【押题预测卷】江苏省各地区真题重组训练（一）（含答案）-2025年中考数学

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【押题预测卷】江苏省各地区真题重组训练（一）-2025年中考数学
一．选择题（共10小题）
1．（2025 泗阳县三模）下列对称图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
3．（2025 武进区校级模拟）斗拱是中国古典建筑上的重要部件，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 沭阳县校级模拟）下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买1000张奖券，一定会中奖1次
C．要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
5．（2025 武进区校级模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
6．（2025 盐城一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管，EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝70°，∠CEF＝130°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2025 盐城一模）点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．5
8．（2025 盐城一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是（　　）
A． B． C． D．2
9．（2025 姑苏区一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025 南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（　　）
A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12
二．填空题（共6小题）
11．（2025 沭阳县校级模拟）根据宿迁市文化广电和旅游局统计显示，2024年五一假期，全市纳入统计的29家重点旅游景区接待国内外游客177.95万人次，同比增长62.19%，177.95万用科学记数法表示为 　 　 ．
12．（2020 鼓楼区校级模拟）不等式组的最小整数解是　 　 ．
13．（2025 沭阳县校级模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，求2BG+BE的最小值 　 　 ．
14．（2025 盐城一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），点P在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C，以点A为旋转心把直线AP逆时针旋转45°得直线AP′，直线AP′交x轴于点B，交y轴于点Q．当AC＝OQ时，的值为 　 　 ．
15．（2025 武进区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为 　 　 ．
16．（2025 建邺区二模）已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　 　 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2025 沭阳县校级模拟）计算：．
18．（2025 武进区校级模拟）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）连接AE，则AE与BC的关系是　 　 ．
19．（2025 建邺区二模）先化简，再求值：，其中．
20．（2025 武进区校级模拟）解不等式组：．
21．（2025 沭阳县校级模拟）AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下．
两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 7.6 8 8 1.08
八年级 a b 7 1.08
（1）m，a，b的值分别为 　 　 ，　 　 ，　 　 ；
（2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数；
（3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由．
22．（2025 盐城一模）代数式A＝mx+2，代数式B＝2m+1．
（1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是　 　 ；
（2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由；
（3）将“A与B的差”记为C，即C＝A﹣B．当﹣2≤x≤3时，要使C的值满足﹣3≤C≤2，直接写出m的取值范围．
23．（2025 梁溪区校级二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BEAB，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
24．（2025 姜堰区一模）如图，A、B为⊙O上的两点，且∠AOB＝60°，延长OA至点C，使AC＝OA，连接BC．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）用无刻度的直尺和圆规在BC上求作一点D，使BD＝CD．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
25．（2025 盐城一模）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）．
（1）轨道初段AC的总长为　 　 cm；小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的函数关系式为　 　 ；
（2）若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为8.75cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
26．（2025 沭阳县校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若该二次函数的图象过点（2，0）、、（0，﹣1），求二次函数解析式；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，∠DOF＝∠DEO，OFDF．
①求证：；
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．
27．（2025 江苏二模）综合探究
【阅读材料】
