【中考真题汇编】江苏省2024-2025学年苏科版中考数学题型专项培优 填空题二（含解析）

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题型专项培优 填空题
一．填空题（共40小题）
1．（2024 扬州）分解因式2x2﹣4x+2＝　 　 ．
2．（2024 常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 　 　 ．
3．（2024 常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　 　 ．
4．（2024 常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　 　 °．
5．（2024 常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 　 　 ．
6．（2024 盐城）分解因式：x2+2x+1＝　 　 ．
7．（2024 扬州）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 　 　 ．
8．（2024 扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　 　 cm．
9．（2024 扬州）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　 　 ．
10．（2024 扬州）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
11．（2024 无锡）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　 　 ．
12．（2024 无锡）2023年我国国内生产总值约为1260000亿元，可将数字1260000用科学记数法表示为 　 　 ．
13．（2024 盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ 　 　 ．
14．（2024 盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 　 　 尺．
15．（2024 盐城）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA、OB，则∠OAB＝　 　 °．
16．（2024 镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ 　 　 ．
17．（2024 镇江）分解因式：x2+3x＝　 　 ．
18．（2024 镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
19．（2024 无锡）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为（0，2），半径为，点P在函数y＝x﹣1的图象上，过点P作⊙A的切线，切点分别为M、N，则PA MN的最小值为 　 　 ，此时点P的坐标为 　 　 ．
20．（2024 无锡）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距m米，在建筑物的顶部A观测塔顶C的仰角为α，塔底D的俯角为β，则铁塔的高度为 　 　 米．（用含m、α、β的式子表示）
21．（2024 常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 　 　 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
22．（2024 扬州）近年来扬州经济稳步发展，2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为 　 　 ．
23．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　 　 ．
24．（2024 常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝ 　 　 ．
25．（2024 常州）计算：＝　 　 ．
26．（2024 盐城）若有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
27．（2024 扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　 　 分钟．
28．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　 　 ．
29．（2024 扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 　 　 .（精确到0.01）
30．（2024 扬州）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 　 　 cm．
31．（2024 无锡）二元一次方程组的解为 　 　 ．
32．（2024 盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 　 　 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
33．（2024 无锡）计算：（x+2）2＝ 　 　 ．
34．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 　 　 ．
35．（2024 盐城）两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　 　 ．
36．（2024 镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 　 　 ．
37．（2024 镇江）一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 　 　 ．
38．（2024 无锡）经过点（0，3）且平行于x轴的直线与二次函数y＝x+1的图象交于A、B两点（A在B的左侧），将图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得的二次函数曲线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），若在x轴上存在点E使得四边形ACEB为菱形，则m的值为 　 　 ．
39．（2024 镇江）﹣100的绝对值等于 　 　 ．
40．（2024 无锡）在电压不变的情况下，某电器的电流I（A）与它的电阻R（Ω）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过2A，则该电器可变电阻R的取值范围是 　 　 ．
题型专项培优 填空题
参考答案与试题解析
一．填空题（共40小题）
1．（2024 扬州）分解因式2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
2．（2024 常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 　54≤v≤72　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用路程＝速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v（km/h）的取值范围．
【解答】解：v km/h＝ m/s．
根据题意得：，
解得：54≤v≤72，
∴车速v（km/h）的取值范围是54≤v≤72．
故答案为：54≤v≤72．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
3．（2024 常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】勾股定理求出BD的长，折叠得到CD＝DF，CE＝EF，∠EFD＝90°，设CE＝x，在Rt△BFE中，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，
∴，
∴，
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴CD＝DF＝3，CE＝EF，∠EFD＝90°，
∴BF＝BD﹣DF＝2，∠BFE＝90°，
设CE＝x，则EF＝x，BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
在Rt△BFE中，由勾股定理，得：（4﹣x）2＝x2+22，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2024 常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　70　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用圆周角定理得出∠BAD的度数，再根据AB为圆的直径，得出∠ADB的度数，据此可求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵，
