【中考真题汇编】江苏省2024-2025学年苏科版中考数学题型专项培优 解答题二（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考真题汇编】江苏省2024-2025学年苏科版中考数学题型专项培优 解答题二（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-10 20:46:57 | ||
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文档简介
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题型专项培优 解答题
一．解答题（共32小题）
1．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
2．（2024 常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 ，d＝ （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
3．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
4．（2024 常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
5．（2024 扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
6．（2024 扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA＝，CM＝12，求BM的长．
7．（2024 扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
8．（2024 扬州）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
9．（2024 盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ，共铲 行，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
10．（2024 盐城）如图1，E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
（2）①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当 ABCD满足 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
11．（2024 盐城）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
12．（2024 盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
13．（2024 无锡）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点A（0，﹣3）和点B（3，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤3，求m的取值范围；
（3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由．
14．（2024 无锡）大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点．
（1）a的值为 ；
（2）求图中BC所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间．
15．（2024 无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC．
（1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB＝，则CD＝ ．
16．（2024 无锡）在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“+1”和“﹣1”，B盒里有三张卡片，分别标有“+2”“﹣2”和“+3”．这些卡片除数字外其他都相同．
（1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是 ．
（2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标．求这个点在第一象限的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
17．（2024 常州）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
18．（2024 常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
19．（2024 常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 ．
20．（2024 常州）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
21．（2024 扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 ．
22．（2024 扬州）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
23．（2024 扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
24．（2024 扬州）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
25．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
26．（2024 盐城）阅读涵养心灵．某地区2023年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为t h，调查问卷设置了四个时间选项：A．t＜1；B．1≤t＜1.5；C．1.5≤t＜2；D．t≥2），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．2023年9月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2023年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
（1）2023年9月份抽样调查的样本容量为 ，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为 人；
（2）估算该地区2023年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率；（精确到0.01%）
（3）根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价．
27．（2024 盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
28．（2024 盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动．
A．新四军纪念馆（主馆区）；
B．新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）．
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站．
（1）小明选择基地A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率．
29．（2024 无锡）如图，AB为半圆O的直径，AB＝1，BM为半圆O的切线，点C为BM上的一个动点，连接AC交半圆O于点D，作DE⊥BM于点E．
（1）当点O关于AC的对称点O′恰好在半圆上时，求BC的长；
（2）设DE＝x，CE＝y，求y关于x的函数表达式．
30．（2024 无锡）如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD，以BD为直径作⊙O，⊙O经过点A，与BC交于点E，且＝．
（1）若∠C＝40°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝6，AD＝3，求CE的长．
31．（2024 无锡）美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）扇形统计图中，D徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是多少？
（3）该校共有1400名学生，请你估计选择A徽标的学生有多少人？
32．（2024 无锡）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，AE⊥AD，CF⊥BC．
求证：（1）△EAD≌△FCB；
（2）AE∥CF．
题型专项培优 解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共32小题）
1．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ 3 ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
【答案】（1）3；
（2）①m＝1+；②1或1.5或．
【分析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，即可求解；
（2）①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，即可求解；
②当点P在x轴上方时，由∠DPQ＝∠ACO，得到直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，则点Q（0，﹣m2﹣m+3），即可求解；当点P在x轴下方时，
同理可可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3，
即OC＝3，
故答案为：3；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝1+（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上，点P的横坐标为：1或1.5或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．（2024 常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 BD ，d＝ 1 （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）BD，1或者CE，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图见解析；
（3）0＜r≤4﹣2或r≥4+2．
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）在AB延长线上截取BA'＝BA，再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，连接BC和A'C'，则△BA'C'即为所求；
（3）根据题干可知要在⊙G找一点F，使DF＝EF≥3，分两种情况，DE在圆内或圆外讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题知AB＝BC＝CD＝DE＝1，．
∴AC＝BD＝CE＝2，
∴线段AC的“平移关联图形”可以是BD，也可以是CE，
当线段AC的“平移关联图形”是BD时，d＝1，
当线段AC的“平移关联图形”是CE时，d＝2；
故答案为：BD，1或者CE，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图如图所示，
作法提示：①在AB延长线上截取BA'＝BA，
②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，
③连接BC'和A'C'，则△BA'C'即为所求；
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SSS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，
∴DE＝2，DG＝EG＝＝，
∵对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴max{DF，EF}≥3，
当DE在圆外时，如图所示，
若F在y轴左侧，由对称性可知，EF′＞DF′，
∴只需EF′≥3成立即可，
∵12+（4﹣r）2＜EF′2＜（+r）2，
∴当EF′≥3恒成立时，12+（4﹣r）2≥9，
解得：0＜r≤4﹣2；
同理可得，当F在y轴右侧时，满足DF″≥3的条件也是0＜r≤4﹣2；
当DE在圆内时，如图所示，
若F在y轴左侧，由对称性可知，EF′＞DF′，
∴只需EF′≥3成立即可，
∵12+（r﹣4）2＜EF′2＜（r+）2，
∴当EF′≥3恒成立时，12+（r﹣4）2≥9，
解得：r≥4+2；
同理可得，当F在y轴右侧时，满足DF″≥3的条件也是r≥4+2；
综上，0＜r≤4﹣2或r≥4+2．
【点评】本题主要考查了平移的性质、尺规作图、点圆最值问题等内容，难度一般，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，再根据S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1），
∴m＝﹣n＝2，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝，
一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，﹣2）、B（2，1），
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1．
（2）如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
4．（2024 常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．（2024 扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 AD﹣BD＝CD ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在AB同侧时，延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到DE＝2DF＝2CD sin，再利用全等三角形的判定与性质得到AD＝BE，则结论可得；②当点C、D在AB两侧时，延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，利用①的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BD＝AD，