学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图2，请直接写出△BDE的面积为 　 　 ．
（2）如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF，若△ABC的面积为2，求出以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积．
【深入探究】
（3）已知点P是 ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，∠BAP＝∠BCP，证明：∠ABP＝∠ADP．
【实践操作】
（4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【押题预测卷】江苏省各地区真题重组训练（一）-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D D C D C A A
一．选择题（共10小题）
1．（2025 泗阳县三模）下列对称图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2025 盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．
故选：D．
3．（2025 武进区校级模拟）斗拱是中国古典建筑上的重要部件，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：左视图是从物体左面看所得到的图形．
从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
故选：C．
4．（2025 沭阳县校级模拟）下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买1000张奖券，一定会中奖1次
C．要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
【解答】解：A、甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则甲的成绩更稳定，故该选项不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，买1000张奖券，不一定会中奖，故该选项不符合题意；
C、要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查，故该选项不符合题意；
D、x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
5．（2025 武进区校级模拟）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【解答】解：由题意得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D符合题意；
当0＜x＜1时，y的值随x的值增大而增大，当x＞1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为（1，1）且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
6．（2025 盐城一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管，EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝70°，∠CEF＝130°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：∵AB∥DE，∠BCE＝70°，
∴∠CED＝∠BCE＝70°，
∵∠CEF＝130°，
∴∠DEF＝130°﹣70°＝60°，
∵AD∥EF，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵AB∥DE，
∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
7．（2025 盐城一模）点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．5
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，
∴b＝3a﹣2，
∴6a﹣2b+1＝6a﹣2（3a﹣2）+1＝5．
故选：D．
8．（2025 盐城一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离，
∴点A，B之间的最大距离．
故选：C．
9．（2025 姑苏区一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
10．（2025 南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（　　）
A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12
【解答】解：设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OC＝OB＝b，
∵△OCD的面积为3，∠COD＝90°，
∴，即ab＝﹣12，
∴k＝ab＝﹣12，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 沭阳县校级模拟）根据宿迁市文化广电和旅游局统计显示，2024年五一假期，全市纳入统计的29家重点旅游景区接待国内外游客177.95万人次，同比增长62.19%，177.95万用科学记数法表示为 　1.7795×106　 ．
【解答】解：177.95万＝1779500＝1.7795×106．
故答案为：1.7795×106．
12．（2020 鼓楼区校级模拟）不等式组的最小整数解是　0　 ．
【解答】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则最小的整数解为0，
故答案为：0
13．（2025 沭阳县校级模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，求2BG+BE的最小值 　　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形CEFG是矩形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，AB＝CD＝3，
∴∠BCE＝∠DCG，
又∵，
∴△BEC∽△DGC，
∴，
即，
作EN⊥BC交BC于点N，GM⊥BC交BC的延长线于点M，作点D关于直线MG的对称点D'，连接DD'，与MG交于点H，连接D'G，如图：
则DG＝D'G，DD'＝2DH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ADC＝∠ACD＝90°，
又∵EN⊥BC，GM⊥BC，
∴四边形ABNE是矩形，四边形DCMH是矩形，
∴AB＝EN＝3，CM＝DH，
∵四边形CEFG是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∵∠ECN+∠CEN＝90°，∠ECN+∠GCM＝90°，
