【中考真题汇编】江苏省2024-2025学年苏科版中考数学题型专项培优 解答题一（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考真题汇编】江苏省2024-2025学年苏科版中考数学题型专项培优 解答题一（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-10 20:46:26 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
题型专项培优 解答题
一．解答题（共32小题）
1．（2024 南京）（1）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD边AB，CD上，连接EF．求作GH，使点G，H分别在边BC，AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF．
（2）已知点P，Q，R，S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
2．（2024 南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
3．（2024 南京）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．
注：月增量＝当月的销售量﹣上月的销售量，月增长率＝×100%．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆，那么9月份销售的月增量为2.4﹣2＝0.4（万辆），月增长率为20%．
（1）下列说法正确的是 ．
A.2月份的销售量为0.4万辆
B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆
C.5月份的销售量最大
D.5月份销售的月增长率最大
（2）6月份的销售量比1月份增加了 万辆．
（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．
4．（2024 南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
5．（2024 徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，≈1.73）
6．（2024 徐州）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD DB，则称点D是点C的“关联点”．
（1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
（2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
7．（2024 徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
8．（2024 徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
9．（2024 南京）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线．
（1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯L的高度是 m．
（3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）．
①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度．
②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
10．（2024 南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30°
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系： ．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析+的值是否变化？
11．（2024 南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
12．（2024 南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
13．（2024 南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？
14．（2024 徐州）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为 ．
（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．
15．（2024 宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ °．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
【深入研究】
若＝，请求出的值（用含k的代数式表示）．
16．（2024 宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
17．（2024 宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
18．（2024 宿迁）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
19．（2024 南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝ ．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
20．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°≈，tan37°≈，tan76°≈4．）
21．（2024 南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
22．（2024 南京）已知点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，求点A的坐标．
23．（2024 徐州）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是 ．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
24．（2024 徐州）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
25．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
26．（2024 南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，且x0＝．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
27．（2024 南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
28．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
29．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
30．（2024 宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
31．（2024 宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
32．（2024 宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
题型专项培优 解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共32小题）
1．（2024 南京）（1）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD边AB，CD上，连接EF．求作GH，使点G，H分别在边BC，AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF．
（2）已知点P，Q，R，S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）作EF的中垂线即可；
（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形；
方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT，四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形，LH为该正方形点P的边所在的直线．
【解答】解：（1）如图，分别以点E，F为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交BC于点G，交AD于点H，点G，H即为所求；
（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形；
方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT，
∴LH⊥HT，QL⊥LH，RT⊥HT，
∵∠QKR＝90°，
∴LQ，RT交于点K，
∴四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形，
∴LH为该正方形点P的边所在的直线．
【点评】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
2．（2024 南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）证明DF＝AC，DF∥AC即可；
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出OC，利用勾股定理求AO即可．
【解答】（1）证明：∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴DF＝AC，DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：连接CF交AD于点O．
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ACDF是菱形，
∴CF⊥AD，
∵ AC CB＝ AB CO，
∴CO＝，
∴AO＝＝＝．
【点评】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2024 南京）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．
注：月增量＝当月的销售量﹣上月的销售量，月增长率＝×100%．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆，那么9月份销售的月增量为2.4﹣2＝0.4（万辆），月增长率为20%．
（1）下列说法正确的是 B ．
A.2月份的销售量为0.4万辆
B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆
C.5月份的销售量最大
D.5月份销售的月增长率最大
（2）6月份的销售量比1月份增加了 1.3 万辆．
（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．
【答案】（1）B；
（2）1.3；
（3）不同意这种观点，理由见解析．
【分析】（1）根据相关概念和数据进行逐项分析即可；
（2）设1月份销售量为x，求出6月份的销售量，作差即可；
（3）根据月增长量的意义进行分析即可得到答案．
【解答】解：（1）A．∵月增量＝当月的销售量一上月的销售量，不知道1月份的销售量，
∴无法得到2月份的销售量，故选项错误，不合题意；
B．∵（0.4+0.2﹣0.2+0.5+0.4）÷5＝0.26，
∴2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆，
故选项正确，符合题意；
C．∵6月份的月增量为0.4＞0，
∴5月份的销售量小于6月份的销售量，
即5月份的销售量不是最大，故选项错误，不合题意；
D．因为不知道1月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率，则不能判断5月份销售的月增长率最大，故选项错误，不合题意；
故答案为：B；
（2）设1月份销售量为x可得：
x+0.4+0.2﹣0.2+0.5+0.4＝x+1.3，
∴x+1.3﹣x＝1.3，
∴增加了1.3万辆；
故答案为：1.3；
（3）不同意这种观点，理由如下：月增长量为正，即当月销售量比上月增加，月增长量为负，即当月销售量比上月减少，3月份增长量为0.2＞0，即3月份相比2月份销售量增加，4月份增长量为﹣0.2＜0，即4月份相比3月份销售量减少，即销售量不是持续减少．