∴AD﹣BD＝CD．
故答案为：AD﹣BD＝CD；
（2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB向侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由：
延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝60°，
∵DE＝CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADC∠E＝60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AD＝BD+CD，
∴AD﹣BD＝CD．
（3）①当点C、D在AB同侧时，
延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°﹣，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝90°﹣，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝90°﹣α，∠DCE＝α．
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF＝，DF＝EF＝CD sin，
∴DE＝2DF＝2CD sin，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°﹣，
∴∠ADC＝∠E．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+2CD sin，
∴AD﹣BD＝2CD sin．
②当点C、D在AB两侧时，
延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°﹣，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CBE＝∠DAC，
在△CAD和△CBE中，
，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴CD＝CE，∠ADC＝∠E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°﹣，
∴∠E＝90°﹣，
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF＝，DF＝EF＝CD sin，
∴DE＝CD sin，
∴DE＝2CD sin，
∵DE＝BD+BE＝AD+BD，
∴AD+BD＝2CD sin．
综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD sin；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD sin．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2024 扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA＝，CM＝12，求BM的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作AC的垂直平分线交AQ于点O．
（2）作AC的垂直平分线交AQ于点O，以点O为圆心，OC为半径画圆交AQ于点B，作∠CBQ的角平分线交AP于点M，点M即为所求；
（3）可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，证明△MBC≌△MBH（AAS），推出BC＝BH＝3k，推出AH＝AB+BH＝8k，推出MH＝6k，构建方程求解．
【解答】解：（1）如图点O即为所求；
（2）如图，点B点M即为所求；
（3）由作图可知OA＝OC＝OB，
∴∠ACB＝90°，
∵sinA＝＝，
∴可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，
∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ，
∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°，
∵BM＝BM，
∴△MBC≌△MBH（AAS），
∴BC＝BH＝3k，
∴AH＝AB+BH＝8k，
∵sinA＝＝，
∴AM＝10k，MH＝MC＝6k，
∴12＝6k，
∴k＝2，
∴BH＝6，MH＝12，
∴BM＝＝＝6 ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2024 扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过两组对边相互平行的四边形可得ABCD是平行四边形，再通过等宽即高相等和利用等面积证边相等即可；
（2）利用面积公式把边长求出来，再根据锐角三角函数值或者含有30°的直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：如图作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，
∵两个纸条为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝AB CH＝AD CG，且CH＝CG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，作AM⊥CD，垂足为M，
∵S菱形ABCD＝CD AM＝8cm2，且AM＝2cm，
∴CD＝4cm，
∴AD＝CD＝4cm，
在Rt△ADM中，sin∠1＝＝，
∴∠1＝30°．
【点评】本题主要考查了菱形判定与性质，熟练掌握菱形的性质和判定和矩形的性质以及含有30°的直角三角形的性质是解题关键．
8．（2024 扬州）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选到相同景区的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，
∴选中东关街的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
C D E
C （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，C） （E，D） （E，E）
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，
∴小明和小亮选到相同景区的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（2024 盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 （n﹣1）d ，共铲 2k 行，则铲除全部籽的路径总长为 2（n﹣1）dk ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 2（k﹣1）dn ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】方案1：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案2：2（k﹣1）dn；
方案3：；
解决问题：方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【分析】方案1：根据题意列出代数式即可求解；
方案2：根据题意列出代数式即可求解；
方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k﹣1个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
【解答】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为（n﹣1）d，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2k行，
∴铲除全部籽的路径总长为2（n﹣1）dk，
故答案为：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为（k﹣1）d，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2n列，
∴铲除全部籽的路径总长为2（k﹣1）dn，
故答案为：2（k﹣1）dn；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k﹣1个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：2（n﹣1）dk﹣2（k﹣1）dn＝2ndk﹣2dk﹣2ndk+2dn＝2d（n﹣k）＞0，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵n＞k≥3，
当k＝3时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【点评】题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
10．（2024 盐城）如图1，E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
（2）①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当 ABCD满足 AC⊥BD 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；
（2）①AC⊥BD；
②见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG，四边形AFCH均为平行四边形，进而得到：AM∥CN，AN∥CM，即可得证；
（2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果；
②连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND＝2ON，MB＝2OB，然后连接AB、BC、CD、DA即可得出点M和N分别为△ABC△ADC的重心，据此作图即可．
【解答】（1）证明：∵ ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵点E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点，
∴，AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
同理可得：四边形AFCH为平行四边形，
∴AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时，中顶点四边形AMCN是菱形，
由（1）得四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴MN⊥AC，
∴中顶点四边形AMCN是菱形，
故答案为：AC⊥BD；
②如图所示，即为所求，
连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND＝2ON，MB＝2OM，然后连接AB、BC、CD、DA即可，
∴点M和N分别为△ABC和△ADC的重心，符合题意；
证明：矩形AMCN，
∴AC＝MN，OM＝ON，
∵ND＝2ON，MB＝2OM，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
分别延长CM、AM、AN、CN交四边于点E、F、G、H如图所示：
∵矩形AMCN，
∴AM∥CN，MO＝NO，
由作图得BM＝MN，
∴△MBF∽△NBC，
∴，
∴点F为BC的中点，
同理得：点E为AB的中点，点G为DC的中点，点H为AD的中点．
【点评】本题主要考查了四边形综合，平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键．
11．（2024 盐城）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明OC∥AD，得到∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，再根据∠D＝∠ACB＝90°，得到△ABC∽△ACD；
（2）根据△ABC∽△ACD，得到，求出AB，得到半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AD＝＝3，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB＝，
∴半径为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，圆周角定理等，综合运用性质与判定是解题的关键．
12．（2024 盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ③ ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】证明见解析．
【分析】选择①，利用AAS证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD；
选择②，无法证明；
选择③，利用ASA证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD．
【解答】证明：选择①，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD；
选择③，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握性质和判定方法是解题的关键．
13．（2024 无锡）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点A（0，﹣3）和点B（3，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤3，求m的取值范围；
（3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）或9．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，则（x1+x2）＝1，则，而1≤b≤3，即可求解；