∴∠CEN＝∠GCM，
又∵∠ENC＝∠GMC＝90°，
∴△ECN∽△CGM，
∴，
即CM，
∴DH，DD′＝2DH＝3，
∴BG+＝BE＝BG+DG＝BG+D'G≥BD'，
故当点B、G、D'三点共线时，BGBE的值最小，最小值为BD'，
在Rt△ABD'中，BD'，
故BGBE的最小值为，
∴2BG+BE的最小值，
故答案为：．
14．（2025 盐城一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），点P在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C，以点A为旋转心把直线AP逆时针旋转45°得直线AP′，直线AP′交x轴于点B，交y轴于点Q．当AC＝OQ时，的值为 　　 ．
【解答】解：过A作AH⊥y轴于H，连接OA，如图：
∵A（3，3），
∴AH＝OH＝3，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∴∠HOA＝∠HAO＝45°，
∴∠OQA+∠OAQ＝∠HOA＝45°，
∵以点A为旋转心把直线AP逆时针旋转45°得直线AP，
∴∠PAQ＝45°，即∠CAO+∠OAQ＝45°，
∴∠OQA＝∠CAO，
∵∠ACO＝∠QCA，
∴△ACO∽△QCA，
∴，
∵AC＝OQ，
∴，
解得OCOQ或OCOQ（舍去），
∴，
故答案为：．
15．（2025 武进区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为 　10°　 ．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝100°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝10°，
∴∠E＝∠ACD＝10°，
故答案为：10°．
16．（2025 建邺区二模）已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　±4　 ．
【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．
∴2，
解得k＝4，
当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∴2，
解得k＝﹣4，
综上所述，k＝±4．
故答案为：±4．
三．解答题（共11小题）
17．（2025 沭阳县校级模拟）计算：．
【解答】解：原式＝﹣4+1﹣（4）﹣4
＝﹣4+1﹣4+22
＝﹣7．
18．（2025 武进区校级模拟）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）连接AE，则AE与BC的关系是　AE与BC互相平分　 ．
【解答】（1）证明：∵B是AD的中点，
∴AB＝DB，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E；
（2）解：如图，连接CE，
由（1）知，△ABC≌△BDE，
∴∠BAC＝∠DBE，AC＝BE，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AE与BC互相平分，
故答案为：AE与BC互相平分．
19．（2025 建邺区二模）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：


，
当时，原式．
20．（2025 武进区校级模拟）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＜4，
∴该不等式组的解集为x≤1．
21．（2025 沭阳县校级模拟）AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下．
两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 7.6 8 8 1.08
八年级 a b 7 1.08
（1）m，a，b的值分别为 　12　 ，　7.6　 ，　7　 ；
（2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数；
（3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由．
【解答】解：（1）m%＝1﹣（12%+40%+30%+6%）＝12%，即m＝12，
a＝6×12%+7×40%+8×30%+9×12%+10×6%＝7.6（分），
6分人数为50×12%＝6（人），7分人数为50×40%＝20（人），
所以其中位数b7（分），
故答案为：12、7.6、7；
（2）1000×（1﹣12%﹣40%）＝480（人），
答：八年级得分不低于8分的人数约为480人；
（3）同意，
因为七年级成绩的中位数大于八年级，
所以七年级成绩的高分人数多于八年级．
22．（2025 盐城一模）代数式A＝mx+2，代数式B＝2m+1．
（1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是　　 ；
（2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由；
（3）将“A与B的差”记为C，即C＝A﹣B．当﹣2≤x≤3时，要使C的值满足﹣3≤C≤2，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵A＝mx+2，B＝2m+1，
∴当m＝3时，A＝3x+2，B＝7，
∵A＜B，
∴3x+2＜7，解得：x．
故答案为：x；
（2）∵A＝ mx+2，B＝2m+1，
∴A﹣B＝mx+2﹣（2m+l）＝m（x﹣2）+1，
∵m＜0，x＜2，
∴x﹣2＜0，
∴m（x﹣2）＞0，
∴m（x﹣2）+1＞0，
∴A﹣B＞0，即A＞B；
（3）∵A＝ mx+2，B＝2m+1，
∴C＝A﹣B＝m（x﹣2）+1，
﹣2＜x≤3，﹣3≤C＜3，
①当m＞0时，C随着x的增大而增大，
则当x＝3时，C的最大值是m+1，
当x＝一2时，C的最小值是﹣4m+1，
可得：，解得：0＜m≤1；
②当m＝0时，C＝1，满足﹣3≤C≤2，
∴m＝0满足题意；
③当m＜0时，C随着x的增大而减小，
则当x＝﹣2时，C的最大值是﹣4m+1，
当x＝3时，C的最小值是m+1，
可得：，解得：﹣4≤m＜0；
综上所述，m的取值范围为m≤1．
23．（2025 梁溪区校级二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BEAB，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【解答】解：（1）过点E作EG⊥AC于点G，
∵AB＝30cm，BEAB，
∴BE＝10cm，AE＝20cm，
∵∠AEG＝α＝10°，
∴GE＝AE cosα＝20×cos10°≈19.6（cm），
∴CD＝GE＝19.6cm，
答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；
（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，
则BP＝BE cosα＝10×cos10°≈9.8（cm），