【点评】此题考查了折线统计图以及算术平均数，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2024 南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析．
【分析】由AC是⊙O的直径，可得∠B＝∠D＝90°，证明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形，即可解答．
【解答】证明：∵对角线AC是⊙O的直径，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△CDA是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AB＝CD，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
5．（2024 徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，≈1.73）
【答案】约是1197m．
【分析】过B作BH⊥AC于H，设AH＝x m，由含30度角的直角三角形的性质得到AB＝2AH＝2x，由锐角的正切定义得到BH＝x m，判定△BHC是等腰直角三角形，因此CH＝BH＝x m，得到x+x＝1640，求出x的值，即可得到AB的长．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
设AH＝x m，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2AH＝2x m，
∴tanA＝tan60°＝＝，
∴BH＝x m，
∵∠BCA＝45°，∠BHC＝90°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝BH＝x m，
∵AH+CH＝x+x＝AC＝1640，
∴x＝＝820（﹣1），
∴AB＝2x＝1640（﹣1）≈1197（m）．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1197m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是过B作BH⊥AC于H，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
6．（2024 徐州）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD DB，则称点D是点C的“关联点”．
（1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
（2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）＜AC＜或＜AC＜．
【分析】（1）证△ACD∽△CBD即可得证；
（2）依据题意作出尺规作图，由（1）我们发现当∠ACB是直角三角形时，DC2＝DA DB，所以我们需要找到一个点满足D到这个点的距离等于直角三角时的DC，这时很容易想到轨迹圆；
（3）分类讨论，①当m＜n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当m＜n时，同①方法．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD DB，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，△ABC即为所求，
作法提示：①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径作圆；
③过D作DP⊥AB交⊙O于点P；
④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧．
简证：∵P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB＝90°，
根据第一问很容易得出DP2＝DA DB，
∵DC＝DP，
∴DC2＝DA DB．
（3）①当m＜n时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形，
此时AC1＜AC＜AC2，
∵DC2＝DA DB，且DA＝m，DB＝n，
∴＝＝mn，
在Rt△ADC1中，AC1＝＝，
在Rt△ADC2中，AC2＝＝，
∴＜AC＜；
②当m＞n时，同理可得＜AC＜；
综上，＜AC＜或＜AC＜．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．
7．（2024 徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的性质证明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出∠CED和∠DCE，然后进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∴，
∵∠BDC＝∠CED+∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠DCE，
∴DC＝DE．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件．
8．（2024 徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 0.5 ；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色小球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）摸到红球的概率＝2÷4＝0.5；
故答案为：0.5；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色小球的概率为：＝．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
9．（2024 南京）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线．
（1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯L的高度是 6 m．
（3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）．
①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度．
②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （a）（b）（c） （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
【答案】（1）横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处；
（2）6；
（3）①线段OA的倾斜程度更大；②（a）（b）（c）．
【分析】（1）横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处；
（2）根据题意列出方程，求得路灯L的高度是6m；
（3）①根据A（6，2），得出kOA＝，根据三角函数，得出，再进行比较即可；
②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处，B：小明走到灯下8m处，到达P2，当α取不同的值时，影长y可能随x的增大而增大或随x的增大而减小或随x的增大先增大后减小．
【解答】解：（1）由题意得：A（6，2），
横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处；
（2）由题意得：，
解得：x＝6，
∴路灯L的高度是6m，
故答案为：6；
（3）①∵A（6，2），
∴kOA＝，
EF为小明在坡上任意一点，
∴此时，BF＝（x﹣8）m，影长FC＝y m，P1G＝8tanα m，
∵EF∥LG，
∴，
∴，
∵cosα＝，
∴BG＝，
∴CG＝，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴kBC＜kOA，
∴线段OA的倾斜程度更大；
②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处，
B：小明走到灯下8m处，到达P2，
可以看出AB段先增大后减小，
∴当α取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况，
故答案为：（a）（b）（c）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键．
10．（2024 南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30°
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系： AB+AC＝2AB AC cosα ．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析+的值是否变化？
【答案】（1），，，AB+AC＝2AB AC cosα；
（2）AB AC＝AB+AC，证明见解答；
（3）画图见解答，+为定值．
【分析】（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再运用解直角三角形即可求得答案；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，运用等腰三角形性质可得DF＝DE＝，利用S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即可求得答案；
（3）根据题目要求画图，设∠A＝α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α＝36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN＝S△BEM+S△BEN，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝，
两腰之和为AB+AC＝，两腰之积为AB AC＝×＝，
猜想：AB+AC＝2AB AC cosα，
证明：如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝，
∴AB+AC＝，AB AC＝，
∴AB+AC＝2AB AC cosα；
故答案为：，，，AB+AC＝2AB AC cosα；
（2）AB AC＝AB+AC．
证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，
则DE＝AD sin∠BAD＝1×sin30°＝，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝，
在Rt△ACG中，CG＝AC sin∠BAC＝AC sin60°＝AC，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB AC＝AB +AC ，
∴AB AC＝AB+AC；
（3）补全图形如图所示：
设∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴BM NG＝BM EF+BN EH，
∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴BM BN sin72°＝（BM+BN） EH，
∴＝＝+，
∵＝sin∠CBD＝sin36°，
∴EH＝BE sin36°，
∴+＝，
∵BE为定长，sin36°和sin72°为定值，
∴为定值，
即+为定值．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
11．（2024 南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
∴，
∴，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
∴80a+60（10﹣a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
12．（2024 南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；
（2）根据题意画出树状图，得出概率．
【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，
故答案为：；
（2）
∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，
∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．
【点评】本题考查了概率，掌握树状图法是解题的关键．