（3）当MN在AB下方时，设直线MN的表达式为：y＝﹣x﹣3﹣m（m＞0），联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3﹣m，得到（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9﹣4m，则MN＝|x1﹣x2|＝m，即可求解；当MN在AB上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得：，
∵点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，
则（x1+x2）＝1，
∴x1+x2＝2，
设x1﹣x2＝b，则1≤b≤3，
由得，
则，
∵1≤b≤3，
∴；
（3）∵PQMN是正方形，设正方形的边长为m，
当MN在AB下方时，
由点A、B的坐标知，直线AB和x轴的夹角为45°，设直线MN交y轴于点T，作AG⊥MN于点G，
则AT＝AG＝m，
故设直线MN的表达式为：y＝x﹣3﹣m（m＞0），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3﹣m，
则x1+x2＝3，x1x2＝m，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9﹣4m，
∵直线MN和x轴的夹角为45°，则MN＝|x1﹣x2|＝m，
即2（9﹣4m）＝m2，
解得：m＝﹣18（舍去）或2，
则PQ＝m＝；
当MN在AB上方时，
同理可得：2（9+4m）＝m2，
解得：m＝18或﹣2（舍去），
则PQ＝9；
故PQ的长度为：或9．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
14．（2024 无锡）大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点．
（1）a的值为 10 ；
（2）求图中BC所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间．
【答案】（1）10；
（2）s＝125t+250（6≤t≤10）；
（3）min．
【分析】（1）根据小亮在1分钟内跑的路程可得其速度，再由时间＝路程÷速度求出小亮跑到达M点所用的时间，即a的值；
（2）根据题意求得点B的横坐标，从而求出此时小亮与N点的距离，进而求出此时小明与M点的距离，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出BC所对应的函数表达式即可；
（3）根据点B的坐标得到点A的坐标，根据速度＝路程÷时间求出小明在休息前的速度，结合小亮的速度求出二人相遇的时间即可．
【解答】解：（1）由题意可知，小亮的速度是400﹣250＝150（m/min），
1500÷150＝10（min），
∴a＝10．
故答案为：10．
（2）10﹣4＝6（min），
6min时小亮与N点的距离为150×6＝900（m），则此时小明与M点的距离为1500﹣900+400＝1000（m），
∴B（6，1000）．
设BC所对应的函数表达式为s＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将B（6，1000）和C（10，1500）分别代入s＝kt+b，
得，
解得，
∴BC所对应的函数表达式为s＝125t+250（6≤t≤10）．
（3）∵B（6，1000），
∴A（5，1000），
∴小明的速度为1000÷5＝200（m/min），
1500÷（200+150）＝（min）．
答：小明、小亮相遇的时间为min．
【点评】本题考查一次函数的应用、函数的图象，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
15．（2024 无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC．
（1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB＝，则CD＝ ．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用基本作图，先作∠ACE＝∠ACB，再作∠FBC＝∠ACB，CE和BF相交于点D；
（2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，先利用等腰三角形的判定与性质证明BT＝CT＝4，再利用正切的定义求出JT＝3，则利用勾股定理可计算出JC＝5，所以BJ＝5，接着证明△DCJ∽△DBC，利用相似三角形的性质得到＝＝，则可设DJ＝5x，则DC＝8x，然后利用＝得到＝，从而求出x得到DC的长．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，
∵∠JBC＝∠JCB，
∴JB＝JC，
∴BT＝CT＝BC＝4，
在Rt△JCT中，∵tan∠JCT＝＝，
∴JT＝3，
∴JC＝＝5，
∴BJ＝5，
∵∠DCJ＝∠DBC，∠JDC＝∠CDB，
∴△DCJ∽△DBC，
∴＝＝，
设DJ＝5x，则DC＝8x，
∵△DCJ∽△DBC，
∴＝，即＝，
解得x＝，
∴DC＝8x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质．
16．（2024 无锡）在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“+1”和“﹣1”，B盒里有三张卡片，分别标有“+2”“﹣2”和“+3”．这些卡片除数字外其他都相同．
（1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是 ．
（2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标．求这个点在第一象限的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“+1”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个点在第一象限的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“+1”的结果有1种，
∴在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
+2 ﹣2 +3
+1 （+1，+2） （+1，﹣2） （+1，+3）
﹣1 （﹣1，+2） （﹣1，﹣2） （﹣1，+3）
共有6种等可能的结果，其中这个点在第一象限的结果有：（+1，+2），（+1，+3），共2种，
∴这个点在第一象限的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17．（2024 常州）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 菱形 ；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】（1）菱形；
（2）S重叠最大值为；
（3）AE＝BF，理由见解析．
【分析】（1）连接BE，CD，先证明四边形BHEG是平行四边形，再根据EH＝BH，得出四边形BHEG是菱形；
（2）过点E作ET⊥HC，设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm， cm，＝＝，得出当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，证明Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），得到NB＝ME，得出FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
【解答】解：（1）如图所示，连接BE，CD，
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠EDF＝60°，
∴B、D、C、E四点共圆，
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC＝90°，
∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，
又∵DE＝BC＝6cm，
∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴EH＝BH，
∴∠HBE＝∠HEB＝30°，
∴∠GEB＝∠EBH＝∠GBE＝∠BEH＝30°，
∴BG∥EH，BH∥EG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH＝BH，
∴四边形BHEG是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形；
（2）∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm，
∵EF∥BC，
∴∠CHE＝∠DEF＝60°，
∴∠ABC＝∠CHE，
∴BG∥EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C＝∠CHE＝60°，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm，
∴ cm，
∴＝＝，
∵，
∴当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）AE＝BF，理由如下：
如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，
∵△ABC，△DEF都是边长为6cm的等边三角形，
∴AM＝cm，FN＝DF＝3cm，EF＝AB＝6cm，
∴由勾股定理可得，，
∴EN＝BM，
又∵BE＝BE，
∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），
∴NB＝ME，
∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2024 常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
【分析】根据题意得到AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，根据a＝b，c＝d，c＝2a，得到方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a）m，
∵AB与AD的比是16：10，
∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
【点评】本题考查了比例方程，正确地理解题意，列出比例方程是解题的关键．
19．（2024 常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 AD∥l ．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）AD∥l，理由见解答过程．
【分析】（1）先依据“SSS”判定△ABC和△DFE全等，得∠ACB＝∠DEF，由此得GE＝GC，进而即可得出结论；
（2）连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN，根据△ABC≌△DFE得∠ABM＝∠DFN，进而可依据“AAS”判定△ABM和△DFN全等，则AM＝DN，由此可得四边形AMND为平行四边形，然后再根据平行四边形的性质可得出AD与l的位置关系．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）AD与l的位置关系是：AD∥l，理由如下：
连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，如图所示：
则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠ABM＝∠DFN，
在△ABM和△DFN中，
，
∴△ABM≌△DFN（AAS），
∴AM＝DN，
∴四边形AMND为平行四边形，
∴AD∥l．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
20．（2024 常州）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 ①② （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
【答案】（1）因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①②；
（3）500个．
【分析】（1）根据抽样调查和普查的特点即可得出答案；
（2）分别根据频数分布表，中位数和加权平均数判断即可；
（3）用总数乘以样本中完全充放电次数在600次及以上的个数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次，故正确；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600，故正确；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数为＝527.5，故不正确；
∴①②；
故答案为：①②；
（3）2000×＝500（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
【点评】此题主要考查了全面调查与抽样调查，频数分布表，中位数，加权平均数和用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键．
21．（2024 扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 2 ．
【答案】（1）4或6；（2）12.5；（3）2．
【分析】（1）易证△MCB∽△HME，再代入边长求解即可；
（2）由△MCB∽△HME得出相似比，设未知数代入，得到关于HE的二次函数表达式，进而求最值即可；
（3）先证CH＝2OM，将2OM+HB转化为CH+HB的最小值，利用“将军饮马“模型做对称点求解即可．
【解答】解：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，
∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°，
∴∠BCM＝∠HME，
∴△MCB∽△HME，
∴，
∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10，
∴，解得BM＝4或6，
∴点M与点B之间的距离是4或6．
（2）由（1）知，
设EH＝y，BM＝x，
∵BE＝10，
∴EM＝10﹣x，
∴，
∴y＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+12.5，
∵﹣＜0，
∴当x＝5时，ymax＝12.5，
即HE最大值为12.5．
（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中点，
∴CH＝2OM，