∴∠BAD＝∠BCD＝20°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
5．（2024 常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 　y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）　 ．
【答案】y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）．
【分析】依题意得y+2x＝10，2x＞y，x＞0，y＞0，由y+2x＝10得y＝10﹣2x，由2x＞y得2x＞10﹣2x，解得x＞2.5，由y＞0得10﹣2x＞0，解得x＜5，则x的取值范围是2.5＜x＜5，由此即可得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x，
∴y+2x＝10，2x＞y，x＞0，y＞0，
由y+2x＝10，得：y＝10﹣2x，
由2x＞y，得：2x＞10﹣2x，解得：x＞2.5，
由y＞0，得：10﹣2x＞0，解得：x＜5，
∴x的取值范围是：2.5＜x＜5，
∴底边长y与腰长x的函数表达式为：y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）．
故答案为：y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，函数关系式，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，函数关系式，三角形三边关系是解决问题的关键，利用三角形三边关系求出自变量x的取值范围是解决问题的难点，也是易错点．
6．（2024 盐城）分解因式：x2+2x+1＝　（x+1）2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2．
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
（1）三项式；
（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；
（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
7．（2024 扬州）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 　　 ．
【答案】．
【分析】由题易得四边形ACBD是平行四边形，从而得到BE是定长，又由∠BHE＝90°，得出直角对直角的隐圆模型，再根据最大张角问题（相切时）求解即可．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴AE＝BE＝AB，
∵A为定点，且AB⊥l2，
∴AE为定值，
∵BH⊥CD，
∴∠BHE＝90°，
∴点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为圆心），
此时OE＝BE＝OA，
∵当AH与⊙O相切时∠BAH最大，
∴sin∠BAH＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键，其中识别出隐圆模型至关重要．
8．（2024 扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　20　 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意可得：△ABO∽△A′B′O，
则＝＝，
解得：x＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
9．（2024 扬州）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　x＝﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
10．（2024 扬州）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
11．（2024 无锡）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　y＝﹣x（答案不唯一）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数、一次函数或二次函数即可．
【解答】解：根据题意有：y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．
12．（2024 无锡）2023年我国国内生产总值约为1260000亿元，可将数字1260000用科学记数法表示为 　1.26×106　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先思考科学记数法的形式，再确定a和n的值，即可得出答案．
【解答】解：1260000＝1.26×106．
故答案为：1.26×106．
【点评】本题主要考查了科学记数法表示较大数字，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数是关键．
13．（2024 盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ 　2+或﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，根据勾股定理可以求得BD的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理、锐角三角函数，可以求得CG和GF的值，从而可以求得CF的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得CF的值．
【解答】解：作BG⊥CF于点G，如图所示，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，
∴CD＝，∠ABC＝45°，
∴BD＝＝＝，
由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，
∴BD＝BF＝，
∵CF∥AB，
∴∠ABC＝∠BCG＝45°，
∴CG＝BC cos∠BCG＝2×＝2，
∴BG＝＝2，
∴GF＝＝＝，
∴CF＝CG+GF＝2+；
当点D运动点F′时，此时CF′∥AB，
同理可得，GF′＝，CG＝2，
∴CF′＝﹣2；
故答案为：2+或﹣2．
【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2024 盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 　15　 尺．
【答案】15．
【分析】设该问题中的竿子长为x尺，则绳索长为（x+5）尺，根据“将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该问题中的竿子长为x尺，则绳索长为（x+5）尺，
根据题意得：x﹣（x+5）＝5，
解得：x＝15，
∴该问题中的竿子长为15尺．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2024 盐城）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA、OB，则∠OAB＝　50　 °．
【答案】50．
【分析】根据圆周角定理可以得到∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以求得∠OAB的度数．
【解答】解：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，
∴∠OAB＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2024 镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ 　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出AD＝8﹣5＝3，由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD＝3．
【解答】解：∵AC＝8，CD＝5，
∴AD＝8﹣5＝3，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴BD＝AD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD．
17．（2024 镇江）分解因式：x2+3x＝　x（x+3）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