13．（2024 南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ 20 ，n＝ 15 ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 B 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？
【答案】（1）20；15；（2）B；（3）648．
【分析】（1）依据题意得，C组的频数n＝×50＝15，从而B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20，进而可以判断得解；
（2）依据题意，根据中位数的意义，由50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A组频数为7，B组频数为20，故可判断得解；
（3）依据题意，由50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（户），进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，C组的频数n＝×50＝15．
∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．
故答案为：20；15．
（2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25，
∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．
又∵A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．
故答案为：B．
（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个）．
【点评】本题主要考查了中位数、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14．（2024 徐州）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为 5 ．
（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）5．（2）不变；理由见解答过程．
【分析】（1）当点P与点B重合时，E、N、D、F、C共线，PE＝PC＝BC，MN为△PDE的中位线，即可求出MN的长度．
（2）构造△PFG，使MN为△PFG的中位线，再构造△HPE≌△KCP，进而证得△PGH是等边三角形，得出MN＝GH＝AD＝5．然后由△API和△GDI为等边三角形，推导出PB＝DF，然后再由AQ＝AI+IQ＝8，最后得出MN和AQ的长度不变．
【解答】解：（1）当点P与点B重合时，点F在点D处，此时E、N、D、F、C共线，
如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝10．
将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，PC＝BC＝PE＝10．
点M、N分别是PF、ED的中点，由中位线可知2MN＝PE＝10．
∴MN＝5．
故答案为：5．
（2）结论：不变．
如解图②，连接FN并延长到点G，使得FN＝GN，连接 GE，DG，
∵点N为 DE中点，
∴EN＝DN．
∴四边形GEFD 为平行四边形，
∴GE//AF，GD//EF．
延长EG，BA交于H点，连接PG．
∵GD//EF//HB，HG//AF．
∴四边形HADG为平行四边形，
∴HG＝AD，
∴∠BAD＝∠AHG＝60°．
如解图②，延长AB至点K，使得BK＝BC，连接CK，
在平行四边形ABCD中，
∵∠BAD＝60°，
∴∠CBK＝60°，
∴△BKC是等边三角形，
∴∠K＝60°．KC＝BC＝AD＝10，
∵∠HEP+∠HPE＝120°，∠HPE+∠CPK＝180°﹣60°＝120°，
∴∠HEP＝∠CPK，
又∠K＝∠H＝60°，PE＝PC，
∴△EHP≌△PKC（AAS）．
∴HP＝KC＝AD＝HG＝10，
∴△PGH 为等边三角形．
∵点M、N为PF、GF的中点，
∴MN为△PGF的中位线，MN＝PG．
∴PG＝HG＝AD＝10．
∴MN＝5．且长度不变；
连接CE，
由△CPE和△GPH都为等边三角形．
由手拉手模型易证△HPE≌△GPC（SAS）．
∴CG＝HE＝AF．
设PG与 AD 交于I点，易证△API和△GDI为等边三角形．
由上可知：△API和△IGD为等边三角形，
∴GD＝ID．
∴AF﹣DI＝CG﹣DG，
∴AI+DF＝DC＝6＝AP+PB，
∵AP＝AI，
∴PB＝DF，设AP＝a，
则PB＝6﹣a＝DF，AI＝AP＝a，ID＝10﹣a，
∴IF＝ID+DF＝10﹣a+6﹣a＝16﹣2a．
∵MN为△GFP的中位线，Q为IF中点，
∴IQ＝IF＝8﹣a，
∴AQ＝AI+IQ＝a+8﹣a＝8．
故MN和AQ的长度都不变．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质．本题的难点是构造△HPE≌△KCP得出MN＝GH＝AD＝5．
15．（2024 宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ 45 °．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
【深入研究】
若＝，请求出的值（用含k的代数式表示）．
【答案】【操作判断】45；
【探究证明】（1）△BFG为等腰直角三角形，证明见解答；
（2）证明见解答；
【深入研究】．
【分析】【操作判断】根据折叠的性质即可解答；
【探究证明】（1）证明△BHG∽△CHF，△BHC∽△GHF，得到∠BCH＝∠GFH＝45°，即可解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBG≌QGF（AAS），利用平行线的性质及折叠的性质，即可得证；
【深入研究】根据旋转的性质及勾股定理证明△GBH≌△NBH（SAS），设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，分别求出CH，GH，即可解答．
【解答】【操作判断】解：如图，
由题意可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵2∠2+2∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠EBF＝45°，
故答案为：45；
【探究证明】（1）解：方法一：△BFG为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得∠EBF＝45°，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠EBF＝45°，
∴△BHG∽△CHF，
∴，
∴，
∵∠GHF＝∠BHC，
∴△BHC∽△GHF，
∴∠BCH＝∠GFH＝45°，
∴△GBF为等腰直角三角形；
方法二：∵∠GBF＝∠GCF＝45°，
∴B、C、F、G四点共圆，
∴∠BFG＝∠BCG＝45°，
∴∠BFG＝∠GBF＝45°，
即∠BGF＝90°，
∴△GBF为等腰直角三角形；
（2）证明：∵△GBF为等腰直角三角形，
∴∠BGF＝90°，BG＝FG，
∴∠PBG＝∠QGF，
∵PQ⊥AB，PQ⊥CD，
∴∠BPG＝∠GQF＝90°，
∴△PBG≌QGF（AAS），
∴∠PGB＝∠GFQ，
∵PQ∥AD，
∴∠PGB＝∠AEB，
∵翻折，
∴∠AEB＝∠BEF，
∵∠PGB＝∠EGQ，
∴∠BEF＝∠EGQ，
∵∠BEF+∠EFG＝∠EGQ+∠FGQ＝90°，
∴∠EFG＝∠FGQ，
∴EM＝MG＝MF；
【深入研究】解：方法一：将△AGB旋转至△BNC，连接HN，如图，
∴△AGB≌△CNB，
∴∠BAC＝∠BCN＝45°，AG＝CN，BG＝BN，
∵∠ACB＝45°，
∴∠HCN＝90°，
∴CH2+CN2＝HN2，
∵∠5＝∠6，∠EBF＝45°，
∴∠GBH＝∠NBH，
∴△GBH≌△NBH（SAS），
∴GH＝NH，
∴CH2+AG2＝GH2，
由（2）知△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，
∵∠BAC＝45°，
∴AP＝PG＝DQ＝FQ，
设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，
∴AG＝a，
∵，
∴AC＝ka，
∴GH+HC＝AC﹣AG＝a（k﹣1），
∵CH2+AG2＝GH2，
∴GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2，
∴GH﹣CH＝，
解得GH＝，CH＝，
∴．
方法二：如图，延长BF交PQ延长线于点N，
则，
由于BC的长度已知，所以只需求出GN的长度即可，
由（2）知M为EF的中点，且PQ∥AD，
∴点Q为DF的中点，即DQ＝QF＝AP＝a，
∴CF＝CD﹣DF＝ak﹣2a，
∴，
即，
∴QN＝，
∵QG＝PQ﹣PG＝ak﹣a，
∴GN＝QG+QN＝，
∴＝．
【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键．
16．（2024 宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得到一次函数关系式，然后根据纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，列出不等式，再根据一次函数的性质确定t的值，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，
根据题意得：＝，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的根，
∴m+10＝30，
答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，
根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，
∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000；
∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，
∴t≥2（400﹣t），
解得t≥266，
∵t为整数，
∴t最小值取267；
在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大，
∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元），
∵10670＜11000，符合题意，
此时400﹣t＝400﹣267＝133，
∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系．
17．（2024 宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】塔AB的高度为73.2米．
【分析】根据题意得到DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan37°＝≈0.75，
∴GD＝，
在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，
∴FG＝BG，
∵DF＝24米，
∴DG﹣FG＝﹣BG＝24，
解得BG＝72，
∴AB＝72+1.2＝73.2（米），
答：塔AB的高度为73.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
18．（2024 宿迁）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 200 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 36 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据D项目的人数和百分比求出总人数，用360°乘C所占比例可得答案；
（2）计算出B项目的人数，进而补全条形统计图；
（3）用全校人数乘样本中喜欢“E乒乓球”的学生人数的百分比得出人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是50÷25%＝200，
扇形统计图中C对应圆心角的度数为：360°×＝36°．
故答案为：200，36；
（2）B项目的人数为：200﹣54﹣20﹣50﹣46＝30，
补全条形统计图如下：
（3）2000×＝460（名），
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键．
19．（2024 南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝ 2 ．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）2；
（2）a＝（m≠1且m≠）；
（3）．
【分析】（1）将顶点（m，n）代入函数y＝x2中，将函数转化为y＝a（x﹣m）2+m2，求出a的最小值；
（2）将（1，2）代入，得出a的代数式；