∴2OM+HB＝CH+BH，
∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值即可．
如图，连接FH，则点H在∠EFG的角平分线上，作B关于FH的对称点B'，连接B'C交FH为H'，则H'即为所求H位置，B'C长度即为CH+HB最小值．
过点C作CQ⊥B'F．
∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，
∴B'在FG的延长线上，
∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，
∴四边形CBFQ为矩形，
∴FQ＝BC＝2，
∵BF＝B'F＝22，
∴B'Q＝B'F﹣QF＝20，
在Rt△B'CQ中，B'C＝＝2，
即CH+BH最小值为2，
∴2OM+HB最小值为2．
【点评】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握相似的判定和性质、二次函数求最值、轴对称等知识点是解题关键．
22．（2024 扬州）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程组求出b，c的值；
（2）由（1）得出抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得；
（2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△PAB＝AB |yP|＝×3×|﹣m2﹣m+2|＝6，
∴|m2+m﹣2|＝4，
即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4，
解得m＝﹣3或m＝2，
∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式．
23．（2024 扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】见试题解答内容
【分析】设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（2024 扬州）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 20 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 D 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用200分别减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C组的人数除以200再乘以100%可得a的值，最后补全条形统计图即可．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中E组的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
（3）1200×25%＝300（人）．
∴估计该校1200名学生中成绩在9（0分）以上（包括90分）的人数约300人．
【点评】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
25．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】见试题解答内容
【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【解答】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，，不符合题意；
当x＝19时，，符合题意；
∴70﹣x﹣y＝34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【点评】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
26．（2024 盐城）阅读涵养心灵．某地区2023年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为t h，调查问卷设置了四个时间选项：A．t＜1；B．1≤t＜1.5；C．1.5≤t＜2；D．t≥2），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．2023年9月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2023年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
（1）2023年9月份抽样调查的样本容量为 800 ，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为 7200 人；
（2）估算该地区2023年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率；（精确到0.01%）
（3）根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价．
【答案】（1）800，7200；
（2）5.56%；
（3）见解答，答案不唯一．
【分析】（1）把条形统计图各组人数相加可得样本容量；用该地区七年级学生总人数乘样本中“每天阅读时间不少于1小时”的人数所占比例即可求出该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数；
（2）分别求出12月份和9月份“每天阅读时间不少于1小时”所占百分比即可解答；
（3）答案不唯一，只要合理均可．
【解答】解：（1）2023年9月份抽样调查的样本容量为：80+320+280+120＝800；
该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为：8000×＝7200（人），
故答案为：800，7200；
（2）12月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为（1﹣5%）＝95%，
9月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为×100%＝90%，
[（1﹣5%）﹣×100%]÷（×100%）≈5.56%，
故该地区2023年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率为5.56%；
（3）该地区出台相关激励措施的做法收到了良好的效果，“每天阅读时间少于1小时”的比例由9月份的10%减少到12份的5%，“每天阅读时间大约于1.5小时”的比例也有大幅度上升．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
27．（2024 盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为y＝﹣；（2）C（﹣，4）．
【分析】（1）根据图象信息可知A（﹣3，2），待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由图象可知，BC的解析式为y＝﹣，与反比例函数解析式联立方程求出点C坐标即可．
【解答】解：（1）由图可知点A的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y＝，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）直线OA的解析式为y＝﹣x，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y＝﹣，
联立方程得，解得，（舍去），
∴C（﹣，4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握联立方程求出交点坐标是关键．
28．（2024 盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动．
A．新四军纪念馆（主馆区）；
B．新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）．
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站．
（1）小明选择基地A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三个基地开展研学活动，
∴小明选择基地A的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由上可得，一共有9种等可能性，其中小明和小丽选择相同基地的可能性有3种，
∴小明和小丽选择相同基地的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2024 无锡）如图，AB为半圆O的直径，AB＝1，BM为半圆O的切线，点C为BM上的一个动点，连接AC交半圆O于点D，作DE⊥BM于点E．
（1）当点O关于AC的对称点O′恰好在半圆上时，求BC的长；
（2）设DE＝x，CE＝y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）．
（2）y＝．
【分析】（1）如图，连结OO′、AO′，先利用对称的性质得到AO′＝AO，AC⊥OO′，再证明△AOO′是等边三角形，则∠OAO′＝60°，根据等边三角形的性质得到∠CAB＝30°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解；
（2）连接BD，如图，先证明△CDE∽△DBE得到BE＝，则BC＝，根据切线的性质得到AB⊥BM，则DE∥AB，再证明△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质得＝，即＝，从而得到y与x的关系式．
【解答】解：（1）如图，连结OO′、AO′，
∵点O关于AC的对称点O′恰好在半圆上，
∴AO′＝AO，AC⊥OO′，
∵OA＝OO′，
∴OA＝OO′＝AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠OAO′＝60°，
∴∠CAB＝∠OAO′＝30°，
在Rt△BAC中，BC＝AB＝；
（2）连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CDE＝∠CBD，∠CED＝∠DEB，
∴△CDE∽△DBE，
∴DE：BE＝CE：DE，即x：BE＝y：x，
∴BE＝，
∴BC＝CE+BE＝y+＝
∵BM为半圆O的切线，
∴AB⊥BM，
∵DE⊥BM，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，即＝
∴y＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了函数关系式、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
30．（2024 无锡）如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD，以BD为直径作⊙O，⊙O经过点A，与BC交于点E，且＝．
（1）若∠C＝40°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝6，AD＝3，求CE的长．
【答案】（1）115°；
（2）4．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAD＝90°，求出∠ABC＝50°，得到∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，求出∠ADB＝90°﹣25°＝65°，得到∠AEB＝∠ADB＝65°，由邻补角的性质得到∠AEC＝115°．
（2）连接DE，由圆心角、弧、弦的关系定理推出DE＝AD＝3，BE＝AB＝6，判定△CED∽△CAB，推出，设CE＝x，CD＝y，得到，求出x、y的值，即可得到CE的长．
【解答】解：（1）∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，
∴∠ADB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AEB＝∠ADB＝65°，
∴∠AEC＝115°．
（2）连接DE，
∵＝
∴DE＝AD＝3，
∵BD为直径，
∴＝，
∴BE＝AB＝6，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠CED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴，
设CE＝x，CD＝y，则，
∴，
∴CE＝4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是判定△CED∽△CAB，列出关于x、y的方程组．
31．（2024 无锡）美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）扇形统计图中，D徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是多少？
（3）该校共有1400名学生，请你估计选择A徽标的学生有多少人？
【答案】（1）把条形统计图补充完整见解析；
（2）28.8°；
（3）595人．
【分析】（1）根据B徽标投票数所占的比例求出调查的总人数，进而求出C徽标投票数，补全条形统计图即可；
（2）用D徽标投票数所占的比例乘以360度，计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数为：24÷12%＝200；
C徽标投票数为：200﹣85﹣24﹣16﹣45＝30，
把条形统计图补充完整如图：
（2）扇形统计图中，D徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是360°×＝28.8°；
（3）1400×＝595（人）．
答：估计选择A徽标的学生约有595人．
【点评】本题考查条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
32．（2024 无锡）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，AE⊥AD，CF⊥BC．
求证：（1）△EAD≌△FCB；
（2）AE∥CF．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，则∠ADE＝∠CBF，由AE⊥AD，CF⊥BC，得∠DAE＝∠BCF＝90°，即可根据“ASA”证明△EAD≌△FCB；
（2）由全等三角形的性质得∠AED＝∠CFB，则AE∥CF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠DAE＝∠BCF＝90°，
在△EAD和△FCB中，
，
∴△EAD≌△FCB（ASA）．