EP＝BE sinα＝10×sin10°≈1.7（cm），
∵DE＝21.7cm，
∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.7＝20（cm），
∴BH＝20cm，
∵MN＝8cm，
∴QH＝8cm，
∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm），
∵∠ABM＝145°，
∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10°﹣90°＝45°，
∴QM＝BQ＝12cm，
∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.8+12＝21.8（cm），
答：线段DN的长度为21.8cm．
24．（2025 姜堰区一模）如图，A、B为⊙O上的两点，且∠AOB＝60°，延长OA至点C，使AC＝OA，连接BC．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）用无刻度的直尺和圆规在BC上求作一点D，使BD＝CD．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
【解答】解：（1）结论：直线BC是⊙O的切线．
理由：连接AB．
∵OB＝OA，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵AC＝OA，
∴AB＝AO＝AC，
∴∠OBC＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）如图，点D即为所求．
25．（2025 盐城一模）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）．
（1）轨道初段AC的总长为　40　 cm；小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的函数关系式为　vt+12　 ；
（2）若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为8.75cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由图3可知，轨道初段AC的总长为10×4＝40（cm）；
设v＝kt+b，
则，
解得，
∴vt+12，
故答案为：40；vt+12；
（2）由题意，Q为顶点，设Q（h，140），
则s（t﹣h）2+140，
把P（4，40）代入解析式得：40（4﹣h）2+140，
解得h＝24（舍去 h＝﹣16），
∴s（t﹣24）2+140t2+12t﹣4；
设直线OP表达式：s＝k1t，代入P（4，40），有k1＝10，
即s＝10t，
联立，
得t2+2t﹣4＝0，
∵Δ＝22﹣4×（）×（﹣4）＝0，
∴直线OP与抛物线有且只有一个交点P，且直线OP不与抛物线对称轴平行，故线段OP与抛物线光滑连接；
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点，
由题意得：（m+1）2+12（m+1）﹣4﹣（m2+12m﹣4）＝8.75，
解得：m＝6
当m＝6时，m2+12m﹣436+12×6﹣4＝59，
∴轨道起点与点A之间的距离为59米．
26．（2025 沭阳县校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若该二次函数的图象过点（2，0）、、（0，﹣1），求二次函数解析式；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，∠DOF＝∠DEO，OFDF．
①求证：；
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．
【解答】解：（1）根据二次函数图象与x轴交于两点（2，0）、，设y＝a（x﹣2）（x），
把（0，﹣1）代入得：﹣1＝a （0﹣2） （0），则a＝1．
∴y＝（x﹣2）（x）＝x2x﹣1．
（2）①证明：在△DOF和△DEO中，∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，
∴△DOF∽△DEO．
∴，即．
∵OFDF，
∴．
②根据题意x1＜0＜x2，设OA＝m，OD＝2m．
由①可知EO＝3m，则点A横坐标x1＝﹣m，点B横坐标x2＝3m+1．
∴对于ax2+bx+c＝0，由根与系数的关系可得：x1+x2，x1 x2．
由4ac＝﹣a2﹣b2得出，即：﹣4m（3m+1）＝﹣1﹣（﹣m+3m+1）2，解得m．
∴x1+x2＝2m+1＝2，
故2a+b＝0．
27．（2025 江苏二模）综合探究
【阅读材料】
学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图2，请直接写出△BDE的面积为 　1　 ．
（2）如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF，若△ABC的面积为2，求出以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积．
【深入探究】
（3）已知点P是 ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，∠BAP＝∠BCP，证明：∠ABP＝∠ADP．
【实践操作】
（4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】（1）解：∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴△ADC的面积＝△ECD的面积＝△ABD的面积，
∴△BDE的面积＝梯形ABCD的面积＝1，
故答案为：1；
（2）解：平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE，延长FE交PC于点N，
∴四边形AFEP为平行四边形，
∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，
又∵AP∥FN∥BC，F为AB的中点，
∴N为PC的中点，
∴E为△PFC各边中线的交点，
∴△PEC的面积为△PFC面积的，
连接DE，可知DE与PE在一条直线上，
∴△EDC的面积是△ABC面积的，
所以△PFC的面积是23，
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于；
（3）证明：如图，过点P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．
∴∠PEA＝∠ABC＝∠PGC，∠PEB＝∠BAD＝∠PHD．
∵∠BAP＝∠BCP，∠PEA＝∠PGC，
∴△PAE∽△PCG，
∴，
∵四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形，
∴AE＝PH，BE＝PG，DH＝CG，
∴，
又∵∠PEB＝∠PHD，
∴△PBE∽△PDH；
∴∠ABP＝∠ADP；
（4）解：如图所示，△ABC即为所求．
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