（3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数的顶点（m，n）在y＝x2上，
∴n＝m2，
∴设二次函数为y＝a（x﹣m）2+m2，
当n取最小值时，m＝0，此时a＝2，
故答案为：2；
（2）∵图象经过点（1，2），
∴2＝a（1﹣m）2+m2，
化简得：a＝（m≠1且m≠）；
（3）①当开口向上时，
2﹣m2＞0，
∴，
∴﹣2＜m＜2，
∴
∵y2＜y1＜y3，
∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m，
解得：，
∵，
∴；
②当开口向下时，
∴或，
当时，
此时，y1＜y2，不合题意，
当时，
此时，y3＜y2，不合题意，
综上所述：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键．
20．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°≈，tan37°≈，tan76°≈4．）
【答案】港口C到航线的距离约为8km．
【分析】设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，由锐角三角函数定义求出DE、AE的长，设CF＝x km，再由锐角三角函数定义求出DF≈x km，则AF＝（19+x）km，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则∠BDE＝∠CDF＝76°，BE＝12km，
由题意知：∠BAE＝37°，∠CAF＝21°，
∵tan∠BDE＝，
∴DE＝≈＝3（km），
∵tan∠BAE＝，
∴AE＝≈＝16（km），
设CF＝x km，
∵tan∠CDF＝＝tan76°≈4，
∴DF≈CF＝x（km），
∴AF＝AE+DE+DF＝16+3+x＝（19+x）（km），
∵tan∠CAF＝＝tan21°≈，
∴CF≈AF，
即x≈（19+x），
解得：x≈8，
答：港口C到航线的距离约为8km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（2024 南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，
∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种，
∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（2024 南京）已知点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，求点A的坐标．
【答案】点A的坐标为（1，﹣3）．
【分析】根据点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C，可得B（a，﹣b），C（a﹣3，b），代入y＝2x+1可解得，故点A的坐标为（1，﹣3）．
【解答】解：∵点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C，
∴B（a，﹣b），C（a﹣3，b），
∵B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为（1，﹣3）．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，涉及平移变换，对称变换与坐标的关系，解题的关键是掌握查一次函数图象上点坐标的特征．
23．（2024 徐州）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ①③ ．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是 B ．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
【答案】（1）①③；
（2）B；
（3）81.6万人．
【分析】（1）观察统计图逐个判断即可；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
【解答】解：（1）由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
∵11.6﹣9.1＝2.5，13.7﹣11.6＝2.1，
∴与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③正确；
故答案为：①③；
（2）导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
（3）由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
∴该市小学在校学生人数共有：13.3+12.8+12.3+15.3+14.5+13.4＝81.6（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
【点评】该题考查了条形统计图及其特征，结合实际根据统计图逐个判断是解题的关键．
24．（2024 徐州）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PC∥OA，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
【点评】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
25．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【分析】设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程，求解即可．
【解答】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
26．（2024 南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，且x0＝．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用求抛物线对称轴公式即可求得答案；
（2）根据题意得b＝﹣，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，再根据抛物线对称轴公式建立方程求解即可；
（3）由题意得b＝，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，用含a的代数式表示x0，再根据题意列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵当x＝﹣＝1时，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，
∴b＝﹣，
∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x2﹣（2a﹣）x+a2+，
∵x0＝﹣＝，
∴a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2；
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；
综上所述，点P到y轴的距离为2或1；
（3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴b＝，
由题意得：x0＝＝，
∵1≤x0＜3，
∴1≤＜3，
整理得：1≤a2＜9，
∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个．
【点评】本题是函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数性质，解不等式组等，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题关键．
27．（2024 南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
【答案】（1）6﹣；
（2）．
【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD＝，
S＝S△ABC﹣S扇形＝；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，
∵AP＝，AB＝3，
∴BP＝．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，扇形面积的计算等，掌握综合知识是解题的关键．
28．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
29．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y2＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（2）4；
（3）|m﹣n|＝6为定值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8＝m（x﹣2），得到xQ＝4+m，即可求解；
（3）求出直线CM的表达式为：y＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x；
而y2过（2，0）、（4，0），
则y2＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（2）设点P（m，m2﹣2m）、点A（2，0），
设直线PA的表达式为：y＝k（x﹣2），
将点P的坐标代入上式得：m2﹣2m＝k（m﹣2），
解得：k＝m，
则直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8＝m（x﹣2），
解得：xQ＝4+m，
则xQ﹣xP＝4+m﹣m＝4；
（3）由（1）知，y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
联立y1、y3得：x2﹣2x＝x2﹣8x+t，
解得：x＝t，
则点C（t，t2﹣t），
由点C、M的坐标得，直线CM的表达式为：y＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
整理得：x2﹣（6+m+t）x+（1+m）t＝0，
则xC+xN＝6+m+t，即t+n＝6+m+t，
即n﹣m＝6，
即|m﹣n|＝6为定值．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
30．（2024 宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCO，等量代换得到∠FCD＝∠COE，得到∠OCF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到CE＝CD＝6，根据勾股定理得到OE＝＝8，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∴∠COE+∠OCE＝90°，
∵∠FCD＝2∠B，
∴∠FCD＝∠COE，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，
∴CE＝CD＝6，
∵AB＝20，
∴OC＝10，
∴OE＝＝8，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴，
∴，
∴OF＝，
∴EF＝OF﹣OE＝﹣8＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
31．（2024 宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小刚选择线路A的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小刚和小红选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小刚选择线路A的结果有1种，
∴小刚选择线路A的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
32．（2024 宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【答案】证明过程见解答．
【分析】甲：连接AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，结合甲，利用三角形内角和定理即可证明△ABC是直角三角形．
【解答】证明：甲：连接AE，
∵E是BC的中点，
∴EC＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，
∵AE＝CE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∵∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，
∴2∠EAC+2∠EAB＝180°，