（2）由（1）得△EAD≌△FCB，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，推导出∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF，进而证明△EAD≌△FCB是解题的关键．
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题型专项培优 解答题
一．解答题（共32小题）
1．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
2．（2024 常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 ，d＝ （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
3．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
4．（2024 常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
5．（2024 扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
6．（2024 扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA＝，CM＝12，求BM的长．
7．（2024 扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
8．（2024 扬州）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
9．（2024 盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ，共铲 行，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
10．（2024 盐城）如图1，E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
（2）①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当 ABCD满足 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
11．（2024 盐城）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
12．（2024 盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
13．（2024 无锡）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点A（0，﹣3）和点B（3，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤3，求m的取值范围；
（3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由．
14．（2024 无锡）大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点．
（1）a的值为 ；
（2）求图中BC所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间．
15．（2024 无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC．
（1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB＝，则CD＝ ．
16．（2024 无锡）在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“+1”和“﹣1”，B盒里有三张卡片，分别标有“+2”“﹣2”和“+3”．这些卡片除数字外其他都相同．
（1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是 ．
（2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标．求这个点在第一象限的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
17．（2024 常州）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
18．（2024 常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
19．（2024 常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 ．
20．（2024 常州）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
21．（2024 扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 ．
22．（2024 扬州）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
23．（2024 扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
24．（2024 扬州）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
25．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
26．（2024 盐城）阅读涵养心灵．某地区2023年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为t h，调查问卷设置了四个时间选项：A．t＜1；B．1≤t＜1.5；C．1.5≤t＜2；D．t≥2），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．2023年9月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2023年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
（1）2023年9月份抽样调查的样本容量为 ，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为 人；
（2）估算该地区2023年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率；（精确到0.01%）
（3）根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价．
27．（2024 盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
28．（2024 盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动．
A．新四军纪念馆（主馆区）；
B．新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）．
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站．
（1）小明选择基地A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率．
29．（2024 无锡）如图，AB为半圆O的直径，AB＝1，BM为半圆O的切线，点C为BM上的一个动点，连接AC交半圆O于点D，作DE⊥BM于点E．
（1）当点O关于AC的对称点O′恰好在半圆上时，求BC的长；
（2）设DE＝x，CE＝y，求y关于x的函数表达式．
30．（2024 无锡）如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD，以BD为直径作⊙O，⊙O经过点A，与BC交于点E，且＝．
（1）若∠C＝40°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝6，AD＝3，求CE的长．
31．（2024 无锡）美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）扇形统计图中，D徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是多少？
（3）该校共有1400名学生，请你估计选择A徽标的学生有多少人？
32．（2024 无锡）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，AE⊥AD，CF⊥BC．
求证：（1）△EAD≌△FCB；
（2）AE∥CF．
题型专项培优 解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共32小题）
1．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ 3 ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
【答案】（1）3；
（2）①m＝1+；②1或1.5或．
【分析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，即可求解；
（2）①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，即可求解；
②当点P在x轴上方时，由∠DPQ＝∠ACO，得到直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，则点Q（0，﹣m2﹣m+3），即可求解；当点P在x轴下方时，
同理可可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3，
即OC＝3，
故答案为：3；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝1+（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上，点P的横坐标为：1或1.5或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．（2024 常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 BD ，d＝ 1 （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）BD，1或者CE，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图见解析；
（3）0＜r≤4﹣2或r≥4+2．
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）在AB延长线上截取BA'＝BA，再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，连接BC和A'C'，则△BA'C'即为所求；
（3）根据题干可知要在⊙G找一点F，使DF＝EF≥3，分两种情况，DE在圆内或圆外讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题知AB＝BC＝CD＝DE＝1，．
∴AC＝BD＝CE＝2，
∴线段AC的“平移关联图形”可以是BD，也可以是CE，
当线段AC的“平移关联图形”是BD时，d＝1，
当线段AC的“平移关联图形”是CE时，d＝2；
故答案为：BD，1或者CE，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图如图所示，
作法提示：①在AB延长线上截取BA'＝BA，
②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，
③连接BC'和A'C'，则△BA'C'即为所求；
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SSS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，
∴DE＝2，DG＝EG＝＝，
∵对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴max{DF，EF}≥3，
当DE在圆外时，如图所示，
若F在y轴左侧，由对称性可知，EF′＞DF′，
∴只需EF′≥3成立即可，
∵12+（4﹣r）2＜EF′2＜（+r）2，
∴当EF′≥3恒成立时，12+（4﹣r）2≥9，
解得：0＜r≤4﹣2；
同理可得，当F在y轴右侧时，满足DF″≥3的条件也是0＜r≤4﹣2；
当DE在圆内时，如图所示，
若F在y轴左侧，由对称性可知，EF′＞DF′，
∴只需EF′≥3成立即可，
∵12+（r﹣4）2＜EF′2＜（r+）2，
∴当EF′≥3恒成立时，12+（r﹣4）2≥9，
解得：r≥4+2；
同理可得，当F在y轴右侧时，满足DF″≥3的条件也是r≥4+2；
综上，0＜r≤4﹣2或r≥4+2．
【点评】本题主要考查了平移的性质、尺规作图、点圆最值问题等内容，难度一般，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，再根据S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1），
∴m＝﹣n＝2，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝，
一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，﹣2）、B（2，1），
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1．
（2）如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
4．（2024 常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．（2024 扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 AD﹣BD＝CD ；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在AB同侧时，延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到DE＝2DF＝2CD sin，再利用全等三角形的判定与性质得到AD＝BE，则结论可得；②当点C、D在AB两侧时，延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，利用①的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BD＝AD，