18．（2024 镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 　x≠2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
19．（2024 无锡）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为（0，2），半径为，点P在函数y＝x﹣1的图象上，过点P作⊙A的切线，切点分别为M、N，则PA MN的最小值为 　3　 ，此时点P的坐标为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AM、AN，设直线y＝x﹣1分别交x轴、y轴于点L、H，由切线的性质及切线长定理得PM⊥AM，PM＝PN，则PM＝，所以当AP的值最小时，则PM的值最小，由S四边形AMPN＝PA MN＝×PM+×PN＝PM，得PA MN＝2PM，可求得L（1，0），H（0，﹣1），则OL＝OH＝1，取点E（2，0），连接AE交直线y＝x﹣1于点I，则OE＝OA＝2，所以AH＝3，由AH＝AI＝3，求得AI＝，因为PA≥AI，所以当点P与点I重合时，PA的值最小，PA＝AI＝，则PM＝，所以PA MN＝3，作IF⊥x轴于点F，则IF＝LF＝EF＝，所以I，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AM、AN，设直线y＝x﹣（1分）别交x轴、y轴于点L、H，
∵PM与⊙A相切于点M，PN与⊙O相切于点N，⊙A的圆心为（0，2），半径为，
∴PM⊥AM，PM＝PN，AM＝AN＝，
∴∠AMP＝90°，
∴PM＝＝，
∴当AP的值最小时，则PM的值最小，
∵点P、点A都在MN的垂直平分线上，
∴PA垂直平分MN，
∵S四边形AMPN＝S△APM＝S△APN，
∴PA MN＝×PM+×PN＝×PM+×PM＝PM，
∴PA MN＝2PM，
∴当PM最小时，则PA MN的值最小，
直线y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，
当y＝0时，则x﹣1＝0，
解得x＝1，
∴L（1，0），H（0，﹣1），
∴OL＝OH＝1，
取点E（2，0），连接AE交直线y＝x﹣1于点I，则OE＝OA＝2，
∴AH＝OA+OH＝2+1＝3，
∵∠HOL＝∠AOE＝90°，
∴∠OHL＝∠OLH＝∠ILE＝∠OEA＝∠OAE＝45°，
∴∠AIH＝∠EIN＝90°，AI＝HI，EI＝LI，
∵AH＝＝AI＝3，
∴AI＝，
∵AI⊥HL，点P在直线HL上，
∴PA≥AI，
∴当点P与点I重合时，PA的值最小，此时PM的值最小，PA MN的值最小，
∵PA＝AI＝，
∴PM＝＝，
∴PA MN＝2PM＝2×＝3，
∴PA MN的最小值为3，
作IF⊥x轴于点F，
∵EL＝2﹣1＝1，
∴IF＝LF＝EF＝EL＝，
∴OF＝1+＝，
∴I，
故答案为：3，．
【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（2024 无锡）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距m米，在建筑物的顶部A观测塔顶C的仰角为α，塔底D的俯角为β，则铁塔的高度为 　（mtanα+mtanβ）　 米．（用含m、α、β的式子表示）
【答案】（mtanα+mtanβ）．
【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义表示出CE和DE的长，然后相加即可．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E，
则∠AEC＝∠AED＝90°，AE＝m米，
在Rt△AEC中，CE＝AE tanα＝mtanα（米），
在Rt△AED中，DE＝AE tanβ＝mtanβ（米），
∴CD＝CE+DE＝mtanα+mtanβ（米），
即铁塔的高度为（mtanα+mtanβ）米，
故答案为：（mtanα+mtanβ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题以及列代数式，熟练掌握锐角三角函数定义，表示出CE、DE的长是解题的关键．
21．（2024 常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 　＞　 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞．
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m，
∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，
∴，
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了方差和算术平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22．（2024 扬州）近年来扬州经济稳步发展，2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为 　1.87×107　 ．
【答案】1.87×107．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：18700000＝1.87×107，
故答案为：1.87×107．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
23．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　（﹣2，﹣1）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】围绕正方形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标．
【解答】解：过点A，C分别作x轴的垂线AE，CF，如图，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵点A的坐标是（2，1），
∴OE＝OF＝2，AE＝CF＝1，
∴点C的坐标为：（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
24．（2024 常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝ 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由线段垂直平分线的性质可得BE＝DE＝10，由勾股定理可求AE＝6，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：连接DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE＝10，
∴AE＝＝＝6，
∴AB＝AE+BE＝16，
∴tan∠ABD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．（2024 常州）计算：＝　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用同分母的分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握“同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减”是解决本题的关键．
26．（2024 盐城）若有意义，则x的取值范围是 　x≠1　 ．
【答案】x≠1．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：若有意义，则x的取值范围是x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
27．（2024 扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　2.5　 分钟．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，可列：100+60x＝100x，求解即可．
【解答】解：设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，
根据题意可列：100+60x＝100x，
解得：x＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用与数学常识，根据题意正确列出方程是解题的关键．
28．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作DG⊥x轴，垂足为G，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果．
【解答】解：设点B坐标为（m，），则C（m，0），
∵A（1，0），
∴AC＝m﹣1，