∴∠EAC+∠EAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，梯形的性质，直角三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型专项培优 解答题
一．解答题（共32小题）
1．（2024 南京）（1）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD边AB，CD上，连接EF．求作GH，使点G，H分别在边BC，AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF．
（2）已知点P，Q，R，S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
2．（2024 南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
3．（2024 南京）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．
注：月增量＝当月的销售量﹣上月的销售量，月增长率＝×100%．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆，那么9月份销售的月增量为2.4﹣2＝0.4（万辆），月增长率为20%．
（1）下列说法正确的是 ．
A.2月份的销售量为0.4万辆
B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆
C.5月份的销售量最大
D.5月份销售的月增长率最大
（2）6月份的销售量比1月份增加了 万辆．
（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．
4．（2024 南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
5．（2024 徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，≈1.73）
6．（2024 徐州）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD DB，则称点D是点C的“关联点”．
（1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
（2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
7．（2024 徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
8．（2024 徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
9．（2024 南京）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线．
（1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯L的高度是 m．
（3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）．
①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度．
②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
10．（2024 南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30°
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系： ．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析+的值是否变化？
11．（2024 南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
12．（2024 南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
13．（2024 南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？
14．（2024 徐州）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为 ．
（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．
15．（2024 宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ °．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
【深入研究】
若＝，请求出的值（用含k的代数式表示）．
16．（2024 宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
17．（2024 宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
18．（2024 宿迁）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
19．（2024 南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝ ．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
20．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°≈，tan37°≈，tan76°≈4．）
21．（2024 南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
22．（2024 南京）已知点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，求点A的坐标．
23．（2024 徐州）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是 ．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
24．（2024 徐州）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
25．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
26．（2024 南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，且x0＝．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
27．（2024 南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
28．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
29．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
30．（2024 宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
31．（2024 宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
32．（2024 宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
题型专项培优 解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共32小题）
1．（2024 南京）（1）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD边AB，CD上，连接EF．求作GH，使点G，H分别在边BC，AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF．
（2）已知点P，Q，R，S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）作EF的中垂线即可；
（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形；
方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT，四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形，LH为该正方形点P的边所在的直线．
【解答】解：（1）如图，分别以点E，F为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交BC于点G，交AD于点H，点G，H即为所求；
（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形；
方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT，
∴LH⊥HT，QL⊥LH，RT⊥HT，
∵∠QKR＝90°，
∴LQ，RT交于点K，
∴四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形，
∴LH为该正方形点P的边所在的直线．
【点评】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
2．（2024 南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）证明DF＝AC，DF∥AC即可；
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出OC，利用勾股定理求AO即可．
【解答】（1）证明：∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴DF＝AC，DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：连接CF交AD于点O．
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ACDF是菱形，
∴CF⊥AD，
∵ AC CB＝ AB CO，
∴CO＝，
∴AO＝＝＝．
【点评】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2024 南京）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．
注：月增量＝当月的销售量﹣上月的销售量，月增长率＝×100%．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆，那么9月份销售的月增量为2.4﹣2＝0.4（万辆），月增长率为20%．
（1）下列说法正确的是 B ．
A.2月份的销售量为0.4万辆
B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆
C.5月份的销售量最大
D.5月份销售的月增长率最大
（2）6月份的销售量比1月份增加了 1.3 万辆．
（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．
【答案】（1）B；
（2）1.3；
（3）不同意这种观点，理由见解析．
【分析】（1）根据相关概念和数据进行逐项分析即可；
（2）设1月份销售量为x，求出6月份的销售量，作差即可；
（3）根据月增长量的意义进行分析即可得到答案．
【解答】解：（1）A．∵月增量＝当月的销售量一上月的销售量，不知道1月份的销售量，
∴无法得到2月份的销售量，故选项错误，不合题意；
B．∵（0.4+0.2﹣0.2+0.5+0.4）÷5＝0.26，
∴2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆，
故选项正确，符合题意；
C．∵6月份的月增量为0.4＞0，
∴5月份的销售量小于6月份的销售量，
即5月份的销售量不是最大，故选项错误，不合题意；
D．因为不知道1月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率，则不能判断5月份销售的月增长率最大，故选项错误，不合题意；
故答案为：B；
（2）设1月份销售量为x可得：
x+0.4+0.2﹣0.2+0.5+0.4＝x+1.3，
∴x+1.3﹣x＝1.3，
∴增加了1.3万辆；
故答案为：1.3；
（3）不同意这种观点，理由如下：月增长量为正，即当月销售量比上月增加，月增长量为负，即当月销售量比上月减少，3月份增长量为0.2＞0，即3月份相比2月份销售量增加，4月份增长量为﹣0.2＜0，即4月份相比3月份销售量减少，即销售量不是持续减少．
【点评】此题考查了折线统计图以及算术平均数，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2024 南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析．