∴AD﹣BD＝CD．
故答案为：AD﹣BD＝CD；
（2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB向侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由：
延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝60°，
∵DE＝CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADC∠E＝60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AD＝BD+CD，
∴AD﹣BD＝CD．
（3）①当点C、D在AB同侧时，
延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°﹣，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝90°﹣，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝90°﹣α，∠DCE＝α．
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF＝，DF＝EF＝CD sin，
∴DE＝2DF＝2CD sin，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°﹣，
∴∠ADC＝∠E．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∵BE＝BD+DE＝BD+2CD sin，
∴AD﹣BD＝2CD sin．
②当点C、D在AB两侧时，
延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°﹣，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CBE＝∠DAC，
在△CAD和△CBE中，
，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴CD＝CE，∠ADC＝∠E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°﹣，
∴∠E＝90°﹣，
∵CF⊥DE，
∴∠DCF＝∠ECF＝，DF＝EF＝CD sin，
∴DE＝CD sin，
∴DE＝2CD sin，
∵DE＝BD+BE＝AD+BD，
∴AD+BD＝2CD sin．
综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD sin；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD sin．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2024 扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA＝，CM＝12，求BM的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作AC的垂直平分线交AQ于点O．
（2）作AC的垂直平分线交AQ于点O，以点O为圆心，OC为半径画圆交AQ于点B，作∠CBQ的角平分线交AP于点M，点M即为所求；
（3）可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，证明△MBC≌△MBH（AAS），推出BC＝BH＝3k，推出AH＝AB+BH＝8k，推出MH＝6k，构建方程求解．
【解答】解：（1）如图点O即为所求；
（2）如图，点B点M即为所求；
（3）由作图可知OA＝OC＝OB，
∴∠ACB＝90°，
∵sinA＝＝，
∴可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，
∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ，
∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°，
∵BM＝BM，
∴△MBC≌△MBH（AAS），
∴BC＝BH＝3k，
∴AH＝AB+BH＝8k，
∵sinA＝＝，
∴AM＝10k，MH＝MC＝6k，
∴12＝6k，
∴k＝2，
∴BH＝6，MH＝12，
∴BM＝＝＝6 ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2024 扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过两组对边相互平行的四边形可得ABCD是平行四边形，再通过等宽即高相等和利用等面积证边相等即可；
（2）利用面积公式把边长求出来，再根据锐角三角函数值或者含有30°的直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：如图作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，
∵两个纸条为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝AB CH＝AD CG，且CH＝CG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，作AM⊥CD，垂足为M，
∵S菱形ABCD＝CD AM＝8cm2，且AM＝2cm，
∴CD＝4cm，
∴AD＝CD＝4cm，
在Rt△ADM中，sin∠1＝＝，
∴∠1＝30°．
【点评】本题主要考查了菱形判定与性质，熟练掌握菱形的性质和判定和矩形的性质以及含有30°的直角三角形的性质是解题关键．
8．（2024 扬州）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选到相同景区的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，
∴选中东关街的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
C D E
C （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，C） （E，D） （E，E）
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，
∴小明和小亮选到相同景区的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（2024 盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 （n﹣1）d ，共铲 2k 行，则铲除全部籽的路径总长为 2（n﹣1）dk ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 2（k﹣1）dn ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】方案1：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案2：2（k﹣1）dn；
方案3：；
解决问题：方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【分析】方案1：根据题意列出代数式即可求解；
方案2：根据题意列出代数式即可求解；
方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k﹣1个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
【解答】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为（n﹣1）d，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2k行，
∴铲除全部籽的路径总长为2（n﹣1）dk，
故答案为：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为（k﹣1）d，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2n列，
∴铲除全部籽的路径总长为2（k﹣1）dn，
故答案为：2（k﹣1）dn；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k﹣1个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：2（n﹣1）dk﹣2（k﹣1）dn＝2ndk﹣2dk﹣2ndk+2dn＝2d（n﹣k）＞0，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵n＞k≥3，
当k＝3时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【点评】题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
10．（2024 盐城）如图1，E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
（2）①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当 ABCD满足 AC⊥BD 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；
（2）①AC⊥BD；
②见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG，四边形AFCH均为平行四边形，进而得到：AM∥CN，AN∥CM，即可得证；
（2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果；
②连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND＝2ON，MB＝2OB，然后连接AB、BC、CD、DA即可得出点M和N分别为△ABC△ADC的重心，据此作图即可．
【解答】（1）证明：∵ ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵点E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点，
∴，AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
同理可得：四边形AFCH为平行四边形，
∴AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时，中顶点四边形AMCN是菱形，
由（1）得四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴MN⊥AC，
∴中顶点四边形AMCN是菱形，
故答案为：AC⊥BD；
②如图所示，即为所求，
连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND＝2ON，MB＝2OM，然后连接AB、BC、CD、DA即可，
∴点M和N分别为△ABC和△ADC的重心，符合题意；
证明：矩形AMCN，
∴AC＝MN，OM＝ON，
∵ND＝2ON，MB＝2OM，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
分别延长CM、AM、AN、CN交四边于点E、F、G、H如图所示：
∵矩形AMCN，
∴AM∥CN，MO＝NO，
由作图得BM＝MN，
∴△MBF∽△NBC，
∴，
∴点F为BC的中点，
同理得：点E为AB的中点，点G为DC的中点，点H为AD的中点．
【点评】本题主要考查了四边形综合，平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键．
11．（2024 盐城）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明OC∥AD，得到∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，再根据∠D＝∠ACB＝90°，得到△ABC∽△ACD；
（2）根据△ABC∽△ACD，得到，求出AB，得到半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AD＝＝3，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB＝，
∴半径为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，圆周角定理等，综合运用性质与判定是解题的关键．
12．（2024 盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ③ ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】证明见解析．
【分析】选择①，利用AAS证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD；
选择②，无法证明；
选择③，利用ASA证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD．
【解答】证明：选择①，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD；
选择③，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握性质和判定方法是解题的关键．
13．（2024 无锡）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点A（0，﹣3）和点B（3，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤3，求m的取值范围；
（3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）或9．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，则（x1+x2）＝1，则，而1≤b≤3，即可求解；
（3）当MN在AB下方时，设直线MN的表达式为：y＝﹣x﹣3﹣m（m＞0），联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3﹣m，得到（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9﹣4m，则MN＝|x1﹣x2|＝m，即可求解；当MN在AB上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得：，
