可以设这时A容器水面高度是厘米，则B容器水面高度是（－5）厘米；
根据“向这两个容器中注入同样多的水”可知，A、B容器中水的体积相等；由长方体的体积＝长×宽×高，据此列出方程，并求解。
【解答】解：设这时A容器水面高度是厘米，则B容器水面高度是（－5）厘米。
3×3×＝5×3×（－5）
9＝15（－5）
9＝15－75
9＋75＝15－75＋75
9＋75＝15
9＋75－9＝15－9
75＝6
6÷6＝75÷6
＝12.5
答：这时A容器水面高度是12.5厘米。
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