【分析】由AC是⊙O的直径，可得∠B＝∠D＝90°，证明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形，即可解答．
【解答】证明：∵对角线AC是⊙O的直径，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△CDA是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AB＝CD，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
5．（2024 徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，AC＝1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，≈1.73）
【答案】约是1197m．
【分析】过B作BH⊥AC于H，设AH＝x m，由含30度角的直角三角形的性质得到AB＝2AH＝2x，由锐角的正切定义得到BH＝x m，判定△BHC是等腰直角三角形，因此CH＝BH＝x m，得到x+x＝1640，求出x的值，即可得到AB的长．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
设AH＝x m，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2AH＝2x m，
∴tanA＝tan60°＝＝，
∴BH＝x m，
∵∠BCA＝45°，∠BHC＝90°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝BH＝x m，
∵AH+CH＝x+x＝AC＝1640，
∴x＝＝820（﹣1），
∴AB＝2x＝1640（﹣1）≈1197（m）．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1197m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是过B作BH⊥AC于H，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
6．（2024 徐州）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD DB，则称点D是点C的“关联点”．
（1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
（2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）＜AC＜或＜AC＜．
【分析】（1）证△ACD∽△CBD即可得证；
（2）依据题意作出尺规作图，由（1）我们发现当∠ACB是直角三角形时，DC2＝DA DB，所以我们需要找到一个点满足D到这个点的距离等于直角三角时的DC，这时很容易想到轨迹圆；
（3）分类讨论，①当m＜n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当m＜n时，同①方法．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD DB，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，△ABC即为所求，
作法提示：①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径作圆；
③过D作DP⊥AB交⊙O于点P；
④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧．
简证：∵P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB＝90°，
根据第一问很容易得出DP2＝DA DB，
∵DC＝DP，
∴DC2＝DA DB．
（3）①当m＜n时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形，
此时AC1＜AC＜AC2，
∵DC2＝DA DB，且DA＝m，DB＝n，
∴＝＝mn，
在Rt△ADC1中，AC1＝＝，
在Rt△ADC2中，AC2＝＝，
∴＜AC＜；
②当m＞n时，同理可得＜AC＜；
综上，＜AC＜或＜AC＜．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．
7．（2024 徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的性质证明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出∠CED和∠DCE，然后进行证明即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∴，
∵∠BDC＝∠CED+∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠DCE，
∴DC＝DE．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件．
8．（2024 徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 0.5 ；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色小球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）摸到红球的概率＝2÷4＝0.5；
故答案为：0.5；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色小球的概率为：＝．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
9．（2024 南京）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线．
（1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯L的高度是 6 m．
（3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）．
①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度．
②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （a）（b）（c） （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
【答案】（1）横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处；
（2）6；
（3）①线段OA的倾斜程度更大；②（a）（b）（c）．
【分析】（1）横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处；
（2）根据题意列出方程，求得路灯L的高度是6m；
（3）①根据A（6，2），得出kOA＝，根据三角函数，得出，再进行比较即可；
②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处，B：小明走到灯下8m处，到达P2，当α取不同的值时，影长y可能随x的增大而增大或随x的增大而减小或随x的增大先增大后减小．
【解答】解：（1）由题意得：A（6，2），
横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处；
（2）由题意得：，
解得：x＝6，
∴路灯L的高度是6m，
故答案为：6；
（3）①∵A（6，2），
∴kOA＝，
EF为小明在坡上任意一点，
∴此时，BF＝（x﹣8）m，影长FC＝y m，P1G＝8tanα m，
∵EF∥LG，
∴，
∴，
∵cosα＝，
∴BG＝，
∴CG＝，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴kBC＜kOA，
∴线段OA的倾斜程度更大；
②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处，
B：小明走到灯下8m处，到达P2，
可以看出AB段先增大后减小，
∴当α取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况，
故答案为：（a）（b）（c）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键．
10．（2024 南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30°
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系： AB+AC＝2AB AC cosα ．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析+的值是否变化？
【答案】（1），，，AB+AC＝2AB AC cosα；
（2）AB AC＝AB+AC，证明见解答；
（3）画图见解答，+为定值．
【分析】（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再运用解直角三角形即可求得答案；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，运用等腰三角形性质可得DF＝DE＝，利用S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即可求得答案；
（3）根据题目要求画图，设∠A＝α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α＝36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN＝S△BEM+S△BEN，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝，
两腰之和为AB+AC＝，两腰之积为AB AC＝×＝，
猜想：AB+AC＝2AB AC cosα，
证明：如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝，
∴AB+AC＝，AB AC＝，
∴AB+AC＝2AB AC cosα；
故答案为：，，，AB+AC＝2AB AC cosα；
（2）AB AC＝AB+AC．
证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，
则DE＝AD sin∠BAD＝1×sin30°＝，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝，
在Rt△ACG中，CG＝AC sin∠BAC＝AC sin60°＝AC，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB AC＝AB +AC ，
∴AB AC＝AB+AC；
（3）补全图形如图所示：
设∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴BM NG＝BM EF+BN EH，
∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴BM BN sin72°＝（BM+BN） EH，
∴＝＝+，
∵＝sin∠CBD＝sin36°，
∴EH＝BE sin36°，
∴+＝，
∵BE为定长，sin36°和sin72°为定值，
∴为定值，
即+为定值．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
11．（2024 南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
∴，
∴，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
∴80a+60（10﹣a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
12．（2024 南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；
（2）根据题意画出树状图，得出概率．
【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，
故答案为：；
（2）
∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，
∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．
【点评】本题考查了概率，掌握树状图法是解题的关键．
13．（2024 南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ 20 ，n＝ 15 ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 B 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？