∵点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，
则（x1+x2）＝1，
∴x1+x2＝2，
设x1﹣x2＝b，则1≤b≤3，
由得，
则，
∵1≤b≤3，
∴；
（3）∵PQMN是正方形，设正方形的边长为m，
当MN在AB下方时，
由点A、B的坐标知，直线AB和x轴的夹角为45°，设直线MN交y轴于点T，作AG⊥MN于点G，
则AT＝AG＝m，
故设直线MN的表达式为：y＝x﹣3﹣m（m＞0），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3﹣m，
则x1+x2＝3，x1x2＝m，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9﹣4m，
∵直线MN和x轴的夹角为45°，则MN＝|x1﹣x2|＝m，
即2（9﹣4m）＝m2，
解得：m＝﹣18（舍去）或2，
则PQ＝m＝；
当MN在AB上方时，
同理可得：2（9+4m）＝m2，
解得：m＝18或﹣2（舍去），
则PQ＝9；
故PQ的长度为：或9．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
14．（2024 无锡）大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点．
（1）a的值为 10 ；
（2）求图中BC所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间．
【答案】（1）10；
（2）s＝125t+250（6≤t≤10）；
（3）min．
【分析】（1）根据小亮在1分钟内跑的路程可得其速度，再由时间＝路程÷速度求出小亮跑到达M点所用的时间，即a的值；
（2）根据题意求得点B的横坐标，从而求出此时小亮与N点的距离，进而求出此时小明与M点的距离，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出BC所对应的函数表达式即可；
（3）根据点B的坐标得到点A的坐标，根据速度＝路程÷时间求出小明在休息前的速度，结合小亮的速度求出二人相遇的时间即可．
【解答】解：（1）由题意可知，小亮的速度是400﹣250＝150（m/min），
1500÷150＝10（min），
∴a＝10．
故答案为：10．
（2）10﹣4＝6（min），
6min时小亮与N点的距离为150×6＝900（m），则此时小明与M点的距离为1500﹣900+400＝1000（m），
∴B（6，1000）．
设BC所对应的函数表达式为s＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将B（6，1000）和C（10，1500）分别代入s＝kt+b，
得，
解得，
∴BC所对应的函数表达式为s＝125t+250（6≤t≤10）．
（3）∵B（6，1000），
∴A（5，1000），
∴小明的速度为1000÷5＝200（m/min），
1500÷（200+150）＝（min）．
答：小明、小亮相遇的时间为min．
【点评】本题考查一次函数的应用、函数的图象，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
15．（2024 无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC．
（1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB＝，则CD＝ ．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用基本作图，先作∠ACE＝∠ACB，再作∠FBC＝∠ACB，CE和BF相交于点D；
（2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，先利用等腰三角形的判定与性质证明BT＝CT＝4，再利用正切的定义求出JT＝3，则利用勾股定理可计算出JC＝5，所以BJ＝5，接着证明△DCJ∽△DBC，利用相似三角形的性质得到＝＝，则可设DJ＝5x，则DC＝8x，然后利用＝得到＝，从而求出x得到DC的长．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，
∵∠JBC＝∠JCB，
∴JB＝JC，
∴BT＝CT＝BC＝4，
在Rt△JCT中，∵tan∠JCT＝＝，
∴JT＝3，
∴JC＝＝5，
∴BJ＝5，
∵∠DCJ＝∠DBC，∠JDC＝∠CDB，
∴△DCJ∽△DBC，
∴＝＝，
设DJ＝5x，则DC＝8x，
∵△DCJ∽△DBC，
∴＝，即＝，
解得x＝，
∴DC＝8x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质．
16．（2024 无锡）在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“+1”和“﹣1”，B盒里有三张卡片，分别标有“+2”“﹣2”和“+3”．这些卡片除数字外其他都相同．
（1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是 ．
（2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标．求这个点在第一象限的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“+1”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个点在第一象限的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“+1”的结果有1种，
∴在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
+2 ﹣2 +3
+1 （+1，+2） （+1，﹣2） （+1，+3）
﹣1 （﹣1，+2） （﹣1，﹣2） （﹣1，+3）
共有6种等可能的结果，其中这个点在第一象限的结果有：（+1，+2），（+1，+3），共2种，
∴这个点在第一象限的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17．（2024 常州）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 菱形 ；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】（1）菱形；
（2）S重叠最大值为；
（3）AE＝BF，理由见解析．
【分析】（1）连接BE，CD，先证明四边形BHEG是平行四边形，再根据EH＝BH，得出四边形BHEG是菱形；
（2）过点E作ET⊥HC，设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm， cm，＝＝，得出当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，证明Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），得到NB＝ME，得出FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
【解答】解：（1）如图所示，连接BE，CD，
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠EDF＝60°，
∴B、D、C、E四点共圆，
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC＝90°，
∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，
又∵DE＝BC＝6cm，
∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴EH＝BH，
∴∠HBE＝∠HEB＝30°，
∴∠GEB＝∠EBH＝∠GBE＝∠BEH＝30°，
∴BG∥EH，BH∥EG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH＝BH，
∴四边形BHEG是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形；
（2）∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm，
∵EF∥BC，
∴∠CHE＝∠DEF＝60°，
∴∠ABC＝∠CHE，
∴BG∥EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C＝∠CHE＝60°，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm，
∴ cm，
∴＝＝，
∵，
∴当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）AE＝BF，理由如下：
如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，
∵△ABC，△DEF都是边长为6cm的等边三角形，
∴AM＝cm，FN＝DF＝3cm，EF＝AB＝6cm，
∴由勾股定理可得，，
∴EN＝BM，
又∵BE＝BE，
∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），
∴NB＝ME，
∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2024 常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
【分析】根据题意得到AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，根据a＝b，c＝d，c＝2a，得到方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a）m，
∵AB与AD的比是16：10，
∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
【点评】本题考查了比例方程，正确地理解题意，列出比例方程是解题的关键．
19．（2024 常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 AD∥l ．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）AD∥l，理由见解答过程．
【分析】（1）先依据“SSS”判定△ABC和△DFE全等，得∠ACB＝∠DEF，由此得GE＝GC，进而即可得出结论；
（2）连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN，根据△ABC≌△DFE得∠ABM＝∠DFN，进而可依据“AAS”判定△ABM和△DFN全等，则AM＝DN，由此可得四边形AMND为平行四边形，然后再根据平行四边形的性质可得出AD与l的位置关系．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）AD与l的位置关系是：AD∥l，理由如下：
连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，如图所示：
则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠ABM＝∠DFN，
在△ABM和△DFN中，
，
∴△ABM≌△DFN（AAS），
∴AM＝DN，
∴四边形AMND为平行四边形，
∴AD∥l．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
20．（2024 常州）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 ①② （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
【答案】（1）因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①②；
（3）500个．
【分析】（1）根据抽样调查和普查的特点即可得出答案；
（2）分别根据频数分布表，中位数和加权平均数判断即可；
（3）用总数乘以样本中完全充放电次数在600次及以上的个数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次，故正确；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600，故正确；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数为＝527.5，故不正确；
∴①②；
故答案为：①②；
（3）2000×＝500（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
【点评】此题主要考查了全面调查与抽样调查，频数分布表，中位数，加权平均数和用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键．
21．（2024 扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 2 ．
【答案】（1）4或6；（2）12.5；（3）2．
【分析】（1）易证△MCB∽△HME，再代入边长求解即可；
（2）由△MCB∽△HME得出相似比，设未知数代入，得到关于HE的二次函数表达式，进而求最值即可；
（3）先证CH＝2OM，将2OM+HB转化为CH+HB的最小值，利用“将军饮马“模型做对称点求解即可．
【解答】解：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，
∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°，
∴∠BCM＝∠HME，
∴△MCB∽△HME，
∴，
∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10，
∴，解得BM＝4或6，
∴点M与点B之间的距离是4或6．
（2）由（1）知，
设EH＝y，BM＝x，
∵BE＝10，
∴EM＝10﹣x，
∴，
∴y＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+12.5，
∵﹣＜0，
∴当x＝5时，ymax＝12.5，
即HE最大值为12.5．
（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中点，
∴CH＝2OM，
∴2OM+HB＝CH+BH，
∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值即可．
如图，连接FH，则点H在∠EFG的角平分线上，作B关于FH的对称点B'，连接B'C交FH为H'，则H'即为所求H位置，B'C长度即为CH+HB最小值．