由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG＝，DG＝，
∴D（，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴（） ＝k ①，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，即＝（m﹣1）②，
由①②解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化、折叠问题，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
29．（2024 扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 　0.53　 .（精确到0.01）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格中的数据可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，据此可得出结论．
【解答】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，
∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53．
故答案为：0.53．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
30．（2024 扬州）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 　5　 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：由题意可知：圆锥的底面周长为10πcm，
则圆锥底面圆的半径为＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
31．（2024 无锡）二元一次方程组的解为 　　 ．
【答案】．
【分析】利用加减消元和代入消元法解方程组即可．
【解答】解：，
①×3得：9x﹣3y＝3③，
②+③得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元和代入消元法解二元一次方程组．
32．（2024 盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 　17　 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】17．
【分析】令AB的延长线与PQ的延长线交于点C，先求出PC，从而得到QC，BC，再利用AB＝AC﹣BC即可求出AB．
【解答】解：如图，令AB的延长线与PQ的延长线交于点C，
由题意，知AC＝30m，PQ＝26.6m，∠APC＝37°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，
PC＝≈＝40（m），
∴QC＝PC﹣PQ＝40﹣26.6＝13.4（m），
在Rt△BQC中，
BC＝QC＝13.4m，
∴AB＝AC﹣BC＝30﹣13.4＝16.6≈17（m），
故答案为：17．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，能熟练运用三角函数关系是解题的关键．
33．（2024 无锡）计算：（x+2）2＝ 　x2+4x+4　 ．
【答案】x2+4x+4．
【分析】根据完全平方公式即可作答．
【解答】解：原式＝x2+4x+4．
故答案为：x2+4x+4．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
34．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 　20π　 ．
【答案】20π．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为×2π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
35．（2024 盐城）两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　1：2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：2，
∴两个相似多边形周长的比等于1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比．
36．（2024 镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 　6　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．
【解答】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
∵6+6＞2，
∴能构成三角形，
∴第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
∵2+2＜6，
∴不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
37．（2024 镇江）一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 　1　 ．
【答案】1．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答案．
【解答】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．
38．（2024 无锡）经过点（0，3）且平行于x轴的直线与二次函数y＝x+1的图象交于A、B两点（A在B的左侧），将图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得的二次函数曲线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），若在x轴上存在点E使得四边形ACEB为菱形，则m的值为 　2　 ．
【答案】2．
【分析】先解方程x+1＝0得到抛物线y＝x+1与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0），再利用抛物线的平移得到C（1+m，0），接着解方程x+1＝3得A（﹣1，3），B（4，3），所以AB＝5，则根据菱形的性质得到AC＝AB＝5，然后利用两点间的距离公式得到（1+m+1）2+32＝52，于是解方程可得到m的值．
【解答】解：当y＝0时，x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
∴抛物线y＝x+1与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0），
∵抛物线y＝x+1向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得的二次函数曲线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
∴C（1+m，0），
当y＝3时，x+1＝3，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，3），B（4，3），
∴AB＝5，
∵四边形ACEB为菱形，
∴AC＝AB＝5，
∴（1+m+1）2+32＝52，
解得m1＝2，m2＝﹣6（舍去），
即m的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了菱形的性质、二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．
39．（2024 镇江）﹣100的绝对值等于 　100　 ．
【答案】100．
【分析】负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可．
【解答】解：|﹣100|＝100，即﹣100的绝对值等于100，
故答案为：100．
【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
40．（2024 无锡）在电压不变的情况下，某电器的电流I（A）与它的电阻R（Ω）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过2A，则该电器可变电阻R的取值范围是 　R≥1　 ．
【答案】R≥1．
【分析】根据题意先求出反比例函数的解析式，然后根据其限制电流不超过2A，即可算出R的取值范围．
【解答】解：设反比例函数的解析式为I＝，
如图所示，把（10，0.2）代入可得：k＝2，
∴I＝，
∵其限制电流不超过2A，
∴≤2，解得：R≥1，
故答案为：R≥1．
【点评】本题考查的反比例函数的应用，解题关键是求出反比例函数的解析式．
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