【答案】（1）20；15；（2）B；（3）648．
【分析】（1）依据题意得，C组的频数n＝×50＝15，从而B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20，进而可以判断得解；
（2）依据题意，根据中位数的意义，由50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A组频数为7，B组频数为20，故可判断得解；
（3）依据题意，由50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（户），进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，C组的频数n＝×50＝15．
∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．
故答案为：20；15．
（2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25，
∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．
又∵A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．
故答案为：B．
（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个）．
【点评】本题主要考查了中位数、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14．（2024 徐州）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为 5 ．
（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）5．（2）不变；理由见解答过程．
【分析】（1）当点P与点B重合时，E、N、D、F、C共线，PE＝PC＝BC，MN为△PDE的中位线，即可求出MN的长度．
（2）构造△PFG，使MN为△PFG的中位线，再构造△HPE≌△KCP，进而证得△PGH是等边三角形，得出MN＝GH＝AD＝5．然后由△API和△GDI为等边三角形，推导出PB＝DF，然后再由AQ＝AI+IQ＝8，最后得出MN和AQ的长度不变．
【解答】解：（1）当点P与点B重合时，点F在点D处，此时E、N、D、F、C共线，
如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝10．
将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，PC＝BC＝PE＝10．
点M、N分别是PF、ED的中点，由中位线可知2MN＝PE＝10．
∴MN＝5．
故答案为：5．
（2）结论：不变．
如解图②，连接FN并延长到点G，使得FN＝GN，连接 GE，DG，
∵点N为 DE中点，
∴EN＝DN．
∴四边形GEFD 为平行四边形，
∴GE//AF，GD//EF．
延长EG，BA交于H点，连接PG．
∵GD//EF//HB，HG//AF．
∴四边形HADG为平行四边形，
∴HG＝AD，
∴∠BAD＝∠AHG＝60°．
如解图②，延长AB至点K，使得BK＝BC，连接CK，
在平行四边形ABCD中，
∵∠BAD＝60°，
∴∠CBK＝60°，
∴△BKC是等边三角形，
∴∠K＝60°．KC＝BC＝AD＝10，
∵∠HEP+∠HPE＝120°，∠HPE+∠CPK＝180°﹣60°＝120°，
∴∠HEP＝∠CPK，
又∠K＝∠H＝60°，PE＝PC，
∴△EHP≌△PKC（AAS）．
∴HP＝KC＝AD＝HG＝10，
∴△PGH 为等边三角形．
∵点M、N为PF、GF的中点，
∴MN为△PGF的中位线，MN＝PG．
∴PG＝HG＝AD＝10．
∴MN＝5．且长度不变；
连接CE，
由△CPE和△GPH都为等边三角形．
由手拉手模型易证△HPE≌△GPC（SAS）．
∴CG＝HE＝AF．
设PG与 AD 交于I点，易证△API和△GDI为等边三角形．
由上可知：△API和△IGD为等边三角形，
∴GD＝ID．
∴AF﹣DI＝CG﹣DG，
∴AI+DF＝DC＝6＝AP+PB，
∵AP＝AI，
∴PB＝DF，设AP＝a，
则PB＝6﹣a＝DF，AI＝AP＝a，ID＝10﹣a，
∴IF＝ID+DF＝10﹣a+6﹣a＝16﹣2a．
∵MN为△GFP的中位线，Q为IF中点，
∴IQ＝IF＝8﹣a，
∴AQ＝AI+IQ＝a+8﹣a＝8．
故MN和AQ的长度都不变．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质．本题的难点是构造△HPE≌△KCP得出MN＝GH＝AD＝5．
15．（2024 宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ 45 °．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
【深入研究】
若＝，请求出的值（用含k的代数式表示）．
【答案】【操作判断】45；
【探究证明】（1）△BFG为等腰直角三角形，证明见解答；
（2）证明见解答；
【深入研究】．
【分析】【操作判断】根据折叠的性质即可解答；
【探究证明】（1）证明△BHG∽△CHF，△BHC∽△GHF，得到∠BCH＝∠GFH＝45°，即可解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBG≌QGF（AAS），利用平行线的性质及折叠的性质，即可得证；
【深入研究】根据旋转的性质及勾股定理证明△GBH≌△NBH（SAS），设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，分别求出CH，GH，即可解答．
【解答】【操作判断】解：如图，
由题意可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵2∠2+2∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠EBF＝45°，
故答案为：45；
【探究证明】（1）解：方法一：△BFG为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得∠EBF＝45°，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠EBF＝45°，
∴△BHG∽△CHF，
∴，
∴，
∵∠GHF＝∠BHC，
∴△BHC∽△GHF，
∴∠BCH＝∠GFH＝45°，
∴△GBF为等腰直角三角形；
方法二：∵∠GBF＝∠GCF＝45°，
∴B、C、F、G四点共圆，
∴∠BFG＝∠BCG＝45°，
∴∠BFG＝∠GBF＝45°，
即∠BGF＝90°，
∴△GBF为等腰直角三角形；
（2）证明：∵△GBF为等腰直角三角形，
∴∠BGF＝90°，BG＝FG，
∴∠PBG＝∠QGF，
∵PQ⊥AB，PQ⊥CD，
∴∠BPG＝∠GQF＝90°，
∴△PBG≌QGF（AAS），
∴∠PGB＝∠GFQ，
∵PQ∥AD，
∴∠PGB＝∠AEB，
∵翻折，
∴∠AEB＝∠BEF，
∵∠PGB＝∠EGQ，
∴∠BEF＝∠EGQ，
∵∠BEF+∠EFG＝∠EGQ+∠FGQ＝90°，
∴∠EFG＝∠FGQ，
∴EM＝MG＝MF；
【深入研究】解：方法一：将△AGB旋转至△BNC，连接HN，如图，
∴△AGB≌△CNB，
∴∠BAC＝∠BCN＝45°，AG＝CN，BG＝BN，
∵∠ACB＝45°，
∴∠HCN＝90°，
∴CH2+CN2＝HN2，
∵∠5＝∠6，∠EBF＝45°，
∴∠GBH＝∠NBH，
∴△GBH≌△NBH（SAS），
∴GH＝NH，
∴CH2+AG2＝GH2，
由（2）知△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，
∵∠BAC＝45°，
∴AP＝PG＝DQ＝FQ，
设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，
∴AG＝a，
∵，
∴AC＝ka，
∴GH+HC＝AC﹣AG＝a（k﹣1），
∵CH2+AG2＝GH2，
∴GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2，
∴GH﹣CH＝，
解得GH＝，CH＝，
∴．
方法二：如图，延长BF交PQ延长线于点N，
则，
由于BC的长度已知，所以只需求出GN的长度即可，
由（2）知M为EF的中点，且PQ∥AD，
∴点Q为DF的中点，即DQ＝QF＝AP＝a，
∴CF＝CD﹣DF＝ak﹣2a，
∴，
即，
∴QN＝，
∵QG＝PQ﹣PG＝ak﹣a，
∴GN＝QG+QN＝，
∴＝．
【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键．
16．（2024 宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得到一次函数关系式，然后根据纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，列出不等式，再根据一次函数的性质确定t的值，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，
根据题意得：＝，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的根，
∴m+10＝30，
答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，
根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，
∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000；
∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，
∴t≥2（400﹣t），
解得t≥266，
∵t为整数，
∴t最小值取267；
在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大，
∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元），
∵10670＜11000，符合题意，
此时400﹣t＝400﹣267＝133，
∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系．
17．（2024 宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】塔AB的高度为73.2米．
【分析】根据题意得到DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan37°＝≈0.75，
∴GD＝，
在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，
∴FG＝BG，
∵DF＝24米，
∴DG﹣FG＝﹣BG＝24，
解得BG＝72，
∴AB＝72+1.2＝73.2（米），
答：塔AB的高度为73.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
18．（2024 宿迁）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 200 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 36 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据D项目的人数和百分比求出总人数，用360°乘C所占比例可得答案；
（2）计算出B项目的人数，进而补全条形统计图；
（3）用全校人数乘样本中喜欢“E乒乓球”的学生人数的百分比得出人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是50÷25%＝200，
扇形统计图中C对应圆心角的度数为：360°×＝36°．
故答案为：200，36；
（2）B项目的人数为：200﹣54﹣20﹣50﹣46＝30，
补全条形统计图如下：
（3）2000×＝460（名），
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键．
19．（2024 南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝ 2 ．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）2；
（2）a＝（m≠1且m≠）；
（3）．
【分析】（1）将顶点（m，n）代入函数y＝x2中，将函数转化为y＝a（x﹣m）2+m2，求出a的最小值；
（2）将（1，2）代入，得出a的代数式；
（3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数的顶点（m，n）在y＝x2上，
∴n＝m2，
∴设二次函数为y＝a（x﹣m）2+m2，
当n取最小值时，m＝0，此时a＝2，
故答案为：2；
（2）∵图象经过点（1，2），