过点C作CQ⊥B'F．
∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，
∴B'在FG的延长线上，
∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，
∴四边形CBFQ为矩形，
∴FQ＝BC＝2，
∵BF＝B'F＝22，
∴B'Q＝B'F﹣QF＝20，
在Rt△B'CQ中，B'C＝＝2，
即CH+BH最小值为2，
∴2OM+HB最小值为2．
【点评】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握相似的判定和性质、二次函数求最值、轴对称等知识点是解题关键．
22．（2024 扬州）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程组求出b，c的值；
（2）由（1）得出抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得；
（2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△PAB＝AB |yP|＝×3×|﹣m2﹣m+2|＝6，
∴|m2+m﹣2|＝4，
即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4，
解得m＝﹣3或m＝2，
∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式．
23．（2024 扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】见试题解答内容
【分析】设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（2024 扬州）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 20 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 D 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用200分别减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C组的人数除以200再乘以100%可得a的值，最后补全条形统计图即可．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中E组的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
（3）1200×25%＝300（人）．
∴估计该校1200名学生中成绩在9（0分）以上（包括90分）的人数约300人．
【点评】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
25．（2024 盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】见试题解答内容
【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【解答】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，，不符合题意；
当x＝19时，，符合题意；
∴70﹣x﹣y＝34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【点评】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
26．（2024 盐城）阅读涵养心灵．某地区2023年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为t h，调查问卷设置了四个时间选项：A．t＜1；B．1≤t＜1.5；C．1.5≤t＜2；D．t≥2），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．2023年9月该地区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2023年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
（1）2023年9月份抽样调查的样本容量为 800 ，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为 7200 人；
（2）估算该地区2023年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率；（精确到0.01%）
（3）根据两次调查结果，对该地区出台相关激励措施的做法进行评价．
【答案】（1）800，7200；
（2）5.56%；
（3）见解答，答案不唯一．
【分析】（1）把条形统计图各组人数相加可得样本容量；用该地区七年级学生总人数乘样本中“每天阅读时间不少于1小时”的人数所占比例即可求出该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数；
（2）分别求出12月份和9月份“每天阅读时间不少于1小时”所占百分比即可解答；
（3）答案不唯一，只要合理均可．
【解答】解：（1）2023年9月份抽样调查的样本容量为：80+320+280+120＝800；
该地区七年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为：8000×＝7200（人），
故答案为：800，7200；
（2）12月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为（1﹣5%）＝95%，
9月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为×100%＝90%，
[（1﹣5%）﹣×100%]÷（×100%）≈5.56%，
故该地区2023年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率为5.56%；
（3）该地区出台相关激励措施的做法收到了良好的效果，“每天阅读时间少于1小时”的比例由9月份的10%减少到12份的5%，“每天阅读时间大约于1.5小时”的比例也有大幅度上升．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
27．（2024 盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为y＝﹣；（2）C（﹣，4）．
【分析】（1）根据图象信息可知A（﹣3，2），待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由图象可知，BC的解析式为y＝﹣，与反比例函数解析式联立方程求出点C坐标即可．
【解答】解：（1）由图可知点A的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y＝，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）直线OA的解析式为y＝﹣x，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y＝﹣，
联立方程得，解得，（舍去），
∴C（﹣，4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握联立方程求出交点坐标是关键．
28．（2024 盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动．
A．新四军纪念馆（主馆区）；
B．新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）．
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站．
（1）小明选择基地A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三个基地开展研学活动，
∴小明选择基地A的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由上可得，一共有9种等可能性，其中小明和小丽选择相同基地的可能性有3种，
∴小明和小丽选择相同基地的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2024 无锡）如图，AB为半圆O的直径，AB＝1，BM为半圆O的切线，点C为BM上的一个动点，连接AC交半圆O于点D，作DE⊥BM于点E．
（1）当点O关于AC的对称点O′恰好在半圆上时，求BC的长；
（2）设DE＝x，CE＝y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）．
（2）y＝．
【分析】（1）如图，连结OO′、AO′，先利用对称的性质得到AO′＝AO，AC⊥OO′，再证明△AOO′是等边三角形，则∠OAO′＝60°，根据等边三角形的性质得到∠CAB＝30°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解；
（2）连接BD，如图，先证明△CDE∽△DBE得到BE＝，则BC＝，根据切线的性质得到AB⊥BM，则DE∥AB，再证明△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质得＝，即＝，从而得到y与x的关系式．
【解答】解：（1）如图，连结OO′、AO′，
∵点O关于AC的对称点O′恰好在半圆上，
∴AO′＝AO，AC⊥OO′，
∵OA＝OO′，
∴OA＝OO′＝AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠OAO′＝60°，
∴∠CAB＝∠OAO′＝30°，
在Rt△BAC中，BC＝AB＝；
（2）连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CDE＝∠CBD，∠CED＝∠DEB，
∴△CDE∽△DBE，
∴DE：BE＝CE：DE，即x：BE＝y：x，
∴BE＝，
∴BC＝CE+BE＝y+＝
∵BM为半圆O的切线，
∴AB⊥BM，
∵DE⊥BM，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，即＝
∴y＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了函数关系式、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
30．（2024 无锡）如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD，以BD为直径作⊙O，⊙O经过点A，与BC交于点E，且＝．
（1）若∠C＝40°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝6，AD＝3，求CE的长．
【答案】（1）115°；
（2）4．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAD＝90°，求出∠ABC＝50°，得到∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，求出∠ADB＝90°﹣25°＝65°，得到∠AEB＝∠ADB＝65°，由邻补角的性质得到∠AEC＝115°．
（2）连接DE，由圆心角、弧、弦的关系定理推出DE＝AD＝3，BE＝AB＝6，判定△CED∽△CAB，推出，设CE＝x，CD＝y，得到，求出x、y的值，即可得到CE的长．
【解答】解：（1）∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，
∴∠ADB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AEB＝∠ADB＝65°，
∴∠AEC＝115°．
（2）连接DE，
∵＝
∴DE＝AD＝3，
∵BD为直径，
∴＝，
∴BE＝AB＝6，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠CED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴，
设CE＝x，CD＝y，则，
∴，
∴CE＝4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是判定△CED∽△CAB，列出关于x、y的方程组．
31．（2024 无锡）美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）扇形统计图中，D徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是多少？
（3）该校共有1400名学生，请你估计选择A徽标的学生有多少人？
【答案】（1）把条形统计图补充完整见解析；
（2）28.8°；
（3）595人．
【分析】（1）根据B徽标投票数所占的比例求出调查的总人数，进而求出C徽标投票数，补全条形统计图即可；
（2）用D徽标投票数所占的比例乘以360度，计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数为：24÷12%＝200；
C徽标投票数为：200﹣85﹣24﹣16﹣45＝30，
把条形统计图补充完整如图：
（2）扇形统计图中，D徽标投票数所对应扇形的圆心角度数是360°×＝28.8°；
（3）1400×＝595（人）．
答：估计选择A徽标的学生约有595人．
【点评】本题考查条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
32．（2024 无锡）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，AE⊥AD，CF⊥BC．
求证：（1）△EAD≌△FCB；
（2）AE∥CF．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，则∠ADE＝∠CBF，由AE⊥AD，CF⊥BC，得∠DAE＝∠BCF＝90°，即可根据“ASA”证明△EAD≌△FCB；
（2）由全等三角形的性质得∠AED＝∠CFB，则AE∥CF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠DAE＝∠BCF＝90°，
在△EAD和△FCB中，
，
∴△EAD≌△FCB（ASA）．
（2）由（1）得△EAD≌△FCB，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，推导出∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF，进而证明△EAD≌△FCB是解题的关键．
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