∴2＝a（1﹣m）2+m2，
化简得：a＝（m≠1且m≠）；
（3）①当开口向上时，
2﹣m2＞0，
∴，
∴﹣2＜m＜2，
∴
∵y2＜y1＜y3，
∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m，
解得：，
∵，
∴；
②当开口向下时，
∴或，
当时，
此时，y1＜y2，不合题意，
当时，
此时，y3＜y2，不合题意，
综上所述：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键．
20．（2024 南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．
（参考数据：tan21°≈，tan37°≈，tan76°≈4．）
【答案】港口C到航线的距离约为8km．
【分析】设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，由锐角三角函数定义求出DE、AE的长，设CF＝x km，再由锐角三角函数定义求出DF≈x km，则AF＝（19+x）km，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则∠BDE＝∠CDF＝76°，BE＝12km，
由题意知：∠BAE＝37°，∠CAF＝21°，
∵tan∠BDE＝，
∴DE＝≈＝3（km），
∵tan∠BAE＝，
∴AE＝≈＝16（km），
设CF＝x km，
∵tan∠CDF＝＝tan76°≈4，
∴DF≈CF＝x（km），
∴AF＝AE+DE+DF＝16+3+x＝（19+x）（km），
∵tan∠CAF＝＝tan21°≈，
∴CF≈AF，
即x≈（19+x），
解得：x≈8，
答：港口C到航线的距离约为8km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（2024 南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，
∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种，
∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（2024 南京）已知点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，求点A的坐标．
【答案】点A的坐标为（1，﹣3）．
【分析】根据点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C，可得B（a，﹣b），C（a﹣3，b），代入y＝2x+1可解得，故点A的坐标为（1，﹣3）．
【解答】解：∵点A（a，b）与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C，
∴B（a，﹣b），C（a﹣3，b），
∵B，C两点都在函数y＝2x+1的图象上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为（1，﹣3）．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，涉及平移变换，对称变换与坐标的关系，解题的关键是掌握查一次函数图象上点坐标的特征．
23．（2024 徐州）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ①③ ．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是 B ．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
【答案】（1）①③；
（2）B；
（3）81.6万人．
【分析】（1）观察统计图逐个判断即可；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
【解答】解：（1）由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
∵11.6﹣9.1＝2.5，13.7﹣11.6＝2.1，
∴与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③正确；
故答案为：①③；
（2）导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
（3）由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
∴该市小学在校学生人数共有：13.3+12.8+12.3+15.3+14.5+13.4＝81.6（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
【点评】该题考查了条形统计图及其特征，结合实际根据统计图逐个判断是解题的关键．
24．（2024 徐州）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PC∥OA，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
【点评】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
25．（2024 徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【分析】设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程，求解即可．
【解答】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
26．（2024 南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，且x0＝．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用求抛物线对称轴公式即可求得答案；
（2）根据题意得b＝﹣，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，再根据抛物线对称轴公式建立方程求解即可；
（3）由题意得b＝，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，用含a的代数式表示x0，再根据题意列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵当x＝﹣＝1时，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，
∴b＝﹣，
∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x2﹣（2a﹣）x+a2+，
∵x0＝﹣＝，
∴a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2；
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；
综上所述，点P到y轴的距离为2或1；
（3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴b＝，
由题意得：x0＝＝，
∵1≤x0＜3，
∴1≤＜3，
整理得：1≤a2＜9，
∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个．
【点评】本题是函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数性质，解不等式组等，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题关键．
27．（2024 南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
【答案】（1）6﹣；
（2）．
【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD＝，
S＝S△ABC﹣S扇形＝；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，
∵AP＝，AB＝3，
∴BP＝．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，扇形面积的计算等，掌握综合知识是解题的关键．
28．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
29．（2024 宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y2＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（2）4；
（3）|m﹣n|＝6为定值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8＝m（x﹣2），得到xQ＝4+m，即可求解；
（3）求出直线CM的表达式为：y＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x；
而y2过（2，0）、（4，0），
则y2＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（2）设点P（m，m2﹣2m）、点A（2，0），
设直线PA的表达式为：y＝k（x﹣2），
将点P的坐标代入上式得：m2﹣2m＝k（m﹣2），
解得：k＝m，
则直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8＝m（x﹣2），
解得：xQ＝4+m，
则xQ﹣xP＝4+m﹣m＝4；
（3）由（1）知，y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
联立y1、y3得：x2﹣2x＝x2﹣8x+t，
解得：x＝t，
则点C（t，t2﹣t），
由点C、M的坐标得，直线CM的表达式为：y＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
整理得：x2﹣（6+m+t）x+（1+m）t＝0，
则xC+xN＝6+m+t，即t+n＝6+m+t，
即n﹣m＝6，
即|m﹣n|＝6为定值．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
30．（2024 宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCO，等量代换得到∠FCD＝∠COE，得到∠OCF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到CE＝CD＝6，根据勾股定理得到OE＝＝8，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∴∠COE+∠OCE＝90°，
∵∠FCD＝2∠B，
∴∠FCD＝∠COE，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，
∴CE＝CD＝6，
∵AB＝20，
∴OC＝10，
∴OE＝＝8，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴，
∴，
∴OF＝，
∴EF＝OF﹣OE＝﹣8＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
31．（2024 宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小刚选择线路A的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小刚和小红选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小刚选择线路A的结果有1种，
∴小刚选择线路A的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
32．（2024 宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【答案】证明过程见解答．
【分析】甲：连接AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，结合甲，利用三角形内角和定理即可证明△ABC是直角三角形．
【解答】证明：甲：连接AE，
∵E是BC的中点，
∴EC＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，
∵AE＝CE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∵∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，
∴2∠EAC+2∠EAB＝180°，
∴∠EAC+∠EAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，梯形的性质，直